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बिंगो संभावनाएँ: स्टेशन कैसीनो में जंबो प्रोग्रेसिव का विश्लेषण

आखरी अपडेट: Nov 21, 2025

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बिंगो संभावनाएँ: स्टेशन कैसीनो में जंबो प्रोग्रेसिव का विश्लेषण

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जब से मैंने अपनी प्रारंभिक रिपोर्ट लिखी है, स्टेशन कैसिनो ने संभवतः अक्टूबर में किसी समय, विषम और सम के वितरण में फिर से बदलाव किया है। नीचे दी गई तालिका मेरे द्वारा लिए गए और एक अन्य द्वारा खेले गए कार्डों के हालिया वितरण को दर्शाती है, जिसे मैं बस "L" कहूँगा।

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जंबो बिंगो कार्ड का नया नमूना

संख्या बाधाओं का	माइक का नमूना	एल का नमूना	कुल नमूना	संभावना
9	2	3	5	0.011261
10	7	10	17	0.038288
11	14	25	39	0.087838
12	34	41	75	0.168919
13	41	71	112	0.252252
14	86	110	196	0.441441
कुल	184	260	444	1

हालाँकि 9 से 14 ऑड्स की सीमा वही रहती है, लेकिन संभावना अब 14 ऑड्स की ओर ज़्यादा झुकी हुई है, जबकि पहले यह ज़्यादा समान वितरण पर थी। ज़्यादा ऑड्स होने से प्रोग्रेसिव जैकपॉट जीतना मुश्किल हो जाता है। इस नमूने के आधार पर, अगर आप एक सकारात्मक अपेक्षित मान चाहते हैं, तो मैं अब जंबो बॉल के 54 तक पहुँचने तक इंतज़ार करने की सलाह देता हूँ।

अगली तालिका मेरे कुल नमूने की तुलना अपेक्षित कुल के साथ करती है, जिसमें समान नमूना आकार और प्रत्येक कुल की संभावना को शामिल किया गया है, जिसमें कार्ड खींचने की वही विधि मानी गई है, जिसे पहले स्टीफन एल. कैवेलारो (स्टेशन कैसिनो के कार्यकारी उपाध्यक्ष और मुख्य परिचालन अधिकारी) ने मुझे समझाया था।

वास्तविक बनाम अपेक्षित योग

संख्या बाधाओं का	नमूना कुल	अपेक्षित कुल
9	5	33.17
10	17	60.48
11	39	87.61
12	75	101.15
13	112	93.18
14	196	68.41
कुल	444	444

यह स्पष्ट है कि मेरे परिणाम मेरी अपेक्षाओं के अनुरूप नहीं हैं। इस वितरण की विषमता पर अपेक्षाओं की तुलना में एक सांख्यिकीय परीक्षण करने पर 5 डिग्री स्वतंत्रता के साथ 330.71 का काई-स्क्वेयर्ड सांख्यिकी प्राप्त होती है। इस विषमता या इससे अधिक के परिणामों की संभावना 402,433,741,048,496,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 में से 1 है। इसे परिप्रेक्ष्य में रखने के लिए, लगातार आठ बार पावरबॉल हिट करने की संभावना अधिक होती है।

इस बात को और पुख्ता करने के लिए कि कार्ड निकालने के तरीके में बदलाव आया है, नीचे दी गई तालिका कथित बदलाव से पहले और बाद में मेरे नमूने के परिणाम दिखाती है। नमूना 1 अगस्त में लिया गया था, नमूना 2 30 अक्टूबर और 1 नवंबर को लिया गया था।

पुराना बनाम नया नमूना

संख्या बाधाओं का	नमूना 1	नमूना 2	नमूना 1 संभावना	नमूना 2 संभावना
9	35	5	13.51%	1.13%
10	35	17	13.51%	3.83%
11	34	39	13.13%	8.78%
12	48	75	18.53%	16.89%
13	55	112	21.24%	25.23%
14	52	196	20.08%	44.14%
कुल	259	444	100%	100%

निम्नलिखित ग्राफ उपरोक्त तालिका में दो संभाव्यता स्तंभों की अपेक्षित संभाव्यताओं के सापेक्ष तुलना करता है।

इससे पता चलता है कि हालाँकि नमूना 1 अपेक्षाओं से पूरी तरह मेल नहीं खाता था, फिर भी यह संभव है कि विचलन एक विषम नमूने के कारण हो (इसकी संभावना 4844 में 1 है)। हालाँकि, नया नमूनाकरण न तो अपेक्षाओं से और न ही पुराने नमूने से, इसमें कोई संदेह नहीं है।

मैंने स्टेशन कैसीनो प्रबंधन से नए कार्ड कैसे निकाले जाते हैं, इस बारे में पूछताछ की और उन्हें बताया गया कि कार्ड निकालने के तरीके में कोई बदलाव नहीं किया गया है। मेरे विपरीत साक्ष्य पर कोई टिप्पणी नहीं की गई और मेरी "नकारात्मक रिपोर्टिंग" के कारण आगे सहयोग करने से मना कर दिया गया।

टिप्पणियाँ: "माइक का नमूना" 1 नवंबर को सुबह 3:00 बजे के सत्र में सनसेट स्टेशन पर एकत्र किया गया था। "एल का नमूना" 30 अक्टूबर को सुबह 9:00 बजे और 11:00 बजे के सत्रों में बोल्डर स्टेशन पर एकत्र किया गया था।

निम्नलिखित मेरा प्रारंभिक अध्ययन है, जो अब पुराना हो चुका है।

निम्नलिखित मेरा प्रमाण है कि निम्नलिखित लास वेगास कैसीनो में बेचे जाने वाले प्रगतिशील बिंगो कार्ड पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से नहीं बनाए गए हैं।

पैलेस स्टेशन
सांता फ़े स्टेशन
टेक्सास स्टेशन
बोल्डर स्टेशन
सूर्यास्त स्टेशन
फिएस्टा रैंचो
फिएस्टा हेंडरसन
सैम का शहर

लास वेगास के स्टेशन कैसिनो में जंबो बिंगो नामक एक लिंक्ड बिंगो प्रोग्रेसिव चलता है। प्रोग्रेसिव मीटर $100,000 से शुरू होता है। जीतने के लिए खिलाड़ी को 47 कॉल के भीतर एक कवर ऑल (कार्ड पर सभी 24 नंबरों को कवर करना) प्राप्त करना होगा। यदि पाँचों बिंगो पार्लरों में से किसी में भी पहले सप्ताह में कोई भी इसे हिट नहीं करता है, तो प्रोग्रेसिव (जिसे जंबो बॉल कहा जाता है) जीतने के लिए कॉल की संख्या एक बढ़कर 48 हो जाती है। इसी तरह, जंबो बॉल हर हफ्ते एक-एक करके तब तक बढ़ती रहेगी जब तक कोई जीत नहीं जाता।

जाहिर है, समय बचाने के प्रयास में, बुलाए गए पहले 37 नंबर 2 से 74 के बीच की सभी सम संख्याएँ हैं। जंबो बिंगो कार्ड्स में सभी सम संख्याओं के लिए सुविधाजनक रूप से पहले से ही चिह्नित कार्ड होते हैं। खेल शुरू होने पर, कॉल करने वाला पूछेगा कि क्या सभी सम संख्याओं वाले कार्ड के आधार पर कोई जीता है। फिर, जब कोई भी विजेता कार्ड का दावा नहीं करता है, तो कॉल करने वाला सम संख्या वाली गेंदों को नज़रअंदाज़ करते हुए, यादृच्छिक रूप से गेंदें निकालेगा। अगर जंबो बॉल बुलाए जाने तक किसी को भी कवरऑल नहीं मिलता है, तो 52 कॉल के भीतर कवरऑल पाने के लिए $5000 का सांत्वना पुरस्कार है। अगर कोई दावा नहीं करता है, तो कॉल की संख्या चाहे कितनी भी हो, कवरऑल पाने वाले पहले व्यक्ति को $1199 का पुरस्कार दिया जाएगा। बिंगो में हमेशा की तरह, अगर कई खिलाड़ी एक साथ जीतते हैं, तो कोई भी पुरस्कार बँट जाता है।

फिएस्टा कैसिनो में भी ऐसा ही एक छोटा-सा खेल होता है। प्रोग्रेसिव इनाम $25,000 से शुरू होता है और सांत्वना पुरस्कार छोटे होते हैं। इसमें भी यही बात है कि सभी सम संख्याएँ पहले ही बता दी जाती हैं। सैम्स टाउन में खेल उल्टा होता है और विषम संख्याएँ पहले ही बता दी जाती हैं।

निम्न तालिका एक निष्पक्ष कार्ड के लिए कार्ड पर मौजूद कुल विषम संख्याओं के अनुसार प्रायिकता वितरण प्रदर्शित करती है। निष्पक्ष कार्ड की मेरी परिभाषा वह है जिसमें 5 "B" संख्याएँ 1 से 15 के बीच यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं, 5 "I" संख्याएँ 16 से 30 के बीच यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं, और इसी प्रकार आगे भी। समान परिणाम प्राप्त करने का एक अन्य तरीका यह होगा कि 1 से 75 तक संख्याएँ निकाली जाएँ और कार्ड को संख्याएँ चुनते समय भरें, और यदि संबंधित कॉलम पहले से भरा हुआ हो तो संख्याओं को छोड़ दें।

कुल विषम संख्याओं की प्रायिकता - फेयर कार्ड

संख्या बाधाओं का	संभावना	व्युत्क्रम प्रायिकता
0	0.000000000436	2293355030 में 1
1	0.000000022747	43962077 में 1
2	0.000000534794	1869877 में 1
3	0.000007530006	132802 में 1
4	0.000071202834	14044 में 1
5	0.000480801205	2080 में 1
6	0.002407676276	415 में 1
7	0.00916827051	109 में 1
8	0.027013789916	37 में से 1
9	0.062346657338	16 में से 1
10	0.113677702037	9 में से 1
11	0.164671200005	6 में से 1
12	0.1901222602	5 में से 1
13	0.175132872532	6 में से 1
14	0.1285740634	8 में से 1
15	0.074984221403	13 में से 1
16	0.034540809008	29 में 1
17	0.012458867878	80 में से 1
18	0.003475365511	288 में 1
19	0.00073657509	1358 में 1
20	0.000115624911	8649 में 1
21	0.000012937867	77292 में 1
22	0.000000969822	1031117 में 1
23	0.000000043401	23041075 में 1
24	0.000000000872	1146677515 में 1
कुल	1	1 में 1

ज़ाहिर है, बहुत कम ऑड्स वाला कार्ड ज़्यादातर विषम संख्याओं वाले कार्ड की तुलना में अच्छी शुरुआत और जीतने की संभावना ज़्यादा होगी। लास वेगास एडवाइज़र के जुलाई 2002 के अंक में मैंने जंबो बिंगो के बारे में एक लेख लिखा था, जो इस धारणा पर आधारित था कि कार्ड बेतरतीब ढंग से बनाए गए थे। उस कॉलम के एक पाठक ने मुझे बताया कि उनका मानना है कि कार्ड बेतरतीब ढंग से नहीं बनाए गए थे, इसका प्रमाण यह है कि उन्होंने 1500 कार्ड खरीदे थे और उन सभी पर कुल ऑड्स 9 से 14 के बीच थे।

इस आरोप की पुष्टि करने के लिए कि सभी कार्डों पर 9 से 14 ऑड्स थे, मेरे सहायक रॉब फेल्डहाइम ने पैलेस स्टेशन पर 259 जंबो बिंगो कार्ड इकट्ठा किए। फिर हमने हर कार्ड पर ऑड्स की संख्या गिनी और जैसा कि मुझे डर था, कुल ऑड्स हमेशा 9 से 14 ही थे। अगली तालिका में प्रत्येक ऑड्स की संख्या का कुल योग और एक निष्पक्ष खेल में अपेक्षित कुल योग दिखाया गया है।

पैलेस स्टेशन कार्ड, वास्तविक बनाम अपेक्षित

संख्या बाधाओं का	संख्या नमूने में	अपेक्षित कुल
0	0	0
1	0	0.000006
2	0	0.000139
3	0	0.00195
4	0	0.018442
5	0	0.124528
6	0	0.623588
7	0	2.374582
8	0	6.996572
9	35	16.147784
10	35	29.442525
11	34	42.649841
12	48	49.241665
13	55	45.359414
14	52	33.300682
15	0	19.420913
16	0	8.94607
17	0	3.226847
18	0	0.90012
19	0	0.190773
20	0	0.029947
21	0	0.003351
22	0	0.000251
23	0	0.000011
24	0	0
कुल	259	259

कुल ऑड्स की संख्या 9 और 14 के बीच होने की प्रायिकता 0.834524756 है। 42.858088 के नमूने में से 9 से 14 की सीमा से बाहर होना चाहिए था, लेकिन ऐसा नहीं हुआ। एक निष्पक्ष खेल में ऐसा होने की प्रायिकता 0.834524756 ²⁵⁹ = 4.4953 * 10 ^-21 है, या 222,454,364,282,805,000,000 में 1 है।

यहां 22 अगस्त 2002 को फिएस्टा रैंचो में 11:00 बजे के सत्र के बाद प्राप्त ग्रांडे बिंगो कार्डों पर किए गए इसी प्रकार के परीक्षण के परिणाम दिए गए हैं।

फिएस्टा रैंचो कार्ड, वास्तविक बनाम अपेक्षित

संख्या बाधाओं का	संख्या नमूने में	अपेक्षित कुल
0	0	0
1	0	0.000002
2	0	0.000047
3	0	0.000655
4	0	0.006195
5	0	0.04183
6	0	0.209468
7	0	0.79764
8	0	2.3502
9	10	5.424159
10	6	9.88996
11	19	14.326394
12	18	16.540637
13	18	15.23656
14	16	11.185944
15	0	6.523627
16	0	3.00505
17	0	1.083922
18	0	0.302357
19	0	0.064082
20	0	0.010059
21	0	0.001126
22	0	0.000084
23	0	0.000004
24	0	0
कुल	87	87

9 से 14 की सीमा से बाहर आने की अपेक्षित संख्या 14.396346 है, लेकिन वास्तव में उनमें से 0 ही आए। इसकी संभावना 1.46289 * 10 ^-7 है, यानी 6,835,771 में 1।

इसके बाद सैम्स टाउन से मेरे प्रगतिशील कार्ड के नमूने के परिणाम हैं।

सैम्स टाउन कार्ड, वास्तविक बनाम अपेक्षित

संख्या शाम का	संख्या नमूने में	अपेक्षित कुल
0	0	0
1	0	0.000002
2	0	0.000055
3	0	0.000768
4	0	0.007263
5	0	0.049042
6	0	0.245583
7	0	0.935164
8	1	2.755407
9	1	6.359359
10	19	11.595126
11	25	16.796462
12	24	19.392471
13	20	17.863553
14	12	13.114554
15	0	7.648391
16	0	3.523163
17	0	1.270805
18	0	0.354487
19	0	0.075131
20	0	0.011794
21	0	0.00132
22	0	0.000099
23	0	0.000004
24	0	0
कुल	102	102

स्टेशन कैसिनोज़ के स्टीफ़न एल. कैवेलारो से बातचीत के आधार पर, मुझे सैम्स टाउन में 10 से 15 ऑड्स या 9 से 14 सम संख्याएँ मिलने की उम्मीद थी। हालाँकि, मुझे 8 सम संख्या वाला एक कार्ड मिला, और 9 सम संख्या वाला भी सिर्फ़ एक कार्ड। किसी भी दिए गए कार्ड के 8 से 14 सम संख्याएँ होने की प्रायिकता 0.881703 है। 102 के इस श्रेणी में आने की प्रायिकता 2.647786 * 10 ^-6 , यानी 377,674 में 1 है।

इसके अलावा, मैंने सनकोस्ट के साधारण बिंगो कार्डों पर भी ऐसा ही परीक्षण किया। 129 नमूनों के वास्तविक और अपेक्षित परिणाम निम्नलिखित थे।

सनकोस्ट कार्ड, वास्तविक बनाम अपेक्षित

संख्या बाधाओं का	संख्या नमूने में	अपेक्षित कुल
0	0	0
1	0	0.000003
2	0	0.000069
3	0	0.000971
4	0	0.009185
5	0	0.062023
6	0	0.31059
7	1	1.182707
8	6	3.484779
9	5	8.042719
10	17	14.664424
11	19	21.242585
12	29	24.525772
13	20	22.592141
14	18	16.586054
15	10	9.672965
16	1	4.455764
17	3	1.607194
18	2	0.448322
19	0	0.095018
20	0	0.014916
21	0	0.001669
22	0	0.000125
23	0	0.000006
24	0	0
कुल	129	129

129 पत्तों में से 9 से 14 के दायरे से बाहर की संख्या 21 थी, जबकि अपेक्षित संख्या 21.34630654 थी। ये पत्ते आसानी से विषम/सम की परीक्षा में पास हो गए। इन्हें पास होना ही चाहिए था क्योंकि ऐसा कोई खेल नहीं था जिसमें विषम या सम की संख्या पहले से बताई जाती हो।

अगली तालिका एक निष्पक्ष खेल में जीतने की संभावना को दर्शाती है, बशर्ते खिलाड़ी को 50 नंबरों के भीतर कवर ऑल प्राप्त करना होगा।

जीतने की संभावना - फेयर कार्ड

संख्या बाधाओं का	संभावना कार्ड का	संभावना कार्ड जीत	कुल संभावना
0	0.000000000436	1	0.000000000436
1	0.000000022747	0.342105263158	0.000000007782
2	0.000000534794	0.110953058321	0.000000059337
3	0.000007530006	0.033902323376	0.000000255285
4	0.000071202834	0.009686378107	0.000000689698
5	0.000480801205	0.002564041264	0.000001232794
6	0.002407676276	0.000621585761	0.000001496577
7	0.00916827051	0.000135971885	0.000001246627
8	0.027013789916	0.000026317139	0.000000710926
9	0.062346657338	0.00000438619	0.000000273464
10	0.113677702037	0.000000604992	0.000000068774
11	0.164671200005	0.000000064821	0.000000010674
12	0.1901222602	0.000000004802	0.000000000913
13	0.175132872532	0.000000000185	0.000000000032
14	0.1285740634	0	0
15	0.074984221403	0	0
16	0.034540809008	0	0
17	0.012458867878	0	0
18	0.003475365511	0	0
19	0.00073657509	0	0
20	0.000115624911	0	0
21	0.000012937867	0	0
22	0.000000969822	0	0
23	0.000000043401	0	0
24	0.000000000872	0	0
कुल	1	0	0.000006053319

नीचे की छवि - दाईं ओर - जीतने की कुल संभावना 0.000006053319, या 165199 में 1 दर्शाती है। अगर किसी निष्पक्ष खेल में जीत होती है, तो ध्यान दें कि इसकी सबसे ज़्यादा संभावना 6 ऑड्स वाले कार्ड पर होती है। निष्पक्ष खेल में 9 से कम ऑड्स वाले कार्ड के जीतने की संभावना 94.15% है।

जब मुझे पता चला कि मैं अपनी जाँच के बारे में लिखने की योजना बना रहा हूँ, तो मुझे स्टीफन एल. कैवेलारो (स्टेशन कैसिनोज़ के कार्यकारी उपाध्यक्ष और मुख्य परिचालन अधिकारी) और जोनाथन स्वैन (पैलेस स्टेशन के उपाध्यक्ष और महाप्रबंधक) से मिलने के लिए कहा गया। स्टीफन ने तुरंत स्वीकार किया कि कार्डों में 9 से 14 ऑड्स पहले से ही चुने गए थे। उन्होंने कहा कि यह खेल के मैदान को समान बनाने और प्रत्येक कार्ड और ग्राहक को जीतने की उम्मीद देने के प्रयास में किया गया था। उन्होंने यह भी कहा कि शुरुआत में रेंज बहुत व्यापक थी और पहले विजेता के कार्ड पर केवल 3 ऑड्स थे। इसके अलावा, उन्होंने कहा कि सैम्स टाउन और फिएस्टा कैसिनोज़ भी यही कर रहे थे, और स्टेशन गेम नेवादा गेमिंग कंट्रोल बोर्ड द्वारा पूरी तरह से अनुमोदित है।

एक अनुवर्ती फ़ोन कॉल में स्टीफ़न कैवेलारो ने मुझे बताया कि कार्ड बनाने का तरीका यह है कि कंप्यूटर बेतरतीब ढंग से उचित संख्याओं का एक समूह चुनता है। अगर कुल ऑड्स 9 और 14 के बीच हैं, तो यह कार्ड प्रिंट करेगा, अन्यथा यह संख्याओं के उस समूह को छोड़ देगा और अगले समूह पर चला जाएगा। नीचे दी गई तालिका कार्ड बनाने की इस विधि के तहत ऑड्स की प्रत्येक संख्या की समायोजित प्रायिकता दर्शाती है।

कुल विषम संख्याओं की प्रायिकता स्टेशन कार्ड

बाधाओं की संख्या	संभावना
9	0.074709
10	0.136218
11	0.197323
12	0.227821
13	0.209859
14	0.154069
कुल	1

कुल मिलाकर, सबसे अच्छे पत्तों को मिश्रण से हटाने का नतीजा यह होता है कि किसी भी दिए गए पत्ते के प्रोग्रेसिव कार्ड पर पहुँचने की संभावना काफी कम हो जाती है। सबसे खराब पत्तों को हटाने से कोई क्षतिपूर्ति नहीं होती। पत्तों को पहले से चुनने की इस नीति के परिणामस्वरूप जैकपॉट बड़े होते जाते हैं। साथ ही, कैसीनो को मीटर को कम बार रीसीड करना पड़ता है। कुल मिलाकर, प्रोग्रेसिव विजेता कम होते हैं और कुल पुरस्कार राशि भी कम जीती जाती है। अगली तालिका जैकपॉट जीतने के लिए बुलाई गई गेंदों की संख्या के अनुसार एक फेयर कार्ड और एक स्टेशन कार्ड, दोनों के जीतने की अपेक्षित संभावना दर्शाती है।

जीतने की अपेक्षित संभावना

संख्या कॉलों का	फेयर कार्ड	स्टेशन कार्ड	अनुपात
47	1,122,373 में 1	205,287,873 में 1	182.91
48	583,217 में 1	35,037,983 में 1	60.08
49	308,005 में 1	8,203,638 में 1	26.63
50	165,199 में 1	2,358,363 में 1	14.28
51	89,925 में 1	785,008 में 1	8.73
52	49,648 में 1	291,923 में 1	5.88
53	27,784 में 1	118,433 में 1	4.26

अनुपात कॉलम दर्शाता है कि स्टेशन कैसीनो कार्ड का इस्तेमाल करके जीतना, निष्पक्ष कार्ड की तुलना में कितने गुना ज़्यादा मुश्किल है। उदाहरण के लिए, अगर जैकपॉट 50 या उससे कम गेंदों में लगना हो, तो जीतना 14.28 गुना ज़्यादा मुश्किल होता है।

मेरी राय है कि सभी बिंगो कार्ड ऊपर बताए गए तरीके से पूरी तरह से बेतरतीब ढंग से बनाए जाने चाहिए। इसके अलावा, मेरा मानना है कि अगर कोई कार्ड बेतरतीब ढंग से नहीं बनाया गया है, तो उसके बनने के तरीके और खिलाड़ी पर पड़ने वाले प्रभाव के बारे में नियमों का खुलासा किया जाना चाहिए। जुए के सभी रूपों में मैं निष्पक्षता और खुलासे का पुरजोर समर्थन करता हूँ। नेवादा राज्य में बिंगो के मामले में मुझे इनमें से कोई भी बात सही नहीं लगती। इसलिए बिंगो खेलने वालों को सावधान रहना चाहिए।

मैं स्टीफन कैवेलारो और जोनाथन स्वाइम को मुझसे मिलने और इस मामले पर खुलकर बात करने के लिए धन्यवाद देता हूं।

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माइकल शेकलफोर्ड, एएसए

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द्वारा लिखित: Michael Shackleford