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संभावना - यादृच्छिक संख्याएँ
यह देखते हुए कि एक लॉटरी में 1 करोड़ संभावित संयोजन हैं, क्या संभावना है कि कोई व्यक्ति 90% विश्वास के साथ जीतेगा, बशर्ते कि 1 करोड़ टिकट बिक जाएँ? ज़ाहिर है कि यह 100% नहीं होगा क्योंकि कुछ टिकट डुप्लिकेट होंगे। मुझे इस सवाल के जवाब में कम और इसे हल करने के लिए इस्तेमाल की गई पद्धति में ज़्यादा दिलचस्पी है।
आइए प्रश्न को दूसरे शब्दों में लिखने का प्रयास करें। मान लें कि लॉटरी में 1 करोड़ संयोजन हैं, और सभी खिलाड़ी अपनी संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनते हैं (डुप्लिकेट की अनुमति देते हुए), लॉटरी को कितने टिकट बेचने होंगे ताकि कम से कम एक व्यक्ति के जीतने की संभावना 90% हो? मान लीजिए कि जीतने की संभावना p है और बेची गई टिकटों की संख्या n है। 1 व्यक्ति के हारने की संभावना 1-p है। सभी n लोगों के हारने की संभावना (1-p) n है। कम से कम एक विजेता की संभावना 1 - (1-p) n है। इसलिए हमें इसे .9 के बराबर रखना होगा और n के लिए हल करना होगा।
.9 = 1 - (1-पी) एन
.1 = (1-पी) एन
ln(.1) = ln((1-p) n )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
एन = एलएन(.1)/एलएन(.9999999)
एन = 23,025,850.
तो, लॉटरी में कम से कम एक विजेता की संभावना 90% होने के लिए 23,025,850 टिकट बेचने होंगे। अगर आप सोच रहे हैं, तो अगर लॉटरी में ठीक दस मिलियन टिकट बिकते हैं, तो कम से कम एक विजेता की संभावना 63.2% होगी, जो लगभग 1-(1/e) के बराबर है।
यह आपसे मेरा दूसरा प्रश्न है, इस बार विषय राज्य लॉटरी है। मुझे यकीन है कि आपने "निवेशकों" के एक समूह के बारे में सुना होगा जो जैकपॉट के एक निश्चित स्तर तक पहुँचने का इंतज़ार करते थे, जिसके बाद वे हर संभव संख्या संयोजन वाले टिकट खरीदते थे। इससे उन्हें इनाम में हिस्सा मिलना सुनिश्चित हो जाता था। मान लीजिए कि एक टिकट की कीमत $1 है, तो इसे लाभदायक बनाने के लिए जैकपॉट कितना ऊँचा होना चाहिए?
उत्तर में एक कारक अन्य खिलाड़ियों को बेचे गए टिकटों की कुल संख्या है। यदि एक से अधिक खिलाड़ी जैकपॉट जीतते हैं, तो इसे साझा करना होगा। आइए संभावित संयोजनों की संख्या n, बेचे गए अन्य टिकटों की कुल संख्या t, छोटे पुरस्कारों पर वापसी की दर r (बड़े खेल के मामले में r=0.179612), और जैकपॉट का आकार j कहें। इसे बराबरी पर लाने के लिए j*n/(n+t) + r*n - n=0। इसका मान j=(1-r)*(n+t) होगा।
मैं कंप्यूटर में यादृच्छिक संख्या निर्माण के संबंध में आपके द्वारा दिए गए एक कथन से असहमत हूँ। हालाँकि यह सच है कि एक क्रम समय के साथ प्रकट होगा और दोहराएगा, यह सच नहीं है कि यह अपरिहार्य है। तरकीब सही बीज सेट करने में है। यदि आप UNIX-आधारित आर्किटेक्चर का उपयोग कर रहे हैं, तो एक तरीका यह है कि बीज को 1/1/70 के बाद से बीते सेकंड के अनुसार सेट करें, जो सिस्टम के अंदर एक निरंतर अद्यतन चर है। चूँकि आप Visual C++ और J++ का उपयोग कर रहे हैं, इसलिए उन्हें हर बार चलाने पर स्वयं को किसी यादृच्छिक बीज पर रीसेट कर देना चाहिए, लेकिन प्रोग्राम के दौरान स्वयं बीज सेट करना बुद्धिमानी होगी। मुझे लगता है कि हर बार जब कोई नया डेक 'वितरित' किया जाता है, तो यादृच्छिक बीज को मशीन पर वर्तमान समय या कुछ इसी तरह के अनुसार सेट करना आपके लिए बुद्धिमानी होगी। इस तरह, हाँ, आप संख्याओं के उसी चक्र का उपयोग करेंगे, लेकिन कम से कम आप रास्ते में मध्यम रूप से 'यादृच्छिक' बिंदु चुनेंगे, ताकि यह एक पूर्ण चक्र न बन जाए।
विज़ुअल C++ का उपयोग करते समय, बीज स्पष्ट रूप से हमेशा एक जैसा होता है। अगर मैं प्रोग्राम को एक ही इनपुट देता हूँ, तो यादृच्छिक सिमुलेशन के बाद आउटपुट हमेशा एक जैसा ही होगा। मेरी समझ से माइक्रोसॉफ्ट का यही उद्देश्य था, ताकि प्रयोगों को हूबहू दोहराया जा सके। विज़ुअल J++ मेरे गेम्स के आधार पर स्पष्ट रूप से अलग है, अन्यथा हर बार एक ही हाथ एक ही क्रम में आते।
पुनश्च : इस लेख के बाद से मेरे पास रैंडम नंबर बुलाने का एक धीमा, लेकिन ज़्यादा बेहतर तरीका है। अधिक जानकारी के लिए यहाँ क्लिक करें।
मुझे याद है कि मैंने पढ़ा था कि अगर एक कमरे में बीस लोग हों, तो उनमें से दो का जन्मदिन एक ही होने की संभावना 50/50 से भी कम होती है। क्या यह सच है?
20 अलग-अलग लोगों के अलग-अलग जन्मदिन होने की संभावना (लीप डे को छोड़कर) (364/365)*(363/365)*(362/365)*...*(346/365) = 58.8562% है। इसलिए कम से कम एक जन्मदिन के मेल की संभावना 41.1438% है। इसके अलावा, किसी भी जन्मदिन के मेल की संभावना 50% से ज़्यादा होने के लिए 23 लोगों की न्यूनतम संख्या ज़रूरी है।
मैं webmillion.com खेलता हूँ और इसमें 94 नंबर होते हैं, जिनमें से आपको किसी भी क्रम में 6 नंबरों पर निशाना लगाना होता है। मैं जानना चाहता हूँ कि 94 में से 6 नंबरों पर निशाना लगाने की कितनी संभावना है। इस साइट की शुरुआत से लेकर अब तक कोई भी 3 मिलियन नहीं जीत पाया है।
94 में से 6 सही होने की संभावना संयोजन (94,6) में 1 = 814,216,767 में 1 है।
शानदार साइट है, माइक! मैं अक्सर जुए में "द्विपद वितरण" शब्द का इस्तेमाल सुनता हूँ। क्या आप मुझे इसका मतलब समझा सकते हैं? अग्रिम धन्यवाद।
तारीफ के लिए धन्यवाद। किसी भी परिचयात्मक प्रायिकता और सांख्यिकी पुस्तक में द्विपद वितरण पर अच्छी तरह से चर्चा की जानी चाहिए। संक्षेप में, द्विपद वितरण वह प्रायिकता है कि किसी भी निश्चित संख्या में घटनाएँ घटित होंगी, बशर्ते प्रत्येक घटना के लिए एक विशिष्ट प्रायिकता और प्रयासों की एक विशिष्ट संख्या दी गई हो। विशेष रूप से, यदि प्रत्येक सफलता की प्रायिकता p है, सफलताओं की संख्या s है, और प्रयासों की संख्या n है, तो s सफलताओं की प्रायिकता p s * (1-p) ns * combin(n,s) है। कॉम्बिन फ़ंक्शन मेरी शब्दावली में समझाया गया है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप यह प्रायिकता जानना चाहते हैं कि रूलेट व्हील के 100 घुमावों में लाल कार्डों की संख्या ठीक 60 होगी। द्विपद वितरण के अनुसार, प्रायिकता (18/38) 60 * (20/38) 40 * combin(100,60) = 0.003291 है।
एक्सेल में द्विपद बंटन के लिए भी एक फ़ंक्शन है। यह =BINOMDIST(x,n,p,0) है, जहाँ:
x=सकारात्मक परीक्षणों की संख्या. n=परीक्षणों की कुल संख्या. p=किसी भी दिए गए परीक्षण में सफलता की संभावना.
x की जीत की सटीक प्रायिकता के लिए फ़ंक्शन के चौथे स्थान पर 0 का प्रयोग करें। x या उससे कम जीत की प्रायिकता के लिए, 1 का प्रयोग करें।
उपरोक्त रूलेट उदाहरण में, फ़ंक्शन =BINOMDIST(60,100,18/38,0) होगा
क्या आप कृपया समझा सकते हैं कि "गणितीय औसत का नियम" शब्द का क्या अर्थ है? धन्यवाद, और इसी तरह अच्छा काम करते रहिए।
मुझे लगता है कि आप जिस नियम की बात कर रहे हैं, उसे असल में "बड़ी संख्याओं का नियम" कहा जाता है। यह नियम बताता है कि माध्य x वाले n यादृच्छिक चरों वाले एक यादृच्छिक नमूने के लिए, नमूने का आकार अनंत के निकट पहुँचने पर नमूना माध्य xn, x में परिवर्तित हो जाता है। हम किसी दांव के परिणाम को एक यादृच्छिक चर मान सकते हैं। यह नियम हमें बताता है कि जैसे-जैसे दांवों की संख्या बहुत बड़ी होती जाती है, औसत परिणाम हाउस एज के करीब पहुँचता जाता है।
मैं सचमुच जानना चाहता हूँ कि 12 से 1 या 3 से 2 जैसे ऑड्स को कैसे पढ़ा जाता है। इनमें से कौन जीतने की सबसे अच्छी संभावना दर्शाता है? 12 से 1 या 3 से 2?
मुझे प्रायिकताओं का इस रूप में प्रयोग करना पसंद नहीं है, लेकिन आमतौर पर इनका प्रयोग इस प्रकार के वाक्यविन्यास में किया जाता है, "रॉयल फ्लश न मिलने की संभावना 649,739 से 1 है।" इसका मतलब है कि 649,739 ऐसे तरीके हैं जिनसे आप रॉयल फ्लश नहीं निकाल सकते और 1 तरीका है जिससे आप निकाल सकते हैं। आपके उदाहरणों में 12 से 1 की प्रायिकता 1/13, या 7.69% है, और 3 से 2 की प्रायिकता 2/5, या 40.00% है, इसलिए 3 से 2 जीतने की बेहतर संभावना है।
यदि बहुविकल्पीय प्रश्नों के संभावित उत्तर a,b,c,d, तथा e हैं, तो क्या संभावना है कि 100 अनुमानों में से कम से कम 25 सही उत्तर होंगे?
आपके उदाहरण में x के बिल्कुल सही होने की प्रायिकता combin(100,x)*(1/5) x *(4/5) (100-x) है। सटीक उत्तर पाने के लिए आपको 0 से 24 तक x के सभी मानों के लिए इसकी गणना करनी होगी, उन्हें जोड़ना होगा, और 1 से अंतर निकालना होगा। उत्तर 13.14% है।
मेरी दादी का जन्म 28 अक्टूबर, 1912 को हुआ था, और हाल ही में 28 अक्टूबर, 2001 (उनके 89वें जन्मदिन) को उनका निधन हो गया। मेरे चचेरे भाई ने मुझसे पूछा कि ऐसा होने की सांख्यिकीय संभावना क्या है। मुझे पता है कि साल भर में किसी भी दिन मरने की संभावना लगभग 365 में से 1 होती है। लेकिन उस दिन किसी व्यक्ति का जन्मदिन होने की संभावना क्या है?
आपको मुझसे यह तब पूछना चाहिए था जब मैं सामाजिक सुरक्षा प्रशासन में एक्चुअरी था। मैं आसानी से मृत्यु रिकॉर्ड पर देशव्यापी पूछताछ कर सकता था। मैं कहूँगा कि इसका उत्तर लगभग 365 में 1 है। यह शायद थोड़ा कम है क्योंकि जन्म के बाद शिशु मृत्यु दर असमान रूप से अधिक होती है। वर्ष 2000 में जन्मे शिशुओं में पहले वर्ष के भीतर मृत्यु की संभावना पुरुष शिशुओं के लिए 0.71% और महिला शिशुओं के लिए 0.59% है। दूसरे शब्दों में, ये शिशु मृत्युएँ जन्मदिन पर होने की संभावना नहीं हैं क्योंकि पहला जन्मदिन आते ही बच्चा खतरे की अवधि से बाहर हो जाता है। इसके अलावा, और मुझे नहीं पता कि यह सच है या नहीं, लेकिन 'सिक्स फीट अंडर' में उन्होंने कहा था कि अंतिम संस्कार निदेशकों का व्यवसाय जनवरी में बढ़ जाता है, ज़ाहिर है क्योंकि लोग बस एक और क्रिसमस की छुट्टी का इंतज़ार करते हैं और फिर छोड़ देते हैं। यही तर्क जन्मदिन पर भी लागू हो सकता है। जॉर्ज बर्न्स पर विचार करें, उनकी मृत्यु उनके 100वें जन्मदिन के 48 दिन बाद हुई थी।
मैंने 0,00 व्हील पर लगातार 1000 बार एक ही नंबर खेला और 6 बार हिट हुआ। इस स्थिति में 6 या उससे कम बार हिट होने की क्या संभावना है?
आपके नंबर के ठीक x बार हिट होने की प्रायिकता combin(1000,x)*(1/38) x *(37/38) 1000-x है। निम्न तालिका 0 से 6 तक सभी हिट की संख्या और कुल की प्रायिकता दर्शाती है।
1000 रूलेट दांवों में जीत
| संख्या | संभावना |
| 0 | 0.00000000000262 |
| 1 | 0.00000000007078 |
| 2 | 0.00000000095556 |
| 3 | 0.00000000859146 |
| 4 | 0.00000005787627 |
| 5 | 0.00000031159330 |
| 6 | 0.00000139655555 |
| कुल | 0.00000177564555 |
तो जवाब है 0.00000177564555, या 563175 में 1। मुझे उम्मीद है कि यह किसी इंटरनेट कैसीनो में नहीं हुआ होगा।
आप सोच रहे होंगे कि मैंने ऊपर दिए गए सिक्के उछालने के सवाल में सामान्य सन्निकटन का इस्तेमाल क्यों नहीं किया। ऐसा इसलिए क्योंकि यह बहुत ज़्यादा और बहुत कम संभावनाओं के साथ ठीक से काम नहीं करता।
सरलता के लिए, मान लीजिए कि एक मेज़ पर 322 कप हैं और उनमें से एक के नीचे एक गेंद रखी है। अगर मैं एक कप को 75 बार उठाऊँ (और मेरे उठाने के बाद कप गायब नहीं होते, 322 कपों के साथ यह हमेशा एक यादृच्छिक चयन होता है) तो गेंद मिलने की क्या संभावना है? पहले तो मैंने सोचा कि 75/322 कहूँ, लेकिन मुझे एहसास हुआ कि यह गलत है, क्योंकि 322 बार उठाने पर गेंद मिलने की 100% संभावना नहीं होती क्योंकि मैं लाखों बार उठा सकता हूँ और गेंद नहीं पा सकता।
यदि आप गलत चयन के बाद कप हटा दें तो आपका उत्तर सही होगा। चूँकि आप कपों को मेज़ पर ही छोड़ देते हैं, इसलिए प्रत्येक चयन के सही होने की संभावना 1/322 या गलत होने की संभावना 321/322 है। 75 चयनों के गलत होने की संभावना (321/322) 75 = 79.193% है। इसलिए 75 चयनों में से कम से कम एक सही होने की संभावना 100% - 79.193% = 20.807% है।
क्या आप मुझे 34 परीक्षणों में से ठीक 18 में 19% संभावना आने की संभावना बताएंगे?
यह संयोजन होगा (34,18)*.19^18*(1-.19)^(34-18) = 0.000007880052468.
मेरे जीतने की संभावना किसमें अधिक है:
A. 4 में से 1 पर एक शॉट
बी. 20 में से 1 पर पांच शॉट
A की प्रायिकता स्पष्ट रूप से 25% है। पाँच में से शून्य शॉट मिलने की प्रायिकता 0.95 · 5 = 77.378% है। इसलिए पाँच में से कम से कम एक शॉट मिलने की प्रायिकता 100% - 77.378% = 22.622% है। इसलिए A की प्रायिकता ज़्यादा है।
38 नंबर वाले रूलेट व्हील पर....तीन लाल, एक हरा और फिर एक और लाल आने के बाद....क्या संभावना है कि अगले तीन घुमावों में लाल 23 आएगा?
इससे कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता कि पिछली बार क्या स्पिन हुए थे। लगातार तीन बार लाल 23 आने की संभावना (1/38) 3 = 54,872 में 1 में 1 है।
मुझे हाल ही में एक कार्निवल व्हील मिला है जो मेरे परदादा का था। यह लगभग सौ साल पुराना है और मैं इस पर एक गेम बनाने की कोशिश कर रहा हूँ। इस पर 1 से 60 तक के नंबर बेतरतीब क्रम में हैं और यह हर पंद्रहवें निशान पर एक हरे तारे के साथ काले और लाल रंग में बदलता रहता है। क्या आप मुझे यह बताने में मदद कर सकते हैं कि हर स्पिन के लिए कितना भुगतान होना चाहिए?
तो कुल 30 काली, 30 लाल और 4 हरी संख्याएँ हैं। इससे काली संख्या की प्रायिकता 30/64, लाल संख्या की प्रायिकता 30/64 और हरी संख्या की प्रायिकता 4/64 होगी। यदि किसी घटना की प्रायिकता p है, तो उचित ऑड्स (1-p)/p से 1 हैं। इसलिए किसी भी लाल संख्या के लिए उचित ऑड्स (34/64)/(30/64) = 34 से 30 = 17 से 15 होंगे। काली संख्या के लिए भी यही बात लागू होती है। हरी संख्या के लिए उचित ऑड्स (60/64)/(4/64) = 60 से 4 = 15 से 1 हैं। किसी विशिष्ट संख्या के लिए उचित ऑड्स (63/64)/(1/64) से 63 से 1 हैं।
मेरा सुझाव है कि लाल और काले पर 1:1, हरे पर 14:1, और किसी भी एक संख्या पर 60:1 का दांव लगाएँ। हाउस एज का एक सूत्र (ta)/(t+1) है, जहाँ t वास्तविक ऑड्स है, और a वास्तविक ऑड्स है। इस स्थिति में, लाल या काले दांव पर हाउस एज (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69% है। हरे दांव पर हाउस एज (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6.25% है। अलग-अलग संख्याओं पर हाउस एज (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69% है।
एक परीक्षा में 10 बहुविकल्पीय प्रश्न होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के 5 संभावित उत्तर होते हैं, जिनमें से 1 सही होता है। परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, एक छात्र को परीक्षा में 60% या उससे अधिक अंक प्राप्त करने होंगे। यदि कोई छात्र यादृच्छिक रूप से अनुमान लगाता है, तो उसके परीक्षा उत्तीर्ण करने की क्या प्रायिकता है?
ठीक 6 सही होने की संभावना combin(10,6)×0.2 6 ×0.8 4 = 0.00550502 है।
ठीक 7 सही होने की संभावना (10,7)×0.2 7 ×0.8 3 = 0.00078643 है।
ठीक 8 सही होने की संभावना combin(10,8)×0.2 8 ×0.8 2 = 0.00007373 है।
ठीक 9 सही होने की संभावना combin(10,9)×0.2 9 ×0.8 1 = 0.00000410 है।
ठीक 10 सही होने की संभावना 0.2 10 = 0.00000010 है।
6 और 10 सही उत्तरों की संभावनाओं को जोड़ने पर, कम से कम छह सही उत्तरों की संभावना 0.00636938 है।
यदि मैं उस इवेंट पर 1,000,000 स्पिन लगाता हूं जिसमें जीतने की संभावना 1,000,000 में 1 है, तो कम से कम एक बार जीतने की मेरी संभावना क्या है?
यदि जीतने की संभावना 1/n है, और आप n बार खेलते हैं, तो जैसे-जैसे n अनंत के करीब पहुँचता है, कम से कम एक बार जीतने की संभावना 1-(1/e) के करीब पहुँचती है, जहाँ e = 2.7182818..., या लगभग 63.21% है। सटीक उत्तर 1-(999,999/1,000,000) 1,000,000 = 0.63212074 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। मेरा अनुमान है कि 1-(1/e) = 0.63212056, जो छह दशमलव स्थानों तक मेल खाता है।
किसी दौड़ में, अगर प्रतियोगियों के रेस नंबर बेतरतीब ढंग से आवंटित किए जाते हैं, और उनका दौड़ के प्रदर्शन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता, तो क्या संभावना है कि कम से कम एक व्यक्ति अपनी रेस नंबर से मेल खाने वाले स्थान पर दौड़ पूरी कर पाएगा? उदाहरण के लिए, विजेता की छाती पर नंबर एक है या जो व्यक्ति तीन सौ पाँचवें स्थान पर आता है, उसका नंबर 305 है।
यह मानते हुए कि कोई भी संख्या छूटी नहीं है, संभावना प्रतिभागियों की संख्या पर बहुत कम निर्भर करती है, बशर्ते वह संख्या काफी बड़ी हो। प्रतिभागियों की संख्या जितनी ज़्यादा होगी, कम से कम एक मिलान की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी, जो 1-(1/e) = 63.21% के करीब होगी।
नमस्ते, ऑस्ट्रेलिया में लोट्टो होता है, जहाँ संभावित 45 संख्याओं (1-45) में से छह संख्याएँ निकालने पर बड़ा नकद पुरस्कार मिलता है। बहुत से लोग "स्लिक पिक" खरीदते हैं, जहाँ आपको 12 गेम मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक में छह, कथित तौर पर बेतरतीब ढंग से चुने गए होते हैं। मैं और मेरे दोस्त हमेशा इस बात से हैरान होते हैं कि इन 12 खेलों में, एक ही संख्या 6 या 7 बार तक आ सकती है। निश्चित रूप से यह बेतरतीब नहीं है!!! मेरा प्रश्न यह है कि यह मानते हुए कि चयन बेतरतीब है, किसी भी संख्या के 6 या 7 बार दोहराए जाने की अपेक्षित संख्या क्या है?
12 खेलों में किसी भी संख्या के ठीक n बार आने की अपेक्षित संख्या (12,n)×(6/45) n ×(39/45) n-12 के संयोजन से होती है। निम्न तालिका 0 से 12 तक आने की अपेक्षित संख्या दर्शाती है।
दोहराए गए नंबरों की अपेक्षित संख्या
| पुनर्प्रसारण | अपेक्षित |
|---|---|
| 0 | 8.0804888027 |
| 1 | 14.9178254818 |
| 2 | 12.6227754077 |
| 3 | 6.4732181578 |
| 4 | 2.2407293623 |
| 5 | 0.5515641507 |
| 6 | 0.0989986937 |
| 7 | 0.0130547728 |
| 8 | 0.0012552666 |
| 9 | 0.0000858302 |
| 10 | 0.0000039614 |
| 11 | 0.0000001108 |
| 12 | 0.0000000014 |
| कुल | 45 |
तो, आपके प्रश्न का उत्तर यह है कि आपको एक ही संख्या ठीक छह बार दिखाई देगी, यानी कार्डों के प्रत्येक सेट में लगभग 0.099 बार, यानी लगभग हर 10.1 बार। वही संख्या ठीक सात बार दिखाई देगी, यानी कार्डों के प्रत्येक सेट में लगभग 0.0131 बार, यानी हर 76.6 बार।
मैंने पढ़ा है कि लगातार दो रातों में एक ही तीन अंकों वाली संख्या निकलने की संभावना दस लाख में एक है। लेकिन चूँकि निकाली गई वास्तविक संख्या का कोई महत्व नहीं है, इसलिए संभावना सचमुच हज़ार में एक ही है, है ना?
आप सही कह रहे हैं। लगातार दो रातों में एक ही क्रम में संख्याएँ निकलने की प्रायिकता 1000 में 1 है। लेखक जिस प्रश्न का उत्तर दे रहा था, वह यह है कि 1-9-6 के लगातार दो बार निकलने की प्रायिकता क्या है, जो वास्तव में दस लाख में एक है। हालाँकि, जैसा कि आपने देखा, प्रासंगिक प्रश्न यह है कि किसी भी क्रम के दोहराए जाने की क्या संभावना है। इस प्रश्न का उत्तर है (1/10) 3 = 1000 में 1।
एक इकाई वर्ग में दो यादृच्छिक बिंदुओं के बीच औसत दूरी क्या है?
इतने आसान सवाल का हल भी जटिल है। मैंने जिस तरह से किया, आपको इस समाकलन को जानना होगा।
यहाँ उत्तर और मेरा समाधान (पीडीएफ) है।
