पोकर गणित

फाइव कार्ड स्टड के लिए व्युत्पन्न

मुझसे इतनी बार पूछा गया है कि मैं पोकर के हर हाथ के ड्रा होने की प्रायिकताएँ कैसे निकालता हूँ कि मैंने इस गणना को समझाने के लिए यह खंड बनाया है। इसके लिए कुछ हद तक गणितीय दक्षता की आवश्यकता होती है; हाई स्कूल के गणित में पारंगत कोई भी व्यक्ति इस व्याख्या को समझ सकता है। यहाँ इस्तेमाल किए गए कौशल प्रायिकता संबंधी कई तरह की समस्याओं पर लागू किए जा सकते हैं।

फैक्टोरियल फ़ंक्शन

अगर आपको फैक्टोरियल फंक्शन के बारे में पहले से पता है, तो आप आगे बढ़ सकते हैं। अगर आपको लगता है कि 5! का मतलब पाँच नंबर चिल्लाना है, तो पढ़ते रहें।

आपके लिविंग रूम के सोफे के लिए दिए गए निर्देशों में शायद यह सलाह दी जाएगी कि आप कुशन को नियमित रूप से पुनर्व्यवस्थित करें। मान लीजिए आपके सोफे में चार कुशन हैं। आप उन्हें कितने संयोजनों में व्यवस्थित कर सकते हैं? उत्तर है 4!, या 24। स्पष्ट रूप से पहला कुशन रखने के लिए 4 स्थान हैं, फिर दूसरे को रखने के लिए 3 स्थान बचेंगे, तीसरे के लिए 2 स्थान और अंतिम के लिए केवल 1, या 4*3*2*1 = 24। यदि आपके पास n कुशन हैं तो उन्हें व्यवस्थित करने के n*(n-1)*(n-2)* ... * 1 = n! तरीके होंगे। किसी भी वैज्ञानिक कैलकुलेटर में एक फैक्टोरियल बटन होना चाहिए, जिसे आमतौर पर x! से दर्शाया जाता है, और एक्सेल में फैक्ट(x) फ़ंक्शन x का फैक्टोरियल देगा। 52 कार्डों को व्यवस्थित करने के तरीकों की कुल संख्या 52! = 8.065818 * 10 ⁶⁷ होगी।

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संयोजक फलन

मान लीजिए कि आप अपने कार्यालय में 10 लोगों के समूह में से 4 लोगों की एक समिति बनाना चाहते हैं। चुनने के लिए लोगों के कितने अलग-अलग संयोजन हैं? उत्तर है 10!/(4!*(10-4)!) = 210। सामान्य स्थिति यह है कि यदि आपको x के समूह में से y लोगों की एक समिति बनानी है तो चुनने के लिए x!/(y!*(xy)!) संयोजन हैं। क्यों? दिए गए उदाहरण के लिए आपके कार्यालय में 10 लोगों को क्रम में रखने के 10! = 3,628,800 तरीके होंगे। आप पहले चार को समिति और अन्य छह को भाग्यशाली मान सकते हैं। हालाँकि आपको समिति में शामिल लोगों या जो समिति में नहीं हैं, उनका क्रम स्थापित करने की आवश्यकता नहीं है। समिति में लोगों को व्यवस्थित करने के 4! = 24 तरीके हैं और अन्य को व्यवस्थित करने के 6! = 720 तरीके हैं। आप समिति के अंदर और बाहर लोगों के क्रम को विभाजित करेंगे और केवल संयोजनों की संख्या के साथ छोड़ देंगे, विशेष रूप से (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10) / ((1 * 2 * 3 * 4) * (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6)) = 210। एक्सेल में संयोजन (x, y) फ़ंक्शन आपको बताएगा कि आप x में से y के समूह को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं।

अब हम 52 पत्तों की गड्डी में से पाँच संभावित पत्तों के हाथों की संख्या निर्धारित कर सकते हैं। उत्तर है संयोजन(52,5), या 52!/(5!*47!) = 2,598,960। यदि आप यह काम हाथ से कर रहे हैं क्योंकि आपके कैलकुलेटर में फ़ैक्टोरियल बटन नहीं है और आपके पास एक्सेल की कॉपी नहीं है, तो ध्यान रखें कि 47! के सभी गुणनखंड 52! के सभी गुणनखंडों को रद्द कर देते हैं और शेष बचता है (52*51*50*49*48)/(1*2*3*4*5)। किसी भी दिए गए हाथ के बनने की प्रायिकता, उसे व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या को 2,598.960 के कुल संयोजनों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त होती है। नीचे प्रत्येक हाथ के लिए संयोजनों की संख्या दी गई है। प्रायिकता जानने के लिए बस 2,598,960 से भाग दें।

पोकर गणित

अगला अनुभाग दिखाता है कि पांच कार्ड स्टड में प्रत्येक पोकर हाथ के संयोजनों की संख्या कैसे निकाली जाए।

रॉयल फ़्लश

रॉयल फ्लश निकालने के चार अलग-अलग तरीके हैं (प्रत्येक सूट के लिए एक)।

स्ट्रेट फ्लश

स्ट्रेट फ्लश में सबसे बड़ा पत्ता 5, 6, 7, 8, 9, 10, जैक, क्वीन या किंग हो सकता है। इस प्रकार 9 संभावित बड़े पत्ते और 4 संभावित सूट होते हैं, जिससे 9 * 4 = 36 अलग-अलग संभावित स्ट्रेट फ्लश बनते हैं।

एक तरह के चार

एक ही तरह के चार पत्तों की 13 अलग-अलग संभावित श्रेणियाँ हैं। पाँचवाँ पत्ता बाकी 48 पत्तों में से कुछ भी हो सकता है। इस प्रकार 13 * 48 = 624 अलग-अलग चार पत्ते एक ही तरह के होते हैं।

पूरा घर

एक तरह के तीन पत्तों के लिए 13 अलग-अलग संभावित रैंक हैं, और एक तरह के दो पत्तों के लिए 12 बचे हैं। एक रैंक के तीन पत्तों को व्यवस्थित करने के 4 तरीके हैं (4 अलग-अलग पत्तों को छोड़कर), और एक रैंक के दो पत्तों को व्यवस्थित करने के लिए combin(4,2) = 6 तरीके हैं। इस प्रकार, फुल हाउस बनाने के 13 * 12 * 4 * 6 = 3,744 तरीके हैं।

लालिमा

चुनने के लिए 4 सूट हैं और एक ही सूट के पाँच पत्तों को संयोजित (13,5) करने के 1,287 तरीके हैं। 1,287 में से 10 घटाएँ, उन दस बड़े पत्तों के लिए जो एक स्ट्रेट बना सकते हैं, जिससे एक स्ट्रेट फ्लश बनता है, और शेष 1,277 बचेगा। फिर चारों सूट के लिए 4 से गुणा करें, जिससे फ्लश बनाने के 5,108 तरीके बनेंगे।

सीधा

किसी स्ट्रेट में सबसे बड़ा पत्ता 5, 6, 7, 8, 9, 10, गुलाम, रानी, राजा या इक्का हो सकता है। इस प्रकार, 10 संभावित बड़े पत्ते होते हैं।प्रत्येक पत्ता चार अलग-अलग सूट का हो सकता है। चार अलग-अलग सूट के पाँच पत्तों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 4 ⁵ = 1024 है। इसके बाद, फ्लश बनाने के चार तरीकों के लिए 1024 में से 4 घटाएँ, जिससे स्ट्रेट फ्लश बनता है और शेष 1020 बचते हैं। स्ट्रेट बनाने के कुल तरीकों की संख्या 10*1020 = 10,200 है।

तीन हास्य अभिनेता

तीन एक जैसे पत्तों के लिए चुनने के लिए 13 रैंक हैं और चार में से तीन पत्तों को व्यवस्थित करने के 4 तरीके हैं। अन्य दो पत्तों के लिए चुनने के लिए अन्य दो रैंकों को व्यवस्थित करने के लिए combin(12,2) = 66 तरीके हैं। प्रत्येक दो रैंक में से चुनने के लिए चार पत्ते हैं। इस प्रकार तीन एक जैसे पत्तों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 13 * 4 * 66 * 4 ² = 54,912 है।

दो जोड़ी

दर्शाए गए दोनों रैंकों को व्यवस्थित करने के (13:2) = 78 तरीके हैं। दोनों रैंकों में दो पत्तों को व्यवस्थित करने के (4:2) = 6 तरीके हैं। पाँचवें पत्ते के लिए 44 पत्ते बचे हैं। इस प्रकार, दो जोड़े को व्यवस्थित करने के 78 * 6 ² * 44 = 123,552 तरीके हैं।

एक जोड़ी

जोड़ी के लिए चुनने के लिए 13 रैंक हैं और कॉम्बिन (4,2) = जोड़ी में दो पत्तों को व्यवस्थित करने के 6 तरीके हैं। सिंग्लटन के अन्य तीन रैंकों को व्यवस्थित करने के लिए कॉम्बिन (12,3) = 220 तरीके हैं, और प्रत्येक रैंक में चुनने के लिए चार पत्ते हैं। इस प्रकार, एक जोड़ी को व्यवस्थित करने के 13 * 6 * 220 * 4 ³ = 1,098,240 तरीके हैं।

कुछ नहीं

सबसे पहले 13 में से पाँच अलग-अलग रैंक चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, जो कि कॉम्बिनेशन (13,5) = 1287 है। फिर, स्ट्रेट बनाने वाले 10 अलग-अलग हाई कार्ड्स में से 10 घटाएँ, जिससे आपके पास 1277 बचेगा। प्रत्येक कार्ड 4 में से 1 सूट का हो सकता है, इसलिए 1277 संयोजनों में से प्रत्येक में सूट्स को व्यवस्थित करने के 4 ⁵ = 1024 अलग-अलग तरीके हैं। हालाँकि, फ्लश बनाने के चार तरीकों के लिए हमें 1024 में से 4 घटाना होगा, जिससे 1020 बचेगा। इसलिए हाई कार्ड हैंड व्यवस्थित करने के तरीकों की अंतिम संख्या 1277*1020=1,302,540 है।

विशिष्ट उच्च कार्ड

उदाहरण के लिए, आइए जैक-हाई कार्ड बनाने की प्रायिकता ज्ञात करें। हाथ में जैक से कम चार अलग-अलग पत्ते होने चाहिए, जिनमें से चुनने के लिए 9 पत्ते हैं। 9 में से 4 रैंकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या combin(9,4) = 126 है। फिर हमें 10-9-8-7 के संयोजन के लिए 1 घटाना होगा जो एक स्ट्रेट बनाएगा, जिससे 125 बचेंगे। ऊपर से हम जानते हैं कि सूटों को व्यवस्थित करने के 1020 तरीके हैं। 125 को 1020 से गुणा करने पर 127,500 प्राप्त होते हैं जो जैक-हाई हाथ बनाने के तरीकों की संख्या है। ऐस-हाई के लिए रैंकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या में से 1 के बजाय 2 घटाना याद रखें क्योंकि AKQJ-10 और 5-4-3-2-A दोनों मान्य स्ट्रेट हैं।
यहां एक अच्छी साइट है जो यह भी बताती है कि पोकर संभावनाओं की गणना कैसे करें ।

ऐस/किंग हाई

कैरेबियन स्टड पोकर में रुचि रखने वालों के लिए, मैं दूसरे सबसे बड़े पत्ते, बादशाह, के साथ इक्का (उच्च) आने की प्रायिकता की गणना करूँगा। बाकी तीन पत्ते अलग-अलग होने चाहिए और उनकी रैंक बेगम से लेकर दो तक होनी चाहिए। 11 में से 3 पत्तों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या (11:3) = 165 है। QJ-10 के लिए एक घटाएँ, जिससे एक स्ट्रेट बनेगा, और आपके पास 164 संयोजन बचेंगे। जैसा कि ऊपर बताया गया है, सूट को व्यवस्थित करने और फ्लश से बचने के 1020 तरीके हैं। इक्का/बादशाह को व्यवस्थित करने के अंतिम तरीकों की संख्या 164*1020=167,280 है।

आंतरिक लिंक

पोकर में अन्य बहुत सारी संभावनाओं के लिए, कृपया पोकर में संभावनाओं पर मेरा अनुभाग देखें।

द्वारा लिखित: Michael Shackleford