टेक्सास होल्डम - संभावना - जोड़े

मान लें कि आप पांच कार्ड खींचते हैं, और सभी हाथों को ठीक दो जैक के साथ गिनते हैं, तो संभावना होगी combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3.99%.

प्रायिकता के प्रश्नों के लिए, मैं आपके द्वारा रुचिकर घटना के घटित होने वाले संयोजनों की संख्या को कुल संयोजनों की संख्या से विभाजित करके लेना पसंद करता हूँ। सबसे पहले मेरे पोकर में प्रायिकता अनुभाग में कॉम्बिन फ़ंक्शन की समीक्षा करें। एक तरह का चार प्राप्त करने के तरीकों की संख्या बस डेक में सिंगलटन की संख्या या 48 है। एक तरह का तीन प्राप्त करने के तरीकों की संख्या (फुल हाउस को शामिल नहीं करते हुए) तीसरा कार्ड प्राप्त करने के तरीकों की संख्या, 2, और दो अन्य सिंगलटन प्राप्त करने के तरीकों की संख्या, 2*कॉम्बिन(12,2)*4 ² = 2,112 का गुणनफल है। फ्लॉप में कार्ड आने के कुल तरीकों की संख्या कॉम्बिन(50,3)=19,600 है। इसलिए, एक तरह के चार की संभावना 48/19600=0.0024 है

52 में से 2 पत्तों को व्यवस्थित करने के 52*51/2 = 1326 तरीके हैं। 4 में से 2 इक्कों को व्यवस्थित करने के 4*3/2 = 6 तरीके हैं। तो उत्तर है 6/1326 = 1/221। ऐसा लगातार दो बार होने की प्रायिकता (1/221) ² = 48,841 में 1 है।

सबसे पहले, 10*9/2=45 तरीके हैं जिनसे आप 10 में से 2 खिलाड़ी चुन सकते हैं। दो विशिष्ट खिलाड़ियों द्वारा चार इक्के मिलने की प्रायिकता 1/combin(52,4)=1/270725 है। इसलिए किन्हीं दो खिलाड़ियों द्वारा इक्कों का एक जोड़ा मिलने की प्रायिकता 45/270725=0.0001662 है।

जो लोग इस शब्दावली से परिचित नहीं हैं, उनके लिए बता दूँ कि प्रत्येक खिलाड़ी को दो कार्ड मिलते हैं और फ्लॉप के तीन कार्ड सभी खिलाड़ियों में बाँट दिए जाते हैं। तो यह पूछने जैसा है कि अगर आपको तीन सामुदायिक कार्ड मिले, सभी अलग-अलग रैंक के, और दस 2-कार्ड वाले हाथ, तो क्या संभावना है कि 2-कार्ड वाले हाथों में से तीन ऐसे जोड़े होंगे जो तीन सामुदायिक कार्डों में से किसी एक से मेल खाते हों।

खिलाड़ी 1 के पास एक सेट होने की प्रायिकता 3* कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (49,2) है। तो खिलाड़ी 2 के पास एक सेट होने की प्रायिकता 2*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (47,2) है। तो खिलाड़ी 3 के पास एक सेट होने की प्रायिकता कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (45,2) है। हालाँकि, कोई भी तीन खिलाड़ी तीनों सेट जीत सकते हैं, ज़रूरी नहीं कि पहले तीन ही जीतें। 10 में से सेट वाले 3 खिलाड़ियों को चुनने के कॉम्बिन (10,3) तरीके हैं। तो उत्तर है कॉम्बिन (10,3)*(3*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (49,2))*(2*कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (47,2))*(कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (45,2)) = 0.00000154464 = 64,740 में 1।

किसी भी व्यक्ति के लिए AA होने की प्रायिकता संयोजन (4,2)/संयोजन (50,2) = 6/1,225 = 0.0049 है क्योंकि 4 में से 2 इक्के चुनने के 6 तरीके हैं और डेक में बचे 50 में से कोई भी 2 पत्ते चुनने के 1225 तरीके हैं। राजाओं के जोड़े के लिए भी यही प्रायिकता है। AK के लिए प्रायिकता 4*4/1,225=0.0131 है, क्योंकि इक्का पाने के 4 तरीके हैं और राजा पाने के भी 4 तरीके हैं। AQ के लिए प्रायिकता 4*2/1225=0.0065 है, क्योंकि डेक में 4 इक्के हैं लेकिन केवल 2 रानियाँ बची हैं। इसलिए किसी भी खिलाड़ी के पास इनमें से एक हाथ होने की प्रायिकता (6+6+16+8)/1225 = 0.0294 है। अब अगला कदम स्पष्ट रूप से सही नहीं है क्योंकि अगर किसी खिलाड़ी के पास इनमें से एक भी हाथ नहीं है, तो अगले खिलाड़ी के पास होने की संभावना थोड़ी ज़्यादा है। सरलता के लिए इसे भूलकर, किसी भी खिलाड़ी के पास इनमें से एक भी हाथ न होने की संभावना (1-0.0294) ⁸ = 78.77% है। इसलिए कम से कम एक खिलाड़ी के पास इनमें से एक हाथ होने की संभावना 21.23% है।

मान लीजिए आपके पास इक्कों की एक जोड़ी है। यह विचार करने से पहले कि दूसरे खिलाड़ी के पास एक और जोड़ी है, एक जैसा तीन कार्ड फ्लॉप होने की प्रायिकता है [nc(एक इक्का)*nc(12 में से दो रैंक)*nc(4 में से एक सूट) · ² + nc(एक जैसा कोई अन्य तीन कार्ड)]/nc(कोई भी तीन कार्ड), जहाँ nc(x) = x के संयोजनों की संख्या। यह बराबर है [2* संयोजन (12,2)*4 ^·2 +12*संयोजन(4,3)]/संयोजन(50,3) = (2112+48)/19600 = 11.020%। अब मान लेते हैं कि दूसरे खिलाड़ी के पास कोई अन्य जोड़ी है, लेकिन आपके जैसी नहीं। तब प्रायिकता हो जाती है [2*(संयोजन(11,2)*4 ^·2 + 11*2*4 + 11*संयोजन(4,3)]/संयोजन(48,3) = 11.4477%।

किसी भी दिए गए हाथ की प्रायिकता ( कॉम्बिन (4,2)/कॉम्बिन (52,2))*(1/कॉम्बिन (50,2)) = 1/270725 है। इसलिए, लगातार दो बार ऐसा होने की प्रायिकता 270,725 में ¹ = 73,292,025,625 में 1 है।

13*12* कॉम्बिन (4,2)*4/कॉम्बिन(52,3) = 3744/22100 = 16.941%।

निम्नलिखित तालिका खिलाड़ियों की संख्या (आप सहित) के अनुसार, एक जोड़ी के कम से कम एक उच्च जोड़ी द्वारा पराजित होने की अनुमानित संभावनाओं को दर्शाती है। ये संभावनाएँ सटीक नहीं हैं क्योंकि दोनों हाथ स्वतंत्र नहीं हैं। हालाँकि, सटीक संभावनाएँ ज्ञात करना जटिल होगा और मुझे लगता है कि ये काफी करीब हैं। मेरा सूत्र है 1-(1-r* कॉम्बिन (4,2)/कॉम्बिन (50,2)) ^(n-1) , जहाँ r=आपके जोड़े से उच्च रैंक वाले खिलाड़ियों की संख्या, और n=कुल खिलाड़ियों की संख्या। तालिका दर्शाती है कि 10 खिलाड़ियों के खेल में, जब आपके पास बादशाहों का जोड़ा हो, तो किसी अन्य खिलाड़ी के पास इक्कों का जोड़ा होने की संभावना 4.323% है।

आइए खिलाड़ियों को A, B और C के नाम से बुलाएँ। A के पास इक्कों का एक जोड़ा होने की प्रायिकता है: संयोजन (4,2)/संयोजन (52,2) = 6/1326। B के पास बादशाहों का एक जोड़ा होने की प्रायिकता है: संयोजन (4,2)/संयोजन (50,2) = 6/1225। C के पास रानियों का एक जोड़ा होने की प्रायिकता है: संयोजन (4,2)/संयोजन (48,2) = 6/1128। हालाँकि, तीन खिलाड़ियों के बीच तीन जोड़े बनाने के 3! = 1*2*3 = 6 तरीके हैं। तो, उत्तर है: 6*(6/1326)*(6/1225)*(6/1128) = 0.000000707321।

आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। किसी एक हाथ में पॉकेट इक्के मिलने की संभावना 6/1326 है, यानी हर 221 हाथ में एक बार। मेरे 10-खिलाड़ी टेक्सास होल्ड 'एम सेक्शन (/games/texas-hold-em/10players.html) के अनुसार, पॉकेट इक्कों से जीतने की संभावना 31.36% है, बशर्ते कि सभी खिलाड़ी अंत तक बने रहें। हालाँकि, यह एक बहुत बड़ी 'यदि' है। अगर मुझे अनुमान लगाने के लिए मजबूर किया जाए, तो मैं अनुमान लगाऊँगा कि 10 खिलाड़ियों वाले असली खेल में इक्कों से जीतने की संभावना लगभग 70% है। तो पॉकेट इक्के मिलने और फिर हारने की संभावना 0.3*(1/221) = 0.1357% है। तो, प्रति घटना $100 के हिसाब से यह प्रति हाथ 13.57 सेंट के बराबर है। दस से ज़्यादा लोगों पर पोकर रूम का औसतन प्रति हाथ $1.36 का खर्च आता है, जो रेक में काफ़ी कटौती करता है। मैं आपकी कॉल करने की रणनीति से सहमत हूं, जिससे आपके पास अधिक खिलाड़ी रहेंगे और आपके हारने की संभावना बढ़ जाएगी।

किसी विशिष्ट खिलाड़ी के पास इक्के होने की संभावना संयोजन (4,2)/संयोजन (52,2) = 6/1326 है। अगले खिलाड़ी के पास बादशाहों का जोड़ा होने की संभावना संयोजन (4,2)/संयोजन (50,2) = 6/1225 है। हालाँकि, दस खिलाड़ियों के खेल में इक्के पाने वाले 10 संभावित खिलाड़ी और बादशाह पाने वाले 9 संभावित खिलाड़ी होते हैं। इसलिए एक प्रबल अनुमान 10*9*(6/1326)*(6/1225) = 0.001995, या 501 में 1 होगा। यह उत्तर थोड़ा ज़्यादा है, क्योंकि यह उस स्थिति को दोगुना कर देता है जहाँ दो खिलाड़ियों के पास इक्के हों, या दो के पास बादशाह हों, या दोनों हों।

इसका गणित बहुत जटिल हो जाता है क्योंकि एक से ज़्यादा खिलाड़ियों के पास, जिनमें एक ही प्रकार की जोड़ी भी शामिल है, एक उच्च जोड़ी होने की संभावना होती है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास पॉकेट किंग हैं, तो दो खिलाड़ियों के पास पॉकेट इक्के हो सकते हैं। हालाँकि, आपको हराने वाले खिलाड़ियों की अपेक्षित संख्या दर्शाना आसान है। यह n*r*(6/1225) होगा, जहाँ n विरोधियों की संख्या है, और r उच्च रैंक वालों की संख्या है। निम्नलिखित तालिका आपके पॉकेट जोड़ी (बाएँ स्तंभ) के अनुसार विरोधियों की संख्या (ऊपरी पंक्ति) के अनुसार उच्च पॉकेट जोड़ी वाले खिलाड़ियों की औसत संख्या दर्शाती है।

कम से कम एक खिलाड़ी द्वारा आपको हराए जाने की प्रायिकता जानने के लिए, मैं यह पूरी तरह से सही नहीं मान लूँगा कि उच्चतर पॉकेट जोड़ी वाले खिलाड़ियों की संख्या एक पॉइसन यादृच्छिक चर है जिसका माध्य ऊपर दी गई तालिका में दिया गया है। इस धारणा को देखते हुए, कम से कम एक खिलाड़ी द्वारा आपको हराए जाने की प्रायिकता 1-e ^-µ है, जहाँ µ माध्य है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास पॉकेट क्वीन हैं और 9 अन्य खिलाड़ी हैं, तो उच्चतर पॉकेट जोड़ी वाले खिलाड़ियों की अपेक्षित संख्या 0.0882 है, इसलिए कम से कम एक खिलाड़ी के पास उच्चतर पॉकेट जोड़ी होने की प्रायिकता 1-e ^-0.0882 = 8.44% है। नीचे दी गई तालिका उन प्रायिकताओं को दर्शाती है।

इसलिए कम से कम एक उच्चतर पॉकेट जोड़ी की संभावना का मेरा अनुमान 1-e ^{-n*r*(6/1225)} है।

पुनश्च: इस कॉलम के प्रकाशित होने के बाद, मेरे एक प्रशंसक, लैरी बी. ने इस समस्या को हल करने के लिए एक ब्रूट फ़ोर्स कॉम्बिनेटरियल प्रोग्राम लिखा। उनके परिणाम यहां दिए गए हैं।

बाद में स्टीफ़न ज़ेड. ने एक सरल अनुमान सुझाया। उच्चतर जोड़ियों की संख्या लें, उसे अन्य खिलाड़ियों की संख्या से गुणा करें और 2 से भाग दें। यह कम से कम एक उच्चतर जोड़ी होने की प्रतिशत संभावना है। उदाहरण के लिए, 10 खिलाड़ियों के खेल में जैक की एक जोड़ी के साथ, उच्चतर पॉकेट जोड़ी की संभावना 3*9/2 = 13.5% है। इस सूत्र का उपयोग करने पर आपको सभी स्थितियों के लिए निम्नलिखित प्राप्त होगा।

होल्ड 'एम' शब्दावली से परिचित न होने वालों के लिए, आप छह पत्तों में से कम से कम एक जोड़ी की प्रायिकता पूछ रहे हैं, बशर्ते कि पहले दो (होल कार्ड) अलग-अलग रैंक के हों। मुझे उम्मीद है कि अगर मैं सिर्फ़ एक जोड़ी मिलने की प्रायिकता बताऊँ, जिसमें ऐसे हाथ भी शामिल हैं जो स्ट्रेट या फ्लश बनाते हैं, तो आप मुझे माफ़ कर देंगे।

आपके होल कार्ड में से किसी एक को जोड़ने के तरीकों की संख्या छह है (2 होल कार्ड * 3 सूट शेष)। बाकी तीन कार्ड बचे हुए 11 से अलग रैंक के होने चाहिए। 11 में से 3 रैंक चुनने के लिए कुल मिलाकर (11,3) = 165 तरीके हैं। इनमें से प्रत्येक के लिए चुनने के लिए चार सूट हैं। इसलिए आपके होल कार्ड में से किसी एक को जोड़ने के तरीकों की संख्या 6*165*4 ³ = 63,360 है।

अब आइए दो होल कार्ड्स के अलावा एक जोड़ी पाने के तरीकों पर नज़र डालें। इस जोड़ी के लिए चुनने के लिए 11 रैंक हैं। एक बार जोड़ी चुन लेने के बाद, 4 में से 2 सूट चुनने के लिए कॉम्बिन(4,2) = 6 तरीके हैं। बाकी दो कार्ड्स के लिए, बची हुई 10 पूरी तरह से सुरक्षित रैंक्स में से 2 रैंक चुनने के लिए कॉम्बिन(10,2) = 45 तरीके हैं। इन दोनों रैंक्स के लिए 4 संभावित सूट हैं। तो, होल कार्ड्स को छोड़कर, एक जोड़ी के लिए कुल संयोजन 11*6*45*4 ² = 47,520 हैं।

डेक में बचे 50 पत्तों में से 4 पत्ते चुनने के कुल तरीकों की संख्या combin(50,4)=230,300 है। इसलिए, छह पत्तों में से ठीक एक जोड़ी मिलने की संभावना (63,360+47,520)/230,300 = 48.15% है।

फ्लॉप में तीन अलग-अलग रैंक की प्रायिकता कॉम्बिन (13,3)×4 ³ /कॉम्बिन (52,3) = 0.828235 है। कॉम्बिन (10,3)=120 तरीके हैं जिनसे आप दस में से तीन खिलाड़ी चुन सकते हैं। तीनों में से, पहले खिलाड़ी के पास एक सेट होने की प्रायिकता 3×कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (49,2) = 0.007653061 है। दूसरे खिलाड़ी के पास एक सेट होने की प्रायिकता 2×कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (47,2) = 0.005550416 है। तीसरे खिलाड़ी के पास एक सेट होने की प्रायिकता कॉम्बिन (3,2)/कॉम्बिन (45,2) = 0.003030303 है। इन सबका गुणनफल लें और संभावना है 0.828235 × 120 × 0.007653061 × 0.005550416 × 0.003030303 = 0.00001279, या 78,166 में 1।

जो पाठक नहीं जानते, उनके लिए बता दें कि फ्लॉप के बाद एक "सेट" एक तरह के तीन कार्ड होते हैं, जिनमें एक पॉकेट पेयर भी शामिल होता है। सेट न बनने की प्रायिकता (48+कॉम्बिन(48,3))/कॉम्बिन(50,3) = 17,344/19600 = 88.49% है। इसलिए सेट बनने की प्रायिकता 11.51% है। 2,787 पेयर्स में आपको 320.8 बार सेट बनाना चाहिए था। इसलिए आप उम्मीद से 47.8 सेट कम हैं। विचरण n × p × (1-p) है, जहाँ n = हाथों की संख्या, और p = सेट बनने की प्रायिकता। इस स्थिति में विचरण 2,787 × .1176 × .8824 = 283.86 है। मानक विचलन इसका वर्गमूल है, यानी 16.85। तो आप उम्मीद से 47.8/16.85 = 2.84 मानक विचलन कम हैं। भाग्य के इतने खराब या उससे भी बदतर होने की संभावना किसी भी मानक सामान्य तालिका में, या एक्सेल में norsdist(-2.84) = 0.002256, या 443 में 1 के रूप में पाई जा सकती है।

केके बनाम एए में हारने की संभावना ( कॉम्बिन (4,2)/कॉम्बिन (52,2)) × (कॉम्बिन (4,2)/कॉम्बिन (50,2)) = 0.000022162 है, जो टेबल पर मौजूद प्रत्येक प्रतिद्वंद्वी के लिए है। यह हर 45,121 हाथों में एक बार होता है, इसलिए आपका गणित सही था। 400 हाथों में ऐसा होने की अपेक्षित संख्या 400 × 0.000022162 = 0.008865084 है, प्रत्येक प्रतिद्वंद्वी के लिए। निम्नलिखित तालिका 400 हाथों में एए के विरुद्ध केके के 3 या अधिक बार होने की संभावना, विरोधियों की संख्या के अनुसार दर्शाती है।

तो हाँ, मैं कहूँगा कि ये संदिग्ध लग रहा है। जितने कम खिलाड़ी होंगे, ये उतना ही ज़्यादा संदिग्ध लगेगा। मुझे ये जानने में दिलचस्पी होगी कि ये खेल कहाँ हुआ था।

धन्यवाद। डेक में 50 पत्ते बचे हैं, और उनमें से 42 इक्के या बादशाह नहीं हैं। पाँच सामुदायिक पत्तों में कोई इक्का या बादशाह न दिखने की प्रायिकता संयोजन (42,5)/संयोजन (50,5) = 850,668/2,118,760 = 40.15% है। इसलिए, कम से कम एक इक्का या बादशाह दिखने की प्रायिकता 100% - 40.15% = 59.85% है।

किसी अन्य विशिष्ट खिलाड़ी के पास पॉकेट इक्के होने की प्रायिकता, यदि आपके पास पॉकेट इक्के हैं, तो (2/50)×(1/49) = 1,225 में 1 है। 9 अन्य खिलाड़ियों को देखते हुए, प्रायिकता 9 गुना है, यानी 136 में 1। यह प्रायिकताओं के योग का दुरुपयोग लग सकता है। हालाँकि, अगर केवल एक खिलाड़ी ही दो इक्के प्राप्त कर पाता है तो कोई बात नहीं। आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपके पॉकेट इक्के होने की तीन बार में से किसी अन्य खिलाड़ी के पास पॉकेट इक्के होने की प्रायिकता (9×(2/50)×(1/49)) ³ = 2,521,626 में 1 है।