फिबोनाची अनुक्रम भाग 2

इस सप्ताह फिबोनाची अनुक्रम पर आधारित तीन भागों की श्रृंखला का दूसरा भाग है। लेकिन इससे पहले, मैं हमेशा की तरह साप्ताहिक तर्क पहेली प्रस्तुत करता हूँ।

तर्क पहेली

आप दो देवताओं के साथ हैं, जिनमें से एक हमेशा सच बोलता है और दूसरा हमेशा झूठ। हालांकि, वे दोनों एक विदेशी भाषा बोलते हैं जिसमें "हाँ" और "ना" के लिए शब्द, बिना किसी विशेष क्रम के, "जा" और "दा" हैं। आप उनमें से किसी एक से एक हाँ/ना वाला प्रश्न पूछ सकते हैं, जिसका उत्तर स्पष्ट रूप से हाँ/ना में होना चाहिए (यानी कोई विरोधाभास नहीं)। आपका काम यह पता लगाना है कि कौन सा देवता कौन है। आपको क्या पूछना चाहिए?

फिबोनाची अनुक्रम भाग 2

इस सप्ताह हम फिबोनाची अनुक्रम का अध्ययन जारी रखेंगे। आगे बढ़ने से पहले, आइए इसे परिभाषित करें:

F _n = फिबोनाची अनुक्रम में n ^वीं संख्या।

जैसा कि पिछले सप्ताह के न्यूज़लेटर में बताया गया था:

एफ ₁ = 1

एफ ₂ = 2

F _n = F _n-1 + F _n-2 , जहाँ n>2

अतः, फिबोनाची अनुक्रम में पहले दस अंक 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 हैं।

मेरा प्रश्न यह है कि जैसे-जैसे n, ∞ की ओर अग्रसर होता है, Fn Fn-1 क्या होता है?

आइए, n के ∞ की ओर अग्रसर होने पर Fn -1 के इस अनुपात को दर्शाने के लिए प्रतीक Φ का उपयोग करें।

Fn-2 Fn-1 फिबोनाची अनुक्रम में एक पद और उससे पहले वाले पद का अनुपात है।जैसे-जैसे n अनंत की ओर अग्रसर होता है, यह Fn-1 Fn = Φ के समान होगा।

तो, हमारे पास ये है:

क्योंकि फिबोनाची एक बढ़ती हुई श्रृंखला है, इसलिए एकमात्र उचित हल 1 + √5 /2 = ~ 1.61803398874989 है।

इसे स्वर्णिम अनुपात के नाम से जाना जाता है और यह गणित में हर जगह दिखाई देता है।

एक उदाहरण यह है कि यदि किसी आयत की भुजाएँ a और b इस प्रकार हैं कि a/b = (a+b)/b, तो a/b = Φ।

स्वर्णिम अनुपात का एक और उदाहरण पंचभुज में देखने को मिलता है। ऊपर दिए गए चित्र में, लाल और हरे रंग का, हरे और नीले रंग का, और नीले और गुलाबी रंग का अनुपात स्वर्णिम अनुपात के बराबर है।

अगले सप्ताह मैं इस पाठ को आगे बढ़ाते हुए फिबोनाची अनुक्रम में किसी भी दिए गए पद के लिए सूत्र दिखाऊंगा।

तर्क पहेली का उत्तर

क्या "जा" का अर्थ "हाँ" है? यदि उत्तर "जा" है, तो आपने सत्यवादी व्यक्ति से प्रश्न पूछा है। अन्यथा, यदि उत्तर "दा" है, तो आपने असत्यवादी व्यक्ति से प्रश्न पूछा है।

ऊपर दिया गया मेरा संक्षिप्त और सरल उत्तर है। संभवतः इसके अन्य संभावित उत्तर भी हो सकते हैं।

तर्क पहेली का हल

आइए, आपके द्वारा पूछे जा रहे प्रश्न और "हाँ" शब्द को मिलाकर चार संभावित संयोजनों की जांच करें।

पूछना = सत्यवादी व्यक्ति, हाँ = जा: चूंकि जा का अर्थ हाँ होता है, इसलिए वह सत्यपूर्वक और सकारात्मक रूप से "जा" में उत्तर देगा।

पूछना = सत्यवादी व्यक्ति, हाँ = दा: चूंकि जा का अर्थ नहीं है, इसलिए वह सत्यपूर्वक और नकारात्मक रूप से "जा" के साथ उत्तर देगा।"

पूछना = झूठ बोलने वाला व्यक्ति, हाँ = जा: चूंकि जा का अर्थ हाँ होता है, इसलिए सही उत्तर "हाँ" या "जा" है। हालाँकि, आप झूठ बोलने वाले व्यक्ति से पूछ रहे हैं, इसलिए वह उत्तर को उलट देगा और "दा" कहेगा।

पूछना = झूठ बोलने वाला व्यक्ति, हाँ = दा: चूंकि जा का अर्थ नहीं होता है, इसलिए सही उत्तर "नहीं" या "जा" है। हालांकि, आप झूठ बोलने वाले व्यक्ति से पूछ रहे हैं, इसलिए वह उत्तर को उलट देगा और "दा" कहेगा।

ध्यान दें कि यदि आप किसी सत्यवादी व्यक्ति से "हाँ" के लिए इस्तेमाल होने वाले शब्द की परवाह किए बिना, "जा" उत्तर प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार, यदि आप किसी झूठ बोलने वाले व्यक्ति से "हाँ" के लिए इस्तेमाल होने वाले शब्द की परवाह किए बिना, "दा" उत्तर प्राप्त करते हैं।