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मल्टी-कार्ड केनो में भिन्नता

परिचय

यह लेख मल्टी-कार्ड कीनो में भिन्नता पर चर्चा करता है। कई वीडियो कीनो गेम खिलाड़ी को एक साथ चार कार्ड और कुछ में अधिकतम 20 कार्ड खेलने की अनुमति देते हैं। खिलाड़ी अपने कार्डों में कितनी संख्याएँ समान हैं, इसके आधार पर खेल के भिन्नता को नियंत्रित कर सकता है। जितने ज़्यादा कार्डों में समान संख्याएँ होंगी, भिन्नता उतनी ही ज़्यादा होगी।

चार कार्ड केनो

गणित की समीक्षा

होने देना:

E(x) = यादृच्छिक चर X का अपेक्षित मान.
Cov(x) = किसी भी दो कार्डों के बीच सहप्रसरण.

एक कार्ड का विचरण इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

वार(x)=E(x^2)-(E(x)) 2

जब दो पत्तों में कोई भी समान संख्या होती है, तो प्रत्येक खेल के परिणाम सहसंबद्ध होते हैं। आमतौर पर इस सहसंबद्ध संबंध को उनके सहप्रसरण द्वारा मापा जाता है। दो यादृच्छिक चर x और y के बीच सहप्रसरण का सामान्य सूत्र है:

कोव(x,y) = E(xy) - E(x)*E(y)

यदि किसी भी दो कार्डों के बीच सामान्य संख्या समान है, तो n कार्डों के लिए कुल विचरण है:

कुल सहप्रसरण = n*Var(x) + n*(n-1)*Cov(x,y)

3 सामान्य संख्याओं वाला 6 चुनें

सबसे पहले, आइए 3,4,68,1500 के विशिष्ट भुगतान तालिका के अंतर्गत एक कार्ड का प्रसरण ज्ञात करें। निम्नलिखित तालिका सभी संभावित परिणामों के लिए अपेक्षित जीत और जीत का वर्ग दर्शाती है।

पिक सिक्स केनो रिटर्न टेबल

पकड़ना भुगतान करता है संभावना अपेक्षित
जीतना		 अपेक्षित
विन^2
0 0 0.166602 0.000000 0.000000
1 0 0.363495 0.000000 0.000000
2 0 0.308321 0.000000 0.000000
3 3 0.129820 0.389459 1.168376
4 4 0.028538 0.114152 0.456607
5 68 0.003096 0.210503 14.314233
6 1500 0.000129 0.193477 290.216113
कुल 1.000000 0.907591 306.155328

नीचे की पंक्ति में अपेक्षित प्रतिफल 0.907591 और जीत का अपेक्षित वर्ग 306.155328 दर्शाया गया है। इससे विचरण 306.155328 - 0.907591 2 = 305.331607 हो जाता है।

अब, आइए उस स्थिति पर गहराई से विचार करें जहाँ खिलाड़ी 6 संख्याएँ चुनता है, जिनमें से 3 सभी पत्तों पर समान होती हैं और बाकी 3 प्रत्येक पत्ते पर अलग-अलग संख्याएँ रखती हैं। उदाहरण के लिए, 4 पत्तों वाले खेल में मैं चुन सकता हूँ:

  • कार्ड A: 1,2,3,5,10,15
  • कार्ड B: 1,2,3,20,25,30
  • कार्ड C: 1,2,3,35,40,45
  • कार्ड डी: 1,2,3,50,55,60

निम्न तालिका दो पत्तों, A और B, जो छह में से तीन संख्याओं को साझा करते हैं, के बीच कैच की संख्या के सभी 49 संभावित संयोजनों की प्रायिकता दर्शाती है। बाएँ स्तंभ में पत्ते A पर कैच की संख्या और ऊपर की पंक्ति में पत्ते B पर कैच की संख्या दी गई है।

संयुक्त प्रायिकता तालिका - 3 सामान्य संख्याओं वाला 6 चुनें

कैच पकड़ 0 कैच 1 कैच 2 कैच 3 कैच 4 कैच 5 कैच 6 कुल
0 0.063748 0.073555 0.026369 0.002930 0.000000 0.000000 0.000000 0.166602
1 0.073555 0.152662 0.105475 0.029086 0.002717 0.000000 0.000000 0.363495
2 0.026369 0.105475 0.113626 0.051596 0.010479 0.000776 0.000000 0.308321
3 0.002930 0.029086 0.051596 0.034435 0.010316 0.001389 0.000068 0.129820
4 0.000000 0.002717 0.010479 0.010316 0.004216 0.000761 0.000049 0.028538
5 0.000000 0.000000 0.000776 0.001389 0.000761 0.000159 0.000011 0.003096
6 0.000000 0.000000 0.000000 0.000068 0.000049 0.000011 0.000001 0.000129
कुल 0.166602 0.363495 0.308321 0.129820 0.028538 0.003096 0.000129 1.000000

अगली तालिका दोनों कार्डों के बीच जीत का गुणनफल दर्शाती है।

विन उत्पाद तालिका - 6 चुनें

कैच पकड़ 0 कैच 1 कैच 2 कैच 3 कैच 4 कैच 5 कैच 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 9 12 204 4500
4 0 0 0 12 16 272 6000
5 0 0 0 204 272 4624 102000
6 0 0 0 4500 6000 102000 2250000

अगली तालिका ऊपर दी गई दो तालिकाओं का गुणनफल है, जिससे दोनों कार्डों के बीच जीत का अपेक्षित गुणनफल प्राप्त होता है। निचले दाएँ कक्ष में अपेक्षित जीत का गुणनफल 7.390131 दर्शाया गया है।

अपेक्षित जीत उत्पाद तालिका - 3 सामान्य संख्याओं के साथ 6 चुनें

कैच पकड़ 0 कैच 1 कैच 2 कैच 3 कैच 4 कैच 5 कैच 6 कुल
0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
1 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
2 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
3 0.000000 0.000000 0.000000 0.309916 0.123788 0.283363 0.306405 1.023472
4 0.000000 0.000000 0.000000 0.123788 0.067463 0.206918 0.295839 0.694008
5 0.000000 0.000000 0.000000 0.283363 0.206918 0.734216 1.108143 2.332641
6 0.000000 0.000000 0.000000 0.306405 0.295839 1.108143 1.629623 3.340010
कुल 0.000000 0.000000 0.000000 1.023472 0.694008 2.332641 3.340010 7.390131

इस प्रकार दोनों कार्डों के बीच सहप्रसरण 7.390131 - 0.907591 2 = 6.566409 है।

निम्नलिखित तालिका 1 से 20 कार्ड खेलने के लिए सभी कार्डों के संयुक्त और प्रति कार्ड दोनों के लिए विचरण और मानक विचलन दर्शाती है।

3 सामान्य संख्याओं वाला 6 चुनें -- विचरण सारांश

कार्ड कुल
झगड़ा		 झगड़ा
प्रति कार्ड		 कुल
मानक विचलन।		 मानक विचलन।
प्रति कार्ड
1 305.33 305.33 17.47 17.47
2 623.80 311.90 24.98 17.66
3 955.39 318.46 30.91 17.85
4 1300.12 325.03 36.06 18.03
5 1657.99 331.60 40.72 18.21
6 2028.98 338.16 45.04 18.39
7 2413.11 344.73 49.12 18.57
8 2810.37 351.30 53.01 18.74
9 3220.77 357.86 56.75 18.92
10 3644.29 364.43 60.37 19.09
11 4080.95 371.00 63.88 19.26
12 4530.75 377.56 67.31 19.43
13 4993.67 384.13 70.67 19.60
14 5469.73 390.69 73.96 19.77
15 5958.92 397.26 77.19 19.93
16 6461.24 403.83 80.38 20.10
17 6976.70 410.39 83.53 20.26
18 7505.29 416.96 86.63 20.42
19 8047.01 423.53 89.71 20.58
20 8601.87 430.09 92.75 20.74

5 सामान्य संख्याओं वाले 10 को चुनें

निम्नलिखित तालिका 3-4-68-1500 भुगतान तालिका के अंतर्गत पिक-10 केनो के लिए अपेक्षित जीत और जीत के अपेक्षित वर्ग को दर्शाती है।

पिक टेन केनो रिटर्न टेबल

पकड़ना भुगतान करता है संभावना अपेक्षित
जीतना		 अपेक्षित
विन^2
0 0 0.045791 0.000000 0.000000
1 0 0.179571 0.000000 0.000000
2 0 0.295257 0.000000 0.000000
3 0 0.267402 0.000000 0.000000
4 0 0.147319 0.000000 0.000000
5 5 0.051428 0.257138 1.285692
6 23 0.011479 0.264026 6.072600
7 132 0.001611 0.212671 28.072557
8 1000 0.000135 0.135419 135.419355
9 4500 0.000006 0.027543 123.943139
10 10000 0.000000 0.001122 11.221190
कुल 1.000000 0.897920 306.014533

निचली पंक्ति में अपेक्षित प्रतिफल 0.897920 और जीत का अपेक्षित वर्ग 306.014533 दर्शाया गया है। इससे विचरण 306.014533 - 0.897920^2 = 305.208273 हो जाता है।

बहुत सारे गणित के बाद, जिसे मैं छोड़ दूंगा, सहप्रसरण 9.998613 है।

निम्नलिखित तालिका 1 से 9 कार्ड खेलने के लिए सभी कार्डों के संयुक्त और प्रति कार्ड दोनों के लिए विचरण और मानक विचलन दर्शाती है।

कुल विचरण और मानक विचलन - 5 सामान्य संख्याओं वाले 10 चुनें

कार्ड कुल
झगड़ा		 झगड़ा
प्रति कार्ड		 कुल
मानक विचलन।		 मानक विचलन।
प्रति कार्ड
1 305.21 305.21 17.47 17.47
2 630.41 315.21 25.11 17.75
3 975.62 325.21 31.23 18.03
4 1340.82 335.20 36.62 18.31
5 1726.01 345.20 41.55 18.58
6 2131.21 355.20 46.17 18.85
7 2556.40 365.20 50.56 19.11
8 3001.59 375.20 54.79 19.37
9 3466.77 385.20 58.88 19.63
10 3951.96 395.20 62.86 19.88
11 4457.14 405.19 66.76 20.13
12 4982.32 415.19 70.59 20.38
13 5527.49 425.19 74.35 20.62
14 6092.66 435.19 78.06 20.86
15 6677.83 445.19 81.72 21.10

3 सामान्य संख्याओं वाला 9 चुनें

निम्नलिखित तालिका 1-6-44-300-4700-10000 भुगतान तालिका के तहत पिक-9 केनो के लिए अपेक्षित जीत और जीत के अपेक्षित वर्ग को दर्शाती है।

पिक टेन केनो रिटर्न टेबल

पकड़ना भुगतान करता है संभावना अपेक्षित
जीतना		 अपेक्षित
विन^2
0 0 0.063748 0.000000 0.000000
1 0 0.220666 0.000000 0.000000
2 0 0.316426 0.000000 0.000000
3 0 0.246109 0.000000 0.000000
4 1 0.114105 0.114105 0.114105
5 6 0.032601 0.195609 1.173653
6 44 0.005720 0.251661 11.073064
7 300 0.000592 0.177504 53.251057
8 4700 0.000033 0.153185 719.967331
9 10000 0.000001 0.007243 72.427678
कुल 1.000000 0.899305 858.006889

नीचे की पंक्ति में अपेक्षित प्रतिफल 0.899305 और जीत का अपेक्षित वर्ग 858.006889 दर्शाया गया है। इससे विचरण 858.006889 - 0.899305 2 = 857.198138 हो जाता है।

बहुत सारे गणित के बाद, जिसे मैं छोड़ दूंगा, सहप्रसरण 3.401478 है।

निम्नलिखित तालिका 1 से 12 कार्ड खेलने के लिए सभी कार्डों के संयुक्त और प्रति कार्ड दोनों के लिए विचरण और मानक विचलन दर्शाती है।

कुल विचरण और मानक विचलन - 3 सामान्य संख्याओं वाला 9 चुनें

कार्ड कुल
झगड़ा		 झगड़ा
प्रति कार्ड		 कुल
मानक विचलन।		 मानक विचलन।
प्रति कार्ड
1 857.20 857.20 29.28 29.28
2 1721.20 860.60 41.49 29.34
3 2592.00 864.00 50.91 29.39
4 3469.61 867.40 58.90 29.45
5 4354.02 870.80 65.99 29.51
6 5245.23 874.21 72.42 29.57
7 6143.25 877.61 78.38 29.62
8 7048.07 881.01 83.95 29.68
9 7959.69 884.41 89.22 29.74
10 8878.11 887.81 94.22 29.80
11 9803.34 891.21 99.01 29.85
12 10735.37 894.61 103.61 29.91

6 सामान्य संख्याओं वाला 9 चुनें

3 समान संख्याओं वाले 9 को चुनने के मामले में, एक ही कार्ड के लिए अपेक्षित रिटर्न तालिका ऊपर दी गई है। याद दिला दें कि विचरण 857.198138 है।

बहुत सारे गणित के बाद, जिसे मैं छोड़ दूंगा, छः समान संख्याओं वाले दो पिक-9 कार्डों के लिए सहप्रसरण 57.283444 है।

निम्नलिखित तालिका 1 से 20 कार्ड खेलने के लिए सभी कार्डों के संयुक्त और प्रति कार्ड दोनों के लिए विचरण और मानक विचलन दर्शाती है।

कुल विचरण और मानक विचलन - 6 सामान्य संख्याओं के साथ 9 चुनें

कार्ड कुल
झगड़ा		 झगड़ा
प्रति कार्ड		 कुल
मानक विचलन।		 मानक विचलन।
प्रति कार्ड
1 857.20 857.20 29.28 29.28
2 1828.96 914.48 42.77 30.24
3 2915.30 971.77 53.99 31.17
4 4116.19 1029.05 64.16 32.08
5 5431.66 1086.33 73.70 32.96
6 6861.69 1143.62 82.84 33.82
7 8406.29 1200.90 91.69 34.65
8 10065.46 1258.18 100.33 35.47
9 11839.19 1315.47 108.81 36.27
10 13727.49 1372.75 117.16 37.05
11 15730.36 1430.03 125.42 37.82
12 17847.79 1487.32 133.60 38.57
13 20079.79 1544.60 141.70 39.30
14 22426.36 1601.88 149.75 40.02
15 24887.50 1659.17 157.76 40.73
16 27463.20 1716.45 165.72 41.43
17 30153.47 1773.73 173.65 42.12
18 32958.30 1831.02 181.54 42.79
19 35877.70 1888.30 189.41 43.45
20 38911.67 1945.58 197.26 44.11

सारांश

निम्नलिखित तालिका में उपरोक्त सभी मामलों के लिए प्रासंगिक आंकड़े तथा 2 से 10 तक की प्रत्येक संख्या को दर्शाया गया है, जिसमें कोई भी संख्या ओवरलैप नहीं है।

सारांश

की पसंद वेतन तालिका ओवरलैपिंग
नंबर		 झगड़ा सहप्रसरण
2 14 0 0.841772 11.076230 -0.108155
3 2,45 0 0.901899 27.839208 -0.205128
4 2,5,85 0 0.901899 23.251327 -0.183044
5 3,11,804 0 0.901899 418.292207 -0.441581
6 3,4,68,1500 0 0.903340 305.331607 -0.376538
7 1,2,20,390,7000 0 0.908473 1310.087945 -0.518283
8 2,12,98,1550,10000 0 0.906738 844.928926 -0.603251
9 1,6,44,300,4700,10000 0 0.899305 857.198138 -0.609176
10 5,23,132,1000,4500,10000 0 0.897920 305.208273 -0.631869
6 3,4,68,1500 3 0.903340 305.331607 6.566409
9 1,6,44,300,4700,10000 3 0.899305 857.198138 3.401478
9 1,6,44,300,4700,10000 6 0.899305 857.198138 57.283444
10 5,23,132,1000,4500,10000 5 0.897920 305.208273 9.998613

उदाहरण

यह सब कैसे मददगार है? यहाँ एक उदाहरण गणित की समस्या दी गई है जहाँ ऊपर दी गई जानकारी मददगार साबित होगी।

जो चार-कार्ड कीनो के 10,000 खेल खेलता है। हर खेल में, वह चारों पत्तों में से तीन समान संख्याएँ चुनता है और बाकी तीन संख्याएँ अद्वितीय होती हैं। वह प्रति पत्ता $1 का दांव लगाता है। 3-4-68-1500 भुगतान तालिका का उपयोग किया जाता है। उसकी कुल संभावित जीत के लिए 95% विश्वास अंतराल क्या है?

उत्तर के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।

उत्तर है $10,763.44 की हानि और $3,370.73 की जीत।

संक्षिप्त समाधान के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।

[स्पॉइलर=समाधान]

अपेक्षित जीत 10,000 × 4 × $1 × (0.907591-1) = -3,696.35 है।

ऊपर दी गई तालिका दर्शाती है कि प्रति कार्ड विचरण 325.0308343 है। कुल 40,000 कार्डों के साथ, कुल विचरण 40,000 × 325.0308343 = $13,001,233 है।

विचरण का वर्गमूल मानक विचलन है, जो sqrt($13,001,233) = $3,605.72 के बराबर है।

95% विश्वास अंतराल दोनों दिशाओं में 1.959964 मानक विचलन तक फैला होता है। इसका मतलब है कि 95% मामलों में वास्तविक जीत उम्मीदों के 1.959964 × $3,605.72 = $7,067.09 के दायरे में होगी।

इस प्रकार, 95% विश्वास अंतराल की निचली सीमा -$3,696.35 - $7,067.09 = -$10,763.44 है।

95% विश्वास अंतराल की ऊपरी सीमा -$3,696.35 + $7,067.09 = $3,370.73 है।

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द्वारा लिखित: Michael Shackleford