टेक्सास होल्डम - प्रायिकता - सामान्य

सात पत्तों में एक ही तरह के चार आने की प्रायिकता 0.00168067 है, और स्ट्रेट फ्लश की प्रायिकता 0.00027851 है। यदि x एक ही तरह के चार आने की प्रायिकता है और y स्ट्रेट फ्लश की प्रायिकता है, तो आपके द्वारा पूछी गई प्रायिकता combin(50,2)*48*x ² *y*(1-xy) ⁴⁷ है। इसका उत्तर .0000421845, यानी 23,705 में 1 आता है।

आप पोकर में संभावनाओं पर मेरे अनुभाग को देख सकते हैं और देख सकते हैं कि संभावना 3.03% है। टेक्सास होल्ड 'एम और 7-कार्ड स्टड, दोनों में ऑड्स समान हैं।

जो पाठक नहीं जानते, उनके लिए बता दें कि रिवर टेक्सास होल्ड-एम में पाँचवाँ और आखिरी कम्युनिटी कार्ड होता है। खिलाड़ी को अपने दो कार्ड और पाँच कम्युनिटी कार्ड के बीच सबसे अच्छा पोकर हैंड बनाना होता है। तो आप पूछ रहे हैं कि सात कार्डों में एक खिलाड़ी के रॉयल फ्लश बनाने की क्या संभावना है, और यह कि बाँटा गया सातवाँ कार्ड रॉयल फ्लश का हिस्सा होगा। कार्ड पर विचार करने से पहले, 7 कार्डों में से 5-कार्ड रॉयल फ्लश बनाने की संभावना 4*कॉम्बिन(47,2)/कॉम्बिन(52,7) = 4324/133784560, या 30940 में 1 है। सातवें कार्ड के रॉयल फ्लश का हिस्सा होने की संभावना 5/7 है। तो अंतिम संभावना 21620/936491920, या 43316 में 1 है।

मेरे पाठकों के लाभ के लिए, यह प्रश्न पूछता है कि डेक में 47 कार्ड शेष रहते हुए, स्ट्रेट के अंदर एक या दो खाली स्थानों को दो और कार्डों से भरने की प्रायिकता क्या है। एक खाली स्थान होने पर प्रायिकता 1-combin(43,2)/combin(47,2) = 0.164662 है। दो खाली स्थानों पर प्रायिकता 4 ² /combin(47,2) = 0.0148 है।

उसी सूट के 10 पत्ते बचे हैं, और डेक में 49 बचे हैं। तो संभावना है: combin(9,2)/combin(49,2) = 36/1176 = 0.0306।

हाँ, संभावनाएँ एक जैसी ही हैं। 52 में से सात यादृच्छिक कार्डों के मिलने की संभावना एक जैसी ही होती है, चाहे उन्हें डेक से कैसे भी निकाला जाए या आप उन्हें किसके साथ बाँटें।

इक्का/बादशाह मिलने की प्रायिकता (8/52)*(4/51) = 0.012066 है। किसी भी जोड़ी मिलने की प्रायिकता (3/51) = 0.058824 है। इसलिए एक जोड़ी या उससे बेहतर की प्रायिकता 0.07089 है। इक्का/बादशाह या उससे बेहतर के ठीक सात हाथ मिलने की प्रायिकता (35,7)*(.07089)^7*(1-.07089)^28 = 0.00772 है। 7 या उससे अधिक की प्रायिकता निकालने के लिए हमें एक-एक करके 7 से 35 तक के कुल योगों को देखना होगा। इसका योग 0.010366551 होता है।

एक ही सूट के 2 और जूते मिलने की प्रायिकता 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439 है। एक ही सूट के 3 और जूते मिलने की प्रायिकता combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418 है। इसलिए, एक ही सूट के कम से कम 2 और जूते मिलने की प्रायिकता 0.117857 है।

आपके अच्छे शब्दों के लिए आपका भी धन्यवाद। जो लोग होल्डम से परिचित नहीं हैं, उनके लिए यह प्रश्न पूछने जैसा है कि यदि किसी खिलाड़ी को एक इक्का और एक बादशाह दिया जाता है और शेष 50 कार्डों में से पाँच यादृच्छिक कार्ड दिए जाते हैं, तो क्या संभावना है कि खिलाड़ी बादशाह और/या इक्के की जोड़ी बनाएगा। अन्य 50 कार्डों में से 44 में से राजा या इक्के नहीं हैं। 44 में से कोई भी पाँच कार्ड निकालने के तरीकों की संख्या combin(44,5) = 1,086,088 है। सभी 50 में से कोई भी पाँच कार्ड निकालने के तरीकों की संख्या combin(50,5) = 2,118,760 है। इसलिए इक्का और/या बादशाह की जोड़ी न बनाने की संभावना 1086088/2118760 = 51.26% है।

दो खिलाड़ियों के बीच कुल 9 पत्ते होते हैं। इनमें दो चार एक तरह के और एक सिंगलटन होना चाहिए। इसके लिए संयोजनों की संख्या combin(13,2)*44 = 3432 है। 52 में से 9 पत्ते चुनने के तरीकों की कुल संख्या combin(52,9) = 3,679,075,400 है। इसलिए, आपके पास सही पत्ते होने की संभावना, लेकिन ज़रूरी नहीं कि सही क्रम में, 3432/3,679,075,400 = 1,071,992 में 1 है।

हालाँकि, सिर्फ़ इसलिए कि पत्ते AAAABBBBC हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि दोनों खिलाड़ियों के पास अलग-अलग चार-तरफ़ा पत्ते होंगे। उन्हें 5-पत्ते वाले हाथ और दो 2-पत्ते वाले हाथों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 9!/(5!*2!*2!) = 756 है। ये 9 पत्ते नीचे दिए गए तरीकों से गिर सकते हैं।

इनमें से केवल पहले और पाँचवें समूह में ही दोनों खिलाड़ियों के पास एक ही तरह के अलग-अलग चार कार्ड होते हैं। इसलिए, AAAABBBBC कार्डों के सेट से दो अलग-अलग एक ही तरह के चार कार्ड आने की प्रायिकता 168/756 = 22.22% है।

तो आपके प्रश्न का उत्तर है (3432/3,679,075,400)*(168/756) = 4,823,963 में 1। व्यावहारिक रूप से, पार्टी पोकर में चार आठों के हारने वाले हाथ पर भी बैड बीट जैकपॉट होता है। चूँकि दो चार एक प्रकार के होते हैं, इसलिए दोनों के आठ या उससे अधिक होने की प्रायिकता कॉम्बिनेशन (7,2)/कॉम्बिनेशन (13,2) = 21/78 = 26.92% है। इसलिए, दो खिलाड़ियों में से किसी एक हाथ के इस बैड बीट जैकपॉट में आने की प्रायिकता 17,917,577 में 1 है।

40 बिना-चेहरे वाले पत्तों में से 3 पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या है: (40*39*38)/(1*2*3) = 9880। 52 पत्तों में से 3 पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या है: (52*51*50)/(1*2*3) = 22100। इसलिए, चेहरे वाला पत्ता न मिलने की प्रायिकता 9880/22100 = 44.71% है। इस प्रकार, चेहरे वाला पत्ता मिलने की प्रायिकता 55.29% है। दांव पर उसके पक्ष को 10.58% का फायदा था।

अपने स्वयं के कार्ड पर विचार करने से पहले संभावना 4 × संयोजन (13,3) / संयोजन (52,3) = 5.1764706% है।

इसे देखने का एक और तरीका यह है कि फ्लॉप में दूसरे कार्ड के पहले सूट के कार्ड से मेल खाने की संभावना (12/51) है। फ्लॉप में तीसरे कार्ड के भी पहले सूट के कार्ड से मेल खाने की संभावना (11/50) है। (12/51)×(11/50)=5.1764706%.

अगर आप अपने कार्ड्स पर गौर करें तो ऑड्स थोड़े बदल जाते हैं। अगर आपके पास एक ही सूट के दो कार्ड हैं, तो एक सूट वाले फ्लॉप की प्रायिकता pr(एक ही सूट में फ्लश) + pr(दूसरे सूट में फ्लश) = कॉम्बिनेशन(11,3)/कॉम्बिनेशन(50,3) + 3×कॉम्बिनेशन(13,3)/कॉम्बिनेशन(50,3) = 5.2193878% है।

यदि आपके पास अलग-अलग सूट के दो कार्ड हैं, तो एक सूट वाले फ्लॉप की संभावना pr(सामान्य सूट में फ्लश) + pr(अलग सूट में फ्लश) = 2×combin(12,3)/combin(50,3) + 2×combin(13,3)/combin(50,3) = 5.1632653% है।

आपके अच्छे शब्दों के लिए शुक्रिया, लेकिन मैं इतना समझदार नहीं हूँ। कुछ साल पहले मैंने मेन्सा प्रवेश परीक्षा दी थी, और ज़रूरी टॉप 2% में जगह नहीं बना पाया था। मुझे अब भी इस बात का दुख है कि उन्होंने मुझे यह बताने से इनकार कर दिया कि मैंने कितना अच्छा प्रदर्शन किया। 13 जनवरी को जेपर्डी के ट्रायल वेगास में होने वाले हैं, जिसके लिए मेरा अपॉइंटमेंट है, और मुझे यकीन है कि मैं उसे भी गँवा दूँगा। खैर, आपके सवाल का जवाब देने के लिए ये रहा:

उपयुक्त होल कार्ड के साथ:

फ्लॉप के बाद फ्लश: कॉम्बिन (11,3)/कॉम्बिन (50,3) = 165/19600 = 0.842%.
बारी के बाद फ्लश: (कॉम्बिन(11,2)*39/कॉम्बिन(50,3))*(9/47) = 2.096%.
नदी के बाद फ्लश: (कॉम्बिन(11,2)*कॉम्बिन(39,2)/कॉम्बिन(50,4))*(9/46) = 3.462%।

अनुपयुक्त होल कार्ड के साथ:

फ्लॉप के बाद फ्लश: 0%
बारी के बाद फ्लश: 2*कॉम्बिन(12,4)/कॉम्बिन(50,4) = 0.430%.
नदी के बाद फ्लश: (2*कॉम्बिन(12,3)*39/कॉम्बिन(50,4))*(9/46) = 1.458%.

यहाँ पर संचयी सम्भावनाएं दी गई हैं।

उपयुक्त होल कार्ड के साथ:

फ्लॉप द्वारा फ्लश: 0.842%.
बारी-बारी से फ्लश: 2.937%.
नदी द्वारा प्रवाहित: 6.400%.

अनुपयुक्त होल कार्ड के साथ:

फ्लॉप द्वारा फ्लश: 0.000%
बारी-बारी से फ्लश: 0.430%.
नदी द्वारा प्रवाहित: 1.888%.

आप एक इक्का और एक K, Q, या 9 के साथ फुल हाउस पूरा कर सकते हैं। 2 इक्के बचे हैं और K, Q, और 9 के 3-3 इक्के बचे हैं। तो ऐसे 2*3*3=18 संयोजन हैं। K, Q, या 9 का जोड़ा ही एकमात्र दूसरा तरीका होगा। 3*combin(3,2)=9 ऐसे संयोजन हैं। सभी संयोजनों की संख्या 47*46/2 = 1081 है। तो संभावना (18+9)/1081 = 2.50% है।

आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। किसी एक हाथ में पॉकेट इक्के मिलने की संभावना 6/1326 है, यानी हर 221 हाथ में एक बार। मेरे 10-खिलाड़ी टेक्सास होल्ड 'एम सेक्शन (/games/texas-hold-em/10players.html) के अनुसार, पॉकेट इक्कों से जीतने की संभावना 31.36% है, बशर्ते कि सभी खिलाड़ी अंत तक बने रहें। हालाँकि, यह एक बहुत बड़ी 'यदि' है। अगर मुझे अनुमान लगाने के लिए मजबूर किया जाए, तो मैं अनुमान लगाऊँगा कि 10 खिलाड़ियों वाले असली खेल में इक्कों से जीतने की संभावना लगभग 70% है। तो पॉकेट इक्के मिलने और फिर हारने की संभावना 0.3*(1/221) = 0.1357% है। तो, प्रति घटना $100 के हिसाब से यह प्रति हाथ 13.57 सेंट के बराबर है। दस से ज़्यादा लोगों पर पोकर रूम का औसतन प्रति हाथ $1.36 का खर्च आता है, जो रेक में काफ़ी कटौती करता है। मैं आपकी कॉल करने की रणनीति से सहमत हूं, जिससे आपके पास अधिक खिलाड़ी रहेंगे और आपके हारने की संभावना बढ़ जाएगी।

आपका स्वागत है। तो फ्लॉप के बाद बोर्ड पर दो के साथ आपके पास फ्लश के लिए चार हैं। ज़रूरी सूट का ठीक एक सूट मिलने की संभावना 9*38/ कॉम्बिनेशन (47,2) = 342/1081 = 31.64% है।

नीचे दी गई तालिका 1 से 8 उच्च रैंक और 2 से 10 खिलाड़ियों (जिनमें आप भी शामिल हैं) के लिए प्रायिकता दर्शाती है। आपके उदाहरण में, 4 उच्च रैंक और कुल 9 खिलाड़ियों के मामले में, प्रायिकता 16.45% है। मैंने इन प्रायिकताओं की गणना हाथों के बीच स्वतंत्रता मानकर की है, जो एक सही धारणा नहीं है, लेकिन परिणाम एक करीबी अनुमान होना चाहिए।

धन्यवाद। मान लीजिए कि रॉयल आपके दो इक्कों में से एक है, तो रिवर तक रॉयल बनाने के तरीकों की संख्या 2*46=92 है। यह आपके पॉकेट इक्कों के दो सूट और अतिरिक्त पत्ते की 46 संभावनाएँ होंगी। 50 में से 5 पत्ते बाँटने के लिए (50,5) = 2,118,760 तरीके हैं। तो संभावना 92/2,118,760 = 23,030 में 1 है।

किसी एक खिलाड़ी के फ्लश होने की प्रायिकता कॉम्बिन (11,2)/कॉम्बिन (49,2) = 55/1176 = 4.68% है। हाथों के बीच स्वतंत्रता मानते हुए, जो कि सच नहीं है, 9 खिलाड़ियों के फ्लश न होने की प्रायिकता (1 − 0.0468%) ⁹ = 64.98% है। इसलिए कम से कम एक खिलाड़ी के फ्लश होने की प्रायिकता 1-0.6498 = 35.02% है। यह केवल एक त्वरित अनुमान है। अगर मैं एक यादृच्छिक सिमुलेशन करता, तो मुझे लगता है कि हाथों के बीच निर्भरता के कारण, प्रायिकता थोड़ी अधिक होती।

आपके होल कार्ड्स के समान सूट के ठीक तीन कार्ड्स के साथ फ्लश बनाने की प्रायिकता कॉम्बिन (11,3) × कॉम्बिन (39,2) / कॉम्बिन (50,5) = 122265/2598960 = 0.057706 है। आपके होल कार्ड्स के समान सूट के चार और कार्ड्स के साथ फ्लश बनाने की प्रायिकता कॉम्बिन (11,4) × कॉम्बिन (39,1) / कॉम्बिन (50,5) = 2145/2118760 = 0.001012 है। आपके होल कार्ड्स के समान सूट के पाँच और कार्ड्स के साथ फ्लश बनाने की प्रायिकता कॉम्बिन (11,5) / कॉम्बिन (50,5) = 462/2118760 = 0.000218 है। बोर्ड पर किसी दूसरे सूट में फ्लश बनने की प्रायिकता 3×combin(13,5)/combin(50,5) = 3861/2118760 = 0.001822 है। इन सबको जोड़ने पर आपको 0.057706 + 0.001012 + 0.000218 + 0.001822 = 0.060759 प्राप्त होता है।

बोर्ड पर पांच अलग-अलग रैंकों के संयोजनों की संख्या संयोजन (13,5)*4 ⁵ = 1287 × 1024 = 1,317,888 है।

इन पाँच रैंकों के तीन सूट, दो में से दो और एक में से एक, दर्शाने की प्रायिकता कॉम्बिन(4,2)*2*कॉम्बिन(5,2)*कॉम्बिन(3,2)=360 है। कॉम्बिन(4,2) दो बार दर्शाए गए सूट के लिए चार में से दो सूट चुनने के तरीकों की संख्या है। एक बार दर्शाए गए सूट को चुनने के दो तरीकों के लिए 2 है। कॉम्बिन(5,2) दो पत्तों के पहले सूट के लिए पाँच में से दो रैंक चुनने के तरीकों की संख्या है। 4 ⁵ दो पत्तों के दूसरे सूट के लिए बचे तीन में से दो रैंक चुनने के तरीकों की संख्या है।

इन पाँच रैंकों के चार सूट, दो में से एक और एक में से तीन का प्रतिनिधित्व करने की प्रायिकता 4*कॉम्बिन(5,2)*3*2=240 है। 4, दो बार दर्शाए गए सूटों के लिए चार में से एक सूट चुनने के तरीकों की संख्या है। कॉम्बिन(5,2) दो पत्तों के उस सूट के लिए पाँच में से दो रैंक चुनने के तरीकों की संख्या है। 3, एक के पहले सूट के लिए बचे तीन में से एक रैंक चुनने के तरीकों की संख्या है। 2, एक के दूसरे सूट के लिए दो में से एक रैंक चुनने के तरीकों की संख्या है।

चार सूटों को पांच अलग-अलग रैंकों पर व्यवस्थित करने के 4 ⁵ = 1024 तरीके हैं।

अतः एक ही सूट के दो से अधिक सिक्के मौजूद न होने की संभावना (360+240)/1024 = 600/1024 = 58.59% है।

13 में से 5 रैंकों को व्यवस्थित करने के लिए combin(13,5)=1287 तरीके हैं। ऐसे संयोजनों की संख्या जिनमें कोई भी तीन रैंक 5 के अंतराल में नहीं हैं, 79 है। इसके लिए कोई आसान सूत्र नहीं है। मुझे हर संयोजन को बार-बार दोहराना पड़ा। इसलिए रैंकों के बीच पर्याप्त दूरी होने की संभावना 79/1287 = 6.14% है।

तो, टूटे हुए बोर्ड की संभावना (1317888/2596960)*(600/1024)*(79/1287) = 1.825211% है।

मुझे मेरे टूटे हुए स्ट्रेट्स की संख्या पर चुनौती दी गई है। यहाँ सभी 79 संभावित स्ट्रेट्स की सूची दी गई है।

मेरा नया बैड बीट जैकपॉट अनुभाग 10 खिलाड़ियों वाले खेल में इस प्रकार के बैड बीट की संभावना 0.0000108, या लगभग 93,000 में से 1 दर्शाता है।

मेरे दो-खिलाड़ी टेक्सास होल्ड 'एम संभावनाओं के अनुसार, सूटेड K/2 के साथ संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं:

51.24% जीत
44.82% की हानि
ड्रा 3.94%

अल्टीमेट टेक्सास होल्ड 'एम पर मेरी तालिका दर्शाती है कि खिलाड़ी को प्ले बेट पर बढ़त है, लेकिन एंटे और ब्लाइंड बेट पर नुकसान। इस स्थिति में, खिलाड़ी एंटे और ब्लाइंड बेट पर खराब ऑड्स के साथ फँसा हुआ है। हालाँकि, प्ले बेट पर उसके ऑड्स अनुकूल हैं। इसलिए, अधिकतम रेज लगाकर वह अपनी 50% से ज़्यादा की जीत की संभावना का अधिकतम मूल्य प्राप्त कर रहा है। अन्य दो बेट पर खराब ऑड्स कुल मूल्य को 50% से कम कर देते हैं। कम रेज के साथ यह मूल्य और भी कम होगा।

मैं 2.7 अरब में 1 वाले आंकड़े से भी असहमत हूँ। जैसा कि आपने कहा, उन्होंने प्रत्येक खिलाड़ी के लिए अलग-अलग प्रायिकताएँ गणना कीं, ठीक उसी स्थिति में जब दोनों खिलाड़ी दोनों होल कार्ड इस्तेमाल करते हैं, और गुणा करते हैं। इस विधि का उपयोग करके मुझे 0.000000000341101, यानी लगभग 2.9 अरब में 1, की प्रायिकता प्राप्त होती है। हो सकता है कि 2.7 अरब में 1 में दोनों खिलाड़ियों की प्रायिकताओं पर पूर्णांकन त्रुटि का संयोजन भी शामिल हो। वे स्पष्ट रूप से प्रायिकता को 2 से गुणा करना भी भूल गए, जिसके कारण मैं बाद में बताऊँगा।

रॉयल फ्लश में चार इक्के हारने के तीन तरीके इस प्रकार हैं।

केस 1: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश के दो कार्ड हैं, दूसरे के पास दो इक्के हैं, तथा बोर्ड पर अन्य दो इक्के, रॉयल फ्लश के अन्य दो कार्ड तथा कोई अन्य कार्ड है।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

ज़्यादातर पोकर रूम में, बैड-बीट जैकपॉट जीतने के लिए, जीतने वाले और हारने वाले दोनों खिलाड़ियों को दोनों होल कार्ड इस्तेमाल करने होते हैं। वीडियो में भी बैड बीट का यही प्रकार था; दरअसल, ये कार्ड बिल्कुल वही थे।

केस 2: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश (टी.के.) के लिए दो कार्ड हैं, दूसरे के पास एक इक्का और एक "रिक्त" कार्ड है, तथा बोर्ड पर अन्य तीन इक्के और रॉयल के लिए अन्य दो कार्ड हैं।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

केस 3: एक खिलाड़ी के पास रॉयल फ्लश (टी.के.) का एक कार्ड और एक खाली कार्ड है, दूसरे के पास दो इक्के हैं, और बोर्ड पर अन्य दो इक्के और रॉयल फ्लश के अन्य तीन कार्ड हैं।

उदाहरण:

खिलाड़ी 1:
खिलाड़ी 2:
तख़्ता:

निम्नलिखित तालिका खिलाड़ियों और बोर्ड दोनों के लिए प्रत्येक मामले में संयोजनों की संख्या दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में कुल संयोजनों की संख्या 16,896 दिखाई गई है।

हालाँकि, हम दोनों खिलाड़ियों के पत्ते उलट सकते हैं, और फिर भी एक खराब बीट हो सकती है। इसलिए, हमें संयोजनों की संख्या को 2 से गुणा करना चाहिए। इसे समायोजित करने पर, कुल योग्य संयोजन 2 × 8,448 = 16,896 होंगे।

दो-खिलाड़ियों वाले टेक्सास होल्ड 'एम में सभी संयोजनों की कुल संख्या संयोजन (52,2) × संयोजन (50,2) × संयोजन (48,5) = 2,781,381,002,400 है। इसलिए, चार इक्कों के रॉयल फ्लश से हारने की संभावना 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747 है, यानी लगभग 165 मिलियन में 1। सिर्फ़ एक केस में खराब हार की संभावना 439 मिलियन में 1 है। ऑड्स उस वीडियो में बताए गए लंबे समय तक नहीं हैं, इसका सीधा कारण यह है कि दोनों हाथ ओवरलैप होते हैं, जिसमें साझा इक्का होता है। दूसरे शब्दों में, दोनों घटनाएँ सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं।

1. दो-खिलाड़ियों वाली टेबल एक ब्रूट-फोर्स लूपिंग प्रोग्राम द्वारा बनाई गई थी, जिसमें सभी 1225 संभावित प्रतिद्वंद्वी कार्डों और 1,712,304 संभावित सामुदायिक कार्डों का चक्र चलाया गया था। तीन से आठ खिलाड़ियों के लिए, लूपिंग में बहुत अधिक समय लगता, इसलिए मैंने एक यादृच्छिक सिमुलेशन किया।
2. मैं अपने लगभग सभी प्रोग्राम C++ में लिखता हूँ, जिनमें अभी बताए गए दोनों प्रोग्राम भी शामिल हैं। बाकी जावा या PERL में हैं। मैंने ज़्यादातर कोड दूसरे पोकर-आधारित प्रोग्रामों से कॉपी और पेस्ट किया है। नया कोड लिखने में बस एक दिन लगता है।
3. हाँ, मैंने जून 1997 में एक शौक़ के तौर पर अपनी साइट शुरू की थी। जनवरी 2000 तक मैंने विज्ञापन स्वीकार नहीं किए थे, और इसे व्यवसाय बनाने की कोशिश की। यह वर्षों में तीन अलग-अलग डोमेन से गुज़री है। मई 1999 में यह कुछ इस तरह दिखती थी। साइट का उद्देश्य हमेशा एक ही रहा है, गणितीय रूप से आधारित जुए की रणनीति के लिए एक संसाधन। वर्षों से, मैं बस और खेल और सामग्री जोड़ता रहा हूँ। एक प्रयोग 2005 सीज़न के लिए मेरी NFL पसंद प्रदान करना था, जो पूरी तरह से विफल रहा।

डेक में बचे हुए 50 पत्तों में से पाँच पत्तों के संयोजन (50,5) = 2,118,760 हैं। उनमें से 42 पत्ते 2-Q हैं। 42 पत्तों में से 5 पत्तों के संयोजनों की संख्या (42,5) = 850,668 है। इसलिए, बादशाह या इक्का न मिलने की प्रायिकता 850,668/2,118,760 = 40.15% है। इस प्रकार, कम से कम एक इक्का या बादशाह मिलने की प्रायिकता 1-40.15% = 59.85% है।

एक वैकल्पिक गणना है 1 - pr (फ्लॉप में पहला कार्ड इक्का या बादशाह नहीं है) × pr (फ्लॉप में दूसरा कार्ड इक्का या बादशाह नहीं है) × pr (फ्लॉप में तीसरा कार्ड इक्का या बादशाह नहीं है) × pr (फ्लॉप में चौथा कार्ड इक्का या बादशाह नहीं है) × pr (फ्लॉप में पांचवां कार्ड इक्का या बादशाह नहीं है) = 1 - (42/50) × (41/49) × (40/48) × (39/47) × (38/46) = 59.85%.

एक ही सूट के दो और कार्ड पाने के लिए कॉम्बिन (11,2) = 55 तरीके हैं, और अनसूट कार्ड के लिए 39। फ्लॉप पर कार्डों के कुल संभावित संयोजन कॉम्बिन (50,3) = 19,600 हैं। इसलिए, फ्लॉप के बाद फ्लश के लिए ठीक चार कार्ड मिलने की संभावना 55×39/19,600 = 10.94% है।

आम तौर पर मैं खराब बीट वाले सवालों से तंग आ जाता हूँ, लेकिन इस सवाल को नज़रअंदाज़ करना बहुत मुश्किल था। पहला पत्ता बंटने से पहले, दो खिलाड़ियों वाले खेल में, जिसमें दोनों खिलाड़ियों के पास पॉकेट पेयर हों, चार बादशाहों के चार इक्कों से हारने की प्रायिकता 2* कॉम्बिन (4,2)*कॉम्बिन(4,2)*44/(कॉम्बिन(52,2)*कॉम्बिन(50,2)*कॉम्बिन(48,5)) = 2*6*6*44/(1326*1225*1712304) = 877,961,175 में 1 है। यह छह खिलाड़ियों वाला खेल था, इसलिए कॉम्बिन(6,2) = 15 अलग-अलग खिलाड़ियों के जोड़े हैं। छह खिलाड़ियों वाले खेल में, यह प्रायिकता 15 गुना ज़्यादा है, यानी 58,530,745 में 1। संकेतित होल कार्ड बांटे जाने के बाद, तथा फ्लॉप से पहले, संभावना 38,916 में 1 है कि हाथ वैसे ही समाप्त होगा जैसा हुआ था।

मान लीजिए कि आपका पहला फ्लश हुकुम में है। 35 हाथ प्रति घंटे के हिसाब से, पाँच घंटों में 175 हाथ खेले जा सकते हैं। फिर आपके पास पान, ईंट और चिड़ी में फ्लश बनाने के लिए 175 हाथ होंगे। मैं यह मानकर चल रहा हूँ कि खिलाड़ी कभी भी ऐसा हाथ नहीं मोड़ेगा जिसमें उसके लिए ज़रूरी सूट में से किसी एक में फ्लश मिलने की संभावना हो।

किसी विशिष्ट सूट, मान लीजिए हार्ट, के फ्लश की संभावना, दोनों होल कार्ड्स का उपयोग करके, कॉम्बिनेशन (13,2) × [कॉम्बिनेशन (11,3) × कॉम्बिनेशन (39,2) + कॉम्बिनेशन (11,4) × 39 + कॉम्बिनेशन (11,5)]/(कॉम्बिनेशन (52,2) × कॉम्बिनेशन (50,5)) = 10576566/2809475760=0.003764605 है। अगले 175 हाथों में हार्ट फ्लश छूटने की संभावना (1-0.003764605) ¹⁷⁵ =0.51682599 होगी।

यह कहना गलत होगा कि बाकी तीन सूट न बनने की प्रायिकता pr(हार्ट फ्लश नहीं) + pr(डायमंड सूट नहीं) + pr(क्लब फ्लश नहीं) होगी, क्योंकि आप उनमें से दो न बनने की प्रायिकता को दोगुना कर देंगे। इसलिए आपको pr(हार्ट या डायमंड फ्लश नहीं) + pr(हार्ट या क्लब फ्लश नहीं) + pr(क्लब या डायमंड फ्लश नहीं) को वापस जोड़ना चाहिए। हालाँकि, यह तीनों फ्लश न बनने की प्रायिकता को गलत तरीके से घटा देगा। इसलिए आपको pr(क्लब, डायमंड या हार्ट फ्लश नहीं) को वापस जोड़ना चाहिए।

175 बार हाथ खेलने के बाद भी दो विशिष्ट सूटों में से कोई भी न मिलने की संभावना (1-2×0.003764605) ¹⁷⁵ =0.266442448 है।

175 हाथ चलने पर भी तीनों सूट में से कोई भी सूट न मिलने की संभावना (1-3×0.003764605) ¹⁷⁵ =0.137015266 है।

तो उत्तर है 1-3×0.51682599 + 3×0.266442448 - 0.137015266 = 0.111834108.

मैं इस समस्या में मदद के लिए ड्वेटली का शुक्रिया अदा करना चाहता हूँ। विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे बुलेटिन बोर्ड पर इस पर चर्चा की गई है।

अलग-अलग रैंक के दो कार्ड दिए जाने पर, फुल हाउस बनने की संभावना 121.6 में 1 है। रिवर पर फुल हाउस बनने की संभावना 207 में 1 है।

नदी पर दो में से दो बार ऐसा हाथ बनने की संभावना 43,006 में से 1 है।

केवल रैंक में समान दो प्रारंभिक कार्डों के साथ ऐसा होने की संभावना 3,564,161 में 1 है।

दोनों बार ठीक 10-2 के साथ ऐसा होने की संभावना 295,379,826 में 1 है।

उत्तर और समाधान निम्नलिखित स्पॉयलर टैग में दिखाई देते हैं।

किसी भी समय आप चार संभावित स्थितियों में हो सकते हैं:

• स्थिति 1: पहला हाथ या कोई भी हाथ जहां अंतिम हाथ पॉकेट जोड़ी नहीं था।
• स्थिति 2: अंतिम हाथ पॉकेट पेयर था।
• स्थिति 3: अंतिम दो हाथ एक ही पॉकेट जोड़ी थे।
• स्थिति 4: एक पंक्ति में तीन समान पॉकेट जोड़े पहले ही प्राप्त किए जा चुके हैं।

यदि आप अवस्था 1 में हैं, तो आप 3/51 की संभावना के साथ अवस्था 2 में पहुँच सकते हैं। अन्यथा, आप अवस्था 1 में ही रहेंगे।

यदि आप अवस्था 2 में हैं, तो आप (4/52)×(3/51) की प्रायिकता के साथ अवस्था 3 में आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, आप अवस्था 1 में वापस चले जाएँगे।

यदि आप अवस्था 3 में हैं, तो आप (4/52)×(3/51) की प्रायिकता के साथ अवस्था 4 में आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, आप अवस्था 1 में वापस चले जाएँगे।

यदि आप राज्य 4 में हैं, तो आप वहीं रहें।

जैसा कि कहा गया है, आप अपना संक्रमण मैट्रिक्स, T, इस प्रकार बना सकते हैं:

कुल 120 हाथ खेले गए हैं, इसलिए T^120 ज्ञात कीजिए।

ऊपरी दाहिना कोष्ठ हमें यह संभावना दिखाता है कि स्थिति 1 से शुरू करने पर हम तीन-हाथ अनुक्रम में 120 प्रारंभिक हाथों के बाद स्थिति 4 में पहुंच जाएंगे, जो कि 0.000141471 है।

उस संख्या का व्युत्क्रम लें, तो संभावना 7068.605131 में 1 है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

मुझे इसके लिए एक सिमुलेशन चलाना पड़ा। मेरे सिमुलेशन में, मैं मानता हूँ कि कोई भी कभी भी झुकता नहीं है। लगभग 2.2 अरब चक्कर लगाने के बाद, ऐसा 312 बार हुआ। यानी लगभग सात लाख में से एक की संभावना।