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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

डांडा - संभावना

मैं ब्लैकजैक जैसे नकारात्मक खेल में, बिना गिनती के, 45,000 या उससे ज़्यादा हाथों के बाद 0.5% नुकसान के साथ, आगे रहने की फ्लैट बेटिंग (बिना गिनती, बिना प्रगति, आदि) की संभावना कैसे निर्धारित कर सकता हूँ? क्या यह संभव भी है?

Kevin

यह एक ऐसा सामान्य प्रश्न है जो किसी भी प्रारंभिक सांख्यिकी कक्षा में आ सकता है। चूँकि बड़ी संख्या में यादृच्छिक चरों का योग हमेशा एक बेल कर्व के निकट पहुँचता है, इसलिए हम इसका उत्तर पाने के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।

हाउस एज पर मेरे सेक्शन से हमें ब्लैकजैक में मानक विचलन 1.17 मिलता है। अगर आपने सांख्यिकी नहीं पढ़ी है, तो आप इसे नहीं समझ पाएँगे, लेकिन आपके उदाहरण में नुकसान होने की संभावना Z सांख्यिकी होगी: 45000*0.005/(45000 1/2 *1.17) =~ 0.91।

किसी भी बुनियादी सांख्यिकी पुस्तक में एक मानक सामान्य तालिका होनी चाहिए जो 0.8186 का Z आँकड़ा देगी। इसलिए आपके उदाहरण में आगे होने की संभावना लगभग 18% है।

ब्लैकजैक के संबंध में मेरे कुछ प्रश्न हैं: डीलर के बस्ट होने की कितनी बार उम्मीद की जा सकती है और खिलाड़ी कितनी बार लगातार चार बार जीतने की उम्मीद कर सकता है?

John से Westminster, USA

जब डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा होता है, तो डीलर लगभग 29.1% बार बस्ट होगा। जब डीलर सॉफ्ट 17 पर हिट करता है, तो डीलर लगभग 29.6% बार बस्ट होगा। मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 4 के अनुसार, शुद्ध जीत की संभावना 42.42% है। हालाँकि, अगर हम टाई को छोड़ दें, तो संभावना 46.36% है। इसलिए, लगातार चार जीत की संभावना 0.4636 4 = 4.62% है।

सबसे पहले, मैं आपकी वेबसाइट को पसंद करने वाले लोगों की बढ़ती सूची में अपना नाम जोड़ना चाहता हूँ। आपकी जानकारी शुरुआती और अनुभवी जुआरियों, दोनों के लिए काफ़ी मूल्यवान है, और आप अपने निष्कर्षों को सुखद, समझने योग्य और यहाँ तक कि हास्यपूर्ण तरीके से प्रस्तुत करते हैं। लास वेगास या लेक ताहो जाने से पहले मैं हमेशा आपकी साइट देखता हूँ, ताकि मुझे याद रहे कि कैसे समझदारी से खेलना है।

खैर, अब मेरे सवाल पर आते हैं। एक अवलोकन: जब डीलर लगातार छठी जीत के लिए 16 में से 5 खींचता है, तो हमेशा कोई न कोई उठकर टेबल छोड़ देता है, और बुदबुदाता है कि डीलर एक मतलबी, क्रूर और निर्दयी इंसान है, और किसी "ज़्यादा गर्म" टेबल की तलाश में निकल जाता है। लेकिन क्या इसमें कोई सच्चाई है? ज़ाहिर है कि डीलर बाँटे गए पत्तों के लिए महत्वहीन है (मैं कहना चाहूँगा कि डीलर "सिर्फ़ पत्तों का संदेशवाहक" है), लेकिन क्या 8-डेक वाले जूते में लकीरें आना अनिवार्य है, और क्या उनका अनुमान भी लगाया जा सकता है? या यह आपके रूलेट वाले उदाहरण जैसा है, जहाँ हर नए राउंड के ऑड्स बिल्कुल एक जैसे होते हैं? आपकी वेबसाइट के लिए एक बार फिर धन्यवाद।

Dave K. से Beverly Hills, California

आपके स्नेहपूर्ण शब्दों के लिए धन्यवाद। डीलर द्वारा 5 से 16 तक का कार्ड निकालना, जैसे स्ट्रीक अपरिहार्य हैं, लेकिन पूर्वानुमानित नहीं। ब्लैकजैक रूलेट की तरह पूरी तरह से स्वतंत्र परीक्षणों का खेल नहीं है, लेकिन डेक स्ट्रीक में चलने के लिए पूर्वनिर्धारित नहीं है। गैर-कार्ड काउंटर के लिए यह माना जा सकता है कि प्रत्येक नए दौर में ऑड्स समान हैं। डेक संरचना के कुछ मामूली प्रभावों को छोड़कर, जिस डीलर ने लगातार पिछले पाँच बार 5 से 16 तक का कार्ड निकाला है, उसके अगली बार ऐसा करने की संभावना उतनी ही होगी जितनी कि उस डीलर की जो कई घंटों से 16 पर बस्ट हो रहा था।

ब्लैकजैक के लगातार सात हाथ जीतने की संभावना क्या है? छह के बारे में क्या?

James से Palo Alto, California

मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 4 के अनुसार, ब्लैकजैक में कुल जीत की संभावना 42.22%, बराबरी की संभावना 8.48% और हार की संभावना 49.10% है। मैं मान रहा हूँ कि आप स्ट्रीक के उद्देश्य से बराबरी की संभावना को नज़रअंदाज़ करना चाहेंगे। उस स्थिति में, एक निश्चित दांव पर जीत की संभावना 46.36% है। एक पंक्ति में n हाथ जीतने की संभावना 0.4636 n है। इसलिए लगातार छह जीतने की संभावना 0.99% और लगातार सात जीतने की संभावना 0.46% है।

क्या यह सच हो सकता है कि मेरे अनुभव का कोई सांख्यिकीय आधार हो? मुझे लगता है कि X चिप्स जीतने में उतनी ही राशि हारने से कहीं ज़्यादा समय लगता है (मैं सिर्फ़ ब्लैकजैक खेलता हूँ)। उदाहरण के लिए, अगर मैं 300 चिप्स से शुरुआत करता हूँ, तो मुझे अपनी राशि (मेरा लक्ष्य) दोगुनी करने में घंटों लग सकते हैं, फिर भी मैं लगभग बिना किसी समय के उतनी ही राशि हार सकता हूँ। क्या यह सच में सच हो सकता है? इसके अलावा, क्या आपके पास कोई सामान्य नियम है कि जीतते समय टेबल कब छोड़नी चाहिए?

Chris से Gaithersburg, Maryland

आपने जो अनुभव किया है, वह संभवतः कुछ बहुत बुरी हार का नतीजा है। यह प्रगतिशील सट्टेबाजी या रणनीति में गलतियों का भी नतीजा हो सकता है। बुनियादी रणनीति के अनुसार, फ्लैट बेटर को तीव्र उतार-चढ़ाव के संदर्भ में लगभग सममित अपेक्षा रखनी चाहिए, हाउस एज के कारण तीव्र गिरावट को थोड़ा ज़्यादा पसंद करना चाहिए और जीतने की 43% संभावना की तुलना में हारने की 48% संभावना होनी चाहिए। अगर मैं मनोरंजन के लिए खेल रहा हूँ, तो जब मुझे और मज़ा नहीं आ रहा होता, तो मैं टेबल छोड़ देता हूँ।

छह-डेक वाले जूते में, ब्लैकजैक (इक्का फेस कार्ड या दस) आने की कितनी प्रतिशत बार संभावना होती है?

Ed से Lynnwood, USA

मान लीजिए n डेक की संख्या है। ब्लैकजैक की प्रायिकता 2*(4/13)*(4n/(52*n-1)) है। यदि n=6 है, तो प्रायिकता 192/4043 = 4.75% है।

मुझे आपकी साइट अब भी बहुत पसंद है! जब भी मेरे मन में कोई सवाल आता है, मैं हमेशा आपकी साइट देखता हूँ। ज़्यादातर मुझे जवाब मिल ही जाता है, लेकिन हमेशा नहीं। बेसिक स्ट्रैटेजी ब्लैकजैक खेलते समय, मैं समझता हूँ कि मेरे खेल में उतार-चढ़ाव आते रहेंगे और लंबे समय में मैं लगभग बराबरी पर ही रहूँगा। मेरा सवाल यह है कि असल में "लंबे समय में" क्या होता है? एक महीना, एक साल, पाँच साल? कोई सुझाव?

Kim से Helsinki, Finland

आपके दयालु शब्दों के लिए धन्यवाद। आपने एक अच्छा प्रश्न पूछा है जिसका कोई निश्चित उत्तर नहीं है। यह डिग्री का मामला है, जितना अधिक आप खेलेंगे उतना ही आपके परिणाम हाउस एज के करीब पहुँचेंगे। मैंने हाल ही में अपने ब्लैकजैक परिशिष्ट 4 को मानक विचलन के बारे में कुछ जानकारी से बदल दिया है जो मददगार हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह तालिका दर्शाती है कि यदि आप ब्लैकजैक के 10,000 हाथ खेलते हैं, तो हाउस एज के कारण अपेक्षित नुकसान घटाने के बाद, 192 इकाइयों के भीतर समाप्त होने की संभावना 90% है जहाँ से आपने शुरुआत की थी। इसलिए 10,000 हाथों में यादृच्छिक भिन्नता के कारण आपके कुल दांव पर लगाई गई धनराशि के 2% से कम जीतने या हारने की संभावना है। हालाँकि, यदि हम दस लाख हाथों तक जाते हैं, तो भाग्य के कारण 0.2% भिन्नता की संभावना 90% है। सामान्य तौर पर, माध्य में परिवर्तन आपके द्वारा खेले गए हाथों की संख्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह सब फ्लैट बेटिंग मानकर चलता है, अन्यथा गणित वास्तव में गड़बड़ हो जाता है।

कृपया समझाएँ कि एक ही डेक में ब्लैकजैक होने की प्रायिकता कैसे निकाली जाती है। मैं दूसरे हाथों पर आसानी से काम कर सकता हूँ, लेकिन जब कोई पत्ता या तो/या हो सकता है, तो मेरा दिमाग़ खराब हो जाता है।

Mike से Bossier City, USA

पहला पत्ता इक्का होने की प्रायिकता 4/52 है। दूसरा पत्ता 10 अंकों का पत्ता होने की प्रायिकता 16/51 है। इसलिए, पहले ब्लैकजैक में इक्का आने की प्रायिकता (4/52)*(16/51) है। इसे 2 से गुणा करें क्योंकि दहाई भी आसानी से पहला पत्ता हो सकता है और उत्तर 2*(4/52)*(16/51) = 128/2652 = 0.0482655, या लगभग 20.7 में 1 है।

क्या आपको पता है कि क्रेप्स में एक जोड़ी निष्पक्ष पासों से सबसे ज़्यादा सात फेंकने का "रिकॉर्ड" क्या है? किसी ने मुझे बताया था कि यह 84 था, लेकिन लगातार इतने सात फेंके जाने की संभावना इतनी कम है कि मुझे शक हो रहा है। ऐसा लगता है कि लगातार 84 पास आने की संभावना ज़्यादा है, लेकिन यह भी एक शॉट के लिए दस लाख है (लाक्षणिक रूप से - सचमुच, यह बहुत बुरा है)। मैंने वेब पर खोजने की कोशिश की, लेकिन मुझे नहीं पता कि मुझे ऐसा कुछ कहाँ मिलेगा।

Mike

इस प्रश्न के प्रस्तुत होने के बाद से, एक खिलाड़ी ने 23 मई, 2009 को अटलांटिक सिटी में 154 बार पासा फेंका। इसकी प्रायिकता 5,590,264,072 में से 1 है। 1 से 200 तक किसी भी संख्या में पासे फेंकने की प्रायिकता के लिए, कृपया मेरी क्रेप्स सर्वाइवल टेबल देखें। इस समस्या को स्वयं हल करने के तरीके के लिए, मेरी MathProblems.info साइट, समस्या 204 देखें।

यदि मैं 0.5% हाउस एज पर $5 प्रति हाथ के हिसाब से ब्लैकजैक के 100 हाथ खेलता हूं तो मैं कितना हार सकता हूं और फिर भी अपेक्षा से तीन मानक विचलन से ऊपर रह सकता हूं?

Blair से Christchurch, New Zealand

आपकी अपेक्षित हानि 100*$5*.005=$2.50 होगी। एक हाथ का मानक विचलन 1.17 है, जो मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 7 में पाया जा सकता है। इसलिए, आपके उदाहरण में एक मानक विचलन $5*1.17*sqr(100)=$58.5 है। इसलिए, दुर्भाग्य के कारण $295 या उससे अधिक की हानि की संभावना .00135 (-3 के लिए Z आँकड़ा) है।

अगर पहला पत्ता इक्का है, तो डीलर के पास ब्लैकजैक होने की क्या संभावना है? मान लीजिए दो डेक हैं।

T से Las Vegas, U.S.

दोनों डेक में 103 कार्ड बचे हैं और 32 कार्ड दहाई के हैं। इसलिए ब्लैकजैक की संभावना 32/103=31.07% है।

कितने प्रतिशत हाथ सूटेड ब्लैकजैक हैं? छह-डेक वाला जूता, कोई भी सूट।

RWR से Tuscon, USA

छह-डेक गेम में एक सूटेड ब्लैकजैक की संभावना 2*(4/13)*(6/311) = 0.0118723 है।

ब्लैकजैक के लिए, 6-डेक शू में तीन सूटेड सात प्राप्त करने की संभावना क्या है?

Rodrigo से Costa Rica

मैंने अपने ब्लैकजैक परिशिष्ट 8 में इसका हल निकालने का प्रयास किया है, लेकिन यहाँ मैं इसे धीरे-धीरे हल करूँगा। हम सरलता बनाए रखने के लिए डीलर के ब्लैकजैक को नज़रअंदाज़ करेंगे और मान लेंगे कि खिलाड़ी हमेशा दो कार्ड के बाद हिट करता है। 6-डेक वाले शू में 3 कार्डों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या combin(312,3)=5,013,320 है। शू में 24 सेवन हैं। 24 में से 3 सेवन को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या combin(24,3)=2024 है। प्रायिकता जीतने वाले संयोजनों की संख्या को कुल संयोजनों से विभाजित करके प्राप्त की जाती है, या 2024/5013320=0.0004, या लगभग 2477 में 1।

मुझे कौन सी जानकारी छूट रही है? अगर डेक से दस काउंट वाला पत्ता निकलने की संभावना लगभग 30.7% है और इक्का निकलने की संभावना 7.8% है, तो मुझे लगता है कि ऐसा होने की संयुक्त संभावना लगभग 2.4% है। ब्लैकजैक सिमुलेटर और ब्लैकजैक लेखक ब्लैकजैक की संभावना 4.7% क्यों बताते हैं, जो कि गणना की गई संभावना से दोगुनी होती है। मुझे क्या छूट रहा है?

Jeffrey से Loveland

आप भूल रहे हैं कि दो संभावित क्रम हैं, या तो इक्का या दहाई पहले आ सकता है। 2 से गुणा करें और आपको अपना उत्तर मिल जाएगा।

आप जाइए, जादूगर! हमारे स्थानीय कैसीनो प्रमोशनल कूपन देते हैं, जो ब्लैकजैक में पहले पत्ते के इक्के की तरह काम करते हैं। आपके बीजे परिशिष्ट के अनुसार, इक्के वाले ज़्यादातर हाथों में सकारात्मक अपेक्षा होती है, बीजे को गिनने के बिना आपको हर तेरह चालों में से चार मिलेंगे। क्या आप जानते हैं कि इक्का आपके पहले पत्ते के रूप में होने की कुल अपेक्षा क्या है? धन्यवाद।

Victor से Yakima, Washington

स्टैनफोर्ड वोंग के 'बेसिक ब्लैकजैक' के अनुसार, पहला पत्ता इक्का होने पर खिलाड़ी की बढ़त 50.5% होती है (पृष्ठ 124)। हालाँकि, आपके प्रश्न को इस प्रकार बदला जा सकता है, "इक्के का मूल्य क्या है, यह देखते हुए कि दूसरा पत्ता दहाई का नहीं है।" सरलता के लिए, अनंत डेक का उपयोग करते हुए, हम वोंग की संख्या को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: 0.505 = (4/13)*1.5 + (9/13)*x, जहाँ x वह है जो आप जानना चाहते हैं। कुछ सरल बीजगणित करने पर हमें x=28.5% प्राप्त होता है।

मैंने अभी एक लेख पढ़ा है जिसमें बताया गया है कि मल्टीपल डेक (4 या उससे ज़्यादा डेक) वाले ब्लैकजैक गेम में डीलर के 10 कार्ड के मुकाबले, 4 या 5 वाले मल्टीपल कार्ड 16 पर खड़े होना एक सही बुनियादी रणनीति है। मैंने आपकी वेबसाइट देखी और मुझे 1 और 2 डेक वाले गेम में मल्टीपल कार्ड हैंड के लिए सिर्फ़ परिशिष्ट ही मिले। क्या यह लेख सही है?

Rodney से Clarence, New York

हाँ! अच्छा सवाल है, मुझे भी यह नहीं पता था। डेक जितने कम और पत्तों की संख्या जितनी ज़्यादा होगी, यह बात उतनी ही ज़्यादा सच होगी। 8 डेक और सिर्फ़ 3 पत्तों के हिट होने की सबसे ज़्यादा संभावना वाली स्थिति का परीक्षण करने के लिए, मैंने अपने कॉम्बिनेटरियल प्रोग्राम के ज़रिए हर संभव स्थिति को चलाया। नीचे दी गई तालिका में परिणाम दिखाए गए हैं।

8-डेक गेम में 3-कार्ड 16 बनाम 10 के लिए अपेक्षित मान

हाथ ईवी हिट ईवी स्टैंड श्रेष्ठ
खेल		 संभावना वापस करना
मार		 वापस करना
खड़ा होना
1/5/10 -0.540978 -0.539872 खड़ा होना 0.132024 -0.071422 -0.071276
1/6/9 -0.536558 -0.540151 मार 0.059837 -0.032106 -0.032321
1/7/8 -0.537115 -0.537003 खड़ा होना 0.059837 -0.032139 -0.032133
2/4/10 -0.540947 -0.541 मार 0.237478 -0.128463 -0.128475
2/5/9 -0.542105 -0.540534 खड़ा होना 0.039891 -0.021625 -0.021563
2/6/8 -0.537701 -0.540773 मार 0.059837 -0.032174 -0.032358
2/7/7 -0.538271 -0.537584 खड़ा होना 0.028983 -0.015601 -0.015581
3/3/10 -0.540385 -0.540995 मार 0.115028 -0.06216 -0.06223
3/4/9 -0.541769 -0.540536 खड़ा होना 0.059837 -0.032418 -0.032344
3/5/8 -0.54295 -0.540022 खड़ा होना 0.039891 -0.021659 -0.021542
3/6/7 -0.538575 -0.540228 मार 0.059837 -0.032227 -0.032326
4/4/8 -0.543188 -0.54003 खड़ा होना 0.028983 -0.015743 -0.015652
4/5/7 -0.544396 -0.539483 खड़ा होना 0.039891 -0.021717 -0.021521
4/6/6 -0.539446 -0.542878 मार 0.028983 -0.015635 -0.015735
5/5/6 -0.545033 -0.542137 खड़ा होना 0.009661 -0.005266 -0.005238
कुल 1 -0.540355 -0.540293

नीचे की पंक्ति में दाईं ओर की दो संख्याएँ दर्शाती हैं कि हिटिंग के लिए कुल अपेक्षित मान -0.540355 है और स्टैंडिंग के लिए -0.540293 है। इसलिए स्टैंडिंग थोड़ा बेहतर खेल है। इस नियम का पालन करने पर हर 1117910 हाथों में एक अतिरिक्त यूनिट मिलेगी। इस सलाह से खिलाड़ी को एक यूनिट बचाने में लगभग 5 साल लग गए, जब उसने हफ़्ते में 40 घंटे ब्लैकजैक खेला।

मैं ट्यूनिका, मैसाचुसेट्स में 6 डेक ब्लैकजैक खेलता हूँ। डीलर सॉफ्ट 17 पर दांव लगाता है। मुझे आश्चर्य है कि जब डीलर का अपकार्ड 7 है, तो 16 पर खड़े होने की क्या संभावना है। ऐसा लगता है कि केवल 10 या फेस कार्ड ही इसे हरा सकते हैं और अगर डीलर एक से ज़्यादा कार्ड निकालता है, तो संभावना मेरे पक्ष में होगी। इसके अलावा, चूँकि ज़्यादातर रणनीतियाँ कंप्यूटर पर की गई लाखों गणनाओं पर आधारित होती हैं, मुझे आश्चर्य है कि क्या हममें से जो कभी लाखों हाथ नहीं खेलेंगे, वे इस तरह के मामूली बदलावों पर भरोसा कर सकते हैं। क्या यह एक गलत, उचित या बुरा कदम है?

Richard S. से Memphis, USA

मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 9H के अनुसार, खड़े होने पर अपेक्षित रिटर्न -0.476476 है और हिट होने पर -0.408624 है, यह मानते हुए कि 16, 10 और 6 से मिलकर बना है। इसलिए मेरे हिट करने पर आपको प्रत्येक डॉलर के दांव पर 6.79 सेंट की बचत होगी। यह कोई मामूली दांव भी नहीं है। यह समझाने के लिए कोई ठोस जवाब नहीं है कि आपको हिट क्यों करना चाहिए। ये अपेक्षित मान उन सभी अनगिनत तरीकों पर विचार करते हैं जिनसे हाथ चल सकता है। एक अरब हाथों के लिए सबसे अच्छा दांव एक हाथ के लिए सबसे अच्छा दांव होता है। अगर आप मूल रणनीति से हटना चाहते हैं, तो यहाँ कुछ सीमांत दांव दिए गए हैं: 12 बनाम 3, 12 बनाम 4, 13 बनाम 2, 16 बनाम 10। इन हाथों पर दांव लगाने से आपको बहुत कम नुकसान होगा।

मैं और मेरा दोस्त ब्लैकजैक से जुड़े दो मुद्दों पर बहस कर रहे हैं जो उसकी कैरिबियन छुट्टियों से उठे थे। (1) डीलर द्वारा दूसरा कार्ड न निकालने पर ऑड्स में क्या बदलाव आता है? हाउस के पक्ष में या खिलाड़ी के पक्ष में? (2) आपके सिमुलेशन में, खिलाड़ियों की संख्या का ऑड्स की सटीकता पर क्या प्रभाव पड़ता है?

Beau से Toronto, Canada

(1) यह इस बात पर निर्भर करता है कि डीलर के पास ब्लैकजैक होने पर क्या होता है। अगर खिलाड़ी को मूल दांव से ज़्यादा हारने की गारंटी नहीं है, तो डीलर के दूसरा कार्ड लेने या न लेने से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। अगर खिलाड़ी डबलिंग या स्प्लिटिंग के बाद पूरी दांव राशि हार जाता है और डीलर को ब्लैकजैक मिलता है, तो यह डीलर के फ़ायदे में रहता है। (2) मुझे इसका अनुकरण करने की ज़रूरत नहीं है क्योंकि खिलाड़ियों की संख्या से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता।

ब्लैकजैक में, ब्लैकजैक की संभावना क्या है?

गुमनाम

यह डेक की संख्या पर निर्भर करता है। यदि डेक की संख्या n है, तो प्रायिकता 2*pr(ace)*pr(10) = 2*(1/13)*(16*n/(52*n-1)) है, जो लगभग 21 में 1 है। यहाँ डेक की विभिन्न संख्याओं के लिए सटीक उत्तर दिया गया है।

ब्लैकजैक की संभावना

डेक्स संभावना
1 4.827%
2 4.780%
3 4.764%
4 4.757%
5 4.752%
6 4.749%
7 4.747%
8 4.745%

इसकी क्या संभावना है कि आप दस बार खेलें और कभी भी (दो पत्तों वाला) 21 न पाएँ? मान लीजिए कि हर बार खेलने के बाद पत्तों को फिर से फेरबदल किया जाता है?

Matt से Radford, USA

यदि ब्लैकजैक की प्रायिकता p है, तो 10 हाथों में कोई ब्लैकजैक न मिलने की प्रायिकता 1-(1-p) 10 है। उदाहरण के लिए, छह डेक वाले खेल में उत्तर 1- 0.952511 10 = 0.385251 होगा।

एक डेक, 4 खिलाड़ियों और एक डीलर के साथ लगातार 3 ब्लैकजैक प्राप्त करने की संभावना क्या है?

Joe P से Parma Heights, USA

मैं मान रहा हूँ कि हाथों के बीच कभी फेरबदल नहीं होता। बाकी तीन खिलाड़ी मायने नहीं रखते। जवाब होगा 2 3 *(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47)= 0.00004401, यानी लगभग 22722 में 1। अगर हाथों के बीच फेरबदल होता, तो संभावना काफी बढ़ जाती।

एक डेक का उपयोग करके दो हाथों वाले ब्लैकजैक में, डीलर के पास ब्लैकजैक होने की संभावना क्या है?

Steve से Solva, United Kingdom

हाथों की संख्या मायने नहीं रखती। संभावना 2*(4/13)*(8/103) = 0.0478 है।

एक डीलर द्वारा दो खिलाड़ियों के साथ एक ही डेक टेबल पर लगातार 3 ब्लैकजैक प्राप्त करने की संभावना क्या है?

J.A.S. से Las Vegas, USA

यह इस बात पर निर्भर करता है कि ब्लैकजैक के बीच कोई फेरबदल होता है या नहीं। मान लें कि ऐसा नहीं है, तो प्रायिकता 8*(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0.000044011058 होगी। अन्य खिलाड़ियों की संख्या मायने नहीं रखती, सिवाय इसके कि वे फेरबदल का कारण बनें।

प्रिय जादूगर, मैं हाल ही में एक ऐसे ताश के पत्ते के शौकीन के साथ ब्लैकजैक खेल रहा था जो मेरा दोस्त भी है। हम कैसीनो के नियमों के अनुसार, एक ही डेक के साथ खेलते थे और हर बार डेक खत्म होने पर डील बदल देते थे। बाद में, जब मैं कार्ड फेंट रहा था, तो मैंने हुकुम के दो 9 एक साथ देखे। मेरे दोस्त ने ज़ाहिर तौर पर दावा किया कि उसे इस बारे में पता नहीं था, लेकिन ऐसा होना नामुमकिन लगता है। मेरा सवाल यह है कि अगर आप भी ऐसी ही स्थिति में खेल रहे होते और डेक में एक पत्ता जोड़ना होता, तो कौन सा पत्ता सबसे ज़्यादा फ़ायदेमंद होता अगर आपको इसके बारे में पता होता। आपके समय के लिए शुक्रिया।

Matt

मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 7 से हम देखते हैं कि सिंगल डेक गेम से प्रत्येक 9 कार्ड हटाने पर हाउस एज 0.20% बढ़ जाता है। हालाँकि, अगर आप चीटिंग करने वाले हैं, तो इक्का हटाना ज़्यादा बेहतर होगा, जिससे हाउस एज 0.58% बढ़ जाता है। अगर आप डीलर के रूप में कार्ड जोड़ना चाहते हैं, तो आपको 5 कार्ड जोड़ना चाहिए, जिससे हाउस एज 0.80% बढ़ जाता है। इसलिए, खिलाड़ी के लिए सबसे अच्छा कार्ड इक्का है और डीलर के लिए सबसे अच्छा कार्ड 5 है।

मैं काफी समय से बुनियादी रणनीति का इस्तेमाल करते हुए ब्लैकजैक खेल रहा हूँ, ज़्यादातर हर हाथ में एक सम इकाई का दांव लगाता हूँ। कभी-कभी मैं दांव बढ़ा देता हूँ क्योंकि मुझे "लगता है" कि मैं अगला दांव जीत जाऊँगा। मुझे लगता है कि लगभग सभी मनोरंजन के शौकीन खिलाड़ी कम से कम कभी-कभार अपने मन के भाव पर दांव लगाते हैं। मैं आपके पिछले "आस्क द विज़ार्ड" कॉलम पढ़ रहा था और 4 अगस्त, 2002 के कॉलम में लगातार हार की संभावना का आपका आकलन देखा। आप जानते हैं कि जुआ खेलते समय आपके मन में कौन से भावनात्मक विचार आते हैं (शायद आपके मन में नहीं), "मुझे जीत मिलनी ही है!"

ऐसा लगता है कि उस कॉलम में उस "भावना" का गणित लगाया गया है जो एक खिलाड़ी को हो सकती है। उस कॉलम के उदाहरण में, एक खिलाड़ी के ब्लैकजैक के लगातार 8 हाथ हारने की संभावना (.5251^8 या लगभग 173 में 1) थी। मेरा सवाल यह है कि इसका असल में क्या मतलब है? क्या इसका मतलब यह है कि जब मैं टेबल पर बैठता हूँ, तो अपने अगले 173 खेल सत्रों में से 1 में मैं 8 हाथों से हारने की उम्मीद कर सकता हूँ? या इसका मतलब यह है कि किसी भी हार पर 173 में 1 की संभावना है कि वह मेरे सामने आने वाली 8 हारों में से पहली हो?

मुझे पता है, मुझे पता है, मैं किसी दैवीय हस्तक्षेप वाली सट्टेबाजी प्रणाली की बात कर रहा हूँ और कोई भी सट्टेबाजी प्रणाली हाउस एज को प्रभावित नहीं करती। फिर भी, मैं उत्सुक हूँ। इसके अलावा, कभी-कभार बड़ा दांव लगाने से रोमांच बढ़ जाता है और किसी कारण से यह तर्कसंगत लगता है कि अगर आप लगातार हार चुके हैं तो आपको जीत का "हक" मिलना चाहिए।

Steve से Phoenix, AZ

जब आपको अपनी किस्मत का एहसास हो, तो मुझे आपका दांव बढ़ाने में कोई दिक्कत नहीं है। ज़रूरी यह है कि आप अपने पत्ते सही तरीके से खेलें। जब तक आप पत्ते नहीं गिन रहे हों, आपके पास जितना चाहें उतना दांव लगाने की आज़ादी है। जैसा कि मैं हमेशा कहता हूँ, सभी सट्टेबाजी प्रणालियाँ समान रूप से बेकार हैं, इसलिए अपनी पैंट की सीट पर बैठकर खेलना लंबे समय तक फ्लैट दांव लगाने जितना ही अच्छा है। जब मैंने कहा कि लगातार 8 हाथ हारने की संभावना 173 में 1 है, तो मेरा मतलब था कि अगले हाथ से शुरू करते हुए, लगातार 8 हाथ हारने की संभावना 173 में 1 है। एक सत्र में लगातार 8 हार की संभावना, सत्र जितना लंबा होगा, उतनी ही ज़्यादा होगी। मुझे उम्मीद है कि इससे आपके प्रश्न का उत्तर मिल गया होगा।

प्रिय जादूगर, मैं यहाँ वेगास में एक ब्लैकजैक डीलर हूँ और पिछली रात डील करते समय, मेरे हाथ में हुकुम के 6 इक्कों में से 4 इक्के थे। मेरे पास AAKAA-10 था, तो अच्छा लगा कि मैं बस्ट हो गया, लेकिन खेल की त्वरित गणना से पता चला कि एक हुकुम के 6 इक्कों में से 4 इक्के मिलने का मतलब लगभग 7 मिलियन से 1 है। क्या यह संख्या थोड़ी ज़्यादा है?

Jason

ऐसा होने की संभावना, जिसमें आपके बाकी दो पत्ते कोई भी दो 10-अंक वाले पत्ते हों, 4*COMBIN(6,4)*COMBIN(6*16,2)*(4/6)*(3/5)*(1/2)/combin(312,6) है, जो 22,307,231 में 1 है। हालाँकि, एक ही हाथ में चार इक्के पाने के और भी तरीके हैं, उदाहरण के लिए, आखिरी पत्ता 8 या 9 हो सकता है। मुझे बाकी सभी संयोजनों पर विचार करने के लिए एक कंप्यूटर सिमुलेशन करना होगा। हालाँकि, एक मोटा अनुमान लगाने के लिए, मैं कहूँगा कि 7 मिलियन लगभग सही लगता है।

ब्लैकजैक के लिए आपके जैसे ही नियमों के साथ अपना अनंत डेक विश्लेषण करने के बाद (डीलर सभी 17 को बरकरार रखता है, इक्कों को छोड़कर 4 हाथों में पुनः विभाजन की अनुमति है, जो केवल एक बार विभाजित हो सकते हैं, विभाजन के बाद दोगुना हो जाना, इक्कों को विभाजित करने के लिए केवल एक कार्ड निकालना), मुझे आपकी साइट मिली। अपेक्षित मानों की तुलना करते समय, मुझे सभी मामलों में आपके समान संख्याएँ मिलीं, सिवाय जोड़ी विभाजन के, जो थोड़े अलग थे। इसलिए मैं सोच रहा हूँ कि आपने विभाजन के लिए अपेक्षित मानों की गणना कैसे की?

गुमनाम

मुझे स्प्लिटिंग पेयर्स को सही करने में सालों लग गए। गैंबलिंग टूल्स की सिंडी ने बहुत मदद की। पीटर ग्रिफिन ने "द थ्योरी ऑफ़ ब्लैकजैक" के अध्याय 11 में भी इस विषय पर चर्चा की है। मान लीजिए कि मैं डीलर 2 के खिलाफ आठों को विभाजित करने का अपेक्षित मूल्य निर्धारित करना चाहता हूँ। चार हाथों तक पुनः विभाजित करने की अनुमति है। मैंने यह कैसे किया, यह इस प्रकार है।

  1. जूते से एक 2 और दो 8 निकालें।
  2. इस संभावना का निर्धारण करें कि खिलाड़ी को किसी भी हाथ में तीसरा आठ नहीं मिलेगा।
  3. 8 को छोड़कर सभी रैंक देखें, उस कार्ड को डेक से घटाएँ, उस कार्ड और 8 के साथ एक हाथ खेलें, अपेक्षित मान ज्ञात करें, और उसे 2 से गुणा करें। प्रत्येक रैंक के लिए उस रैंक की प्रायिकता ज्ञात करें, यह देखते हुए कि अन्य 8 की प्रायिकता शून्य है। प्रत्येक रैंक पर प्रायिकता और अपेक्षित मान का डॉट गुणनफल निकालें।
  4. इस डॉट उत्पाद को चरण 2 की संभावना से गुणा करें।
  5. इस संभावना का निर्धारण करें कि खिलाड़ी 3 हाथों में पुनः विभाजित होगा।
  6. डेक से एक और 8 निकालें।
  7. चरण 3 को दोहराएँ लेकिन 2 के बजाय 3 से गुणा करें।
  8. चरण 7 के डॉट उत्पाद को चरण 5 की प्रायिकता से गुणा करें।
  9. इस संभावना का निर्धारण करें कि खिलाड़ी 4 हाथों में पुनः विभाजित होगा।
  10. जूते से दो और 8 निकालो।
  11. चरण 3 को दोहराएँ, लेकिन 2 के बजाय 4 से गुणा करें, और इस बार तीसरे कार्ड के रूप में 8 प्राप्त करने पर विचार करें, जो उस स्थिति के अनुरूप हो जहाँ खिलाड़ी को पुनः विभाजन रोकने के लिए मजबूर होना पड़े।
  12. चरण 11 के डॉट उत्पाद को चरण 9 की प्रायिकता से गुणा करें।
  13. चरण 4, 8 और 12 से मान जोड़ें.

इन सबमें सबसे मुश्किल हिस्सा है चरण 3. मेरे पास एक बहुत ही भद्दा सबरूटीन है जो लंबे-लंबे सूत्रों से भरा है जिन्हें मैं प्रायिकता वृक्षों का उपयोग करके निर्धारित करता हूँ। यह तब और भी भद्दा हो जाता है जब डीलर के पास 10 या इक्का होता है।

प्रिय विशेषज्ञ, आप ब्लैकजैक में तीन सेवन, तीन रंगीन सेवन और तीन उपयुक्त सेवन प्राप्त करने की संभावना की गणना कैसे करते हैं?

Geoff

आइए कार्ड के छह डेक मान लें और खिलाड़ी हमेशा तीसरा कार्ड लेता है (चाहे हिट करके या विभाजित करके)। 3 सूट वाले सेवन्स को खींचने के तरीकों की संख्या सूट की संख्या (4) गुणा शू में उस सूट के 6 सेवन्स में से 3 चुनने के तरीकों की संख्या है। दूसरे शब्दों में 4 × कॉम्बिन (6,3) = 4 × 20 = 80। 3 सूट वाले सेवन्स सहित 3 रंगीन सेवन्स को खींचने के तरीकों की संख्या, रंगों की संख्या गुणा उस रंग के शू में 12 सेवन्स में से 3 चुनने के तरीकों की संख्या है, या 2 × कॉम्बिन (12,3) = 2 × 220 = 440। 3 रंगीन और सूट वाले सेवन्स सहित किसी भी 3 सेवन्स को खींचने के तरीकों की संख्या, शू में 24 सेवन्स में से 3 कार्ड्स को चुनने के तरीकों की संख्या है, या कॉम्बिन (24,3) = 2024 312 में से किन्हीं 3 पत्तों के संयोजनों की कुल संख्या combin(312,3)=5013320 है। अतः, 3 उपयुक्त सात पत्तों की प्रायिकता 80/5013320=0.000015957 है। तीन रंगीन, लेकिन उपयुक्त न होने वाले सात पत्तों की प्रायिकता (440-80)/5013320=0.0000718 है। मिश्रित रंगों वाले तीन सात पत्तों की प्रायिकता (2024-440)/5013320=0.00031596 है।

बहुत बढ़िया और शाबाश! सवाल: मैंने आपके 5 मई, 2003 के कॉलम से देखा कि आप वास्तव में अपने ब्लैकजैक ऑड्स की गणना करते हैं। मुझे थोड़ा आश्चर्य हुआ कि आप परिणामों का अनुकरण करने के लिए अपने कंप्यूटर का उपयोग नहीं कर रहे थे। या यह एक बेवकूफी भरा सवाल है, यानी कंप्यूटर को यह काम करने में दस लाख साल लगेंगे?

गुमनाम

हाँ, मैं ब्लैकजैक ऑड्स की गणना एक संयोजन विधि का उपयोग करके करता हूँ, खिलाड़ी और डीलर के कार्ड निकलने के हर संभावित तरीके का विश्लेषण करता हूँ, और हर निर्णय बिंदु पर अधिकतम अपेक्षित मान लेता हूँ। सिमुलेशन की तुलना में इसे प्रोग्राम करना ज़्यादा कठिन है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अधिक सुंदर है और पुनरावर्ती प्रोग्रामिंग में एक अच्छी चुनौती है। हालाँकि, मैं अभी भी सिमुलेशन करने वाले अपने साथियों का सम्मान करता हूँ। आज के कंप्यूटरों के साथ, एक अरब दांव लगाने में ज़्यादा समय नहीं लगता, जो इष्टतम रणनीति रिटर्न के बहुत करीब है।

मैं हाल ही में वेगास गया था और वहाँ ब्लैकजैक का एक अद्भुत खेल खेला... पहला पत्ता इक्का मिला, उसे बाँटा, दूसरा इक्का मिला, बाँटा, तीसरा इक्का मिला, बाँटा, और आखिरी इक्का मिला... फिर चारों हाथों में ब्लैकजैक बाँटा गया! कोई झूठ नहीं! मेरे दो दोस्त गवाह थे, और पूरा लक्सर गेमिंग गॉड भी... इस खेल में क्या अंतर है? यह 6 पत्तों वाला डेक शू था, मैं 4 लोगों के खेल में तीसरी सीट पर बैठा था। मान लीजिए कि फिर से फेरबदल हुआ?

गुमनाम

बहुत कम जगहों पर इक्कों को दोबारा बाँटने की सुविधा होती है, इसलिए खुश रहें कि आप ऐसी जगह खेल रहे थे जहाँ ऐसा होता है। आपकी सीट की स्थिति मायने नहीं रखती। इसकी प्रायिकता यह है कि जूते से निकले पहले चार पत्ते इक्के के हों और अगले चार दहाई के, या (combin(24,4)/combin(312,4))*(combin(96,4)/combin(308,4)) = 4,034,213 में 1।

मैंने अभी-अभी एक दोस्त को नए-नए फेंटे गए सिंगल डेक के पहले हाथ से डीलर के खिलाफ खेलते हुए लगातार चार ब्लैकजैक जीतते देखा। मैंने FAQ देखे और सिंगल डेक में एक ब्लैकजैक जीतने की संभावना देखी, लेकिन मुझे नहीं पता कि लगातार चार ब्लैकजैक जीतने की संभावना की गणना कैसे की जाए। दशमलव प्रायिकता के बजाय, क्या आप मुझे इसकी संभावना बता सकते हैं? यह बहुत बड़ी होगी। आपसे सुनने की उम्मीद है।

गुमनाम

मुझे कम से कम महीने में एक बार इस प्रश्न का एक रूपांतर मिलता है। चलिए अब मान लेते हैं कि गणित को आसान बनाने के लिए हर हाथ के बाद डेक को फेरबदल किया जाता है। यदि किसी चीज के होने की संभावना p है तो लगातार n बार होने की संभावना p n है। एकल डेक गेम में ब्लैकजैक की संभावना 4 * 16 / संयोजन (52,2) = 64/1326 है। इसलिए लगातार चार की संभावना (64/1326) 4 = 16777216 / 3091534492176 = 184270 में 1 है। हालांकि वास्तविक संभावना बहुत कम है, क्योंकि जैसे ही खिलाड़ी को प्रत्येक ब्लैकजैक मिलता है डेक में बचे पत्तों और इक्कों का अनुपात घट जाता है। बिना यह जाने कि डीलर को कौन से पत्ते मिले

सबसे पहले मैं आपको बताना चाहता हूँ कि मैं आपकी वेबसाइट को कितना देखता हूँ और कितना पसंद करता हूँ, और आपके गणित कौशल का कितना प्रशंसक हूँ। मैं ब्लैकजैक खेलने के लिए 6 डेक इस्तेमाल करता हूँ, और 3 जोकर इसलिए जोड़े हैं क्योंकि मैं आपका समय बर्बाद नहीं करूँगा, लेकिन एक खिलाड़ी को एक ही पंक्ति में तीनों जोकर खेलने की संभावना कितनी है? बहुत-बहुत धन्यवाद।

गुमनाम

आपका स्वागत है, आपकी तारीफ़ों के लिए शुक्रिया। छह डेक वाले जूते (और तीन जोकर) से लगातार तीन जोकर मिलने की प्रायिकता 1/combin(315,3) = 5,159,805 में 1 है। दूसरा हल (3/315)*(2/314)*(1/313) है।

माइकल, एक व्यक्ति ने आपसे पूछा था कि अगर ब्लैकजैक में कार्ड नहीं गिने जा रहे हैं, तो कितने डेक इस्तेमाल किए जा रहे हैं, इससे क्या फ़र्क़ पड़ता है। आपने बताया कि फ़र्क़ मुख्यतः मुश्किल हाथों की संख्या पर निर्भर करता है, क्योंकि अगर एक छोटा कार्ड निकलता है, तो उसके बाद एक बड़ा कार्ड आने की संभावना ज़्यादा होती है और इसके विपरीत। ऐसा कैसे हो सकता है? अगर आप गिनती नहीं कर रहे हैं, तो क्या यह एक यादृच्छिक घटना नहीं होगी जिसमें छोटे या बड़े कार्ड के बराबर निकलने की संभावना हो?

गुमनाम

हर सच्चा ब्लैकजैक विशेषज्ञ इस बात से सहमत है कि जैसे-जैसे डेक की संख्या कम होती जाती है, हाउस एज कम होता जाता है, बाकी सभी नियम समान रहते हैं। हालाँकि, यह समझाना मुश्किल है कि ऐसा क्यों है। सबसे पहले, यह सच है कि आपको मल्टीपल डेक की तुलना में सिंगल डेक में एक छोटा और एक बड़ा कार्ड मिलने की संभावना ज़्यादा होती है। उदाहरण के लिए, अगर हम छोटे कार्ड को 2 से 6 तक के रूप में परिभाषित करते हैं, और बड़े कार्ड को किसी भी 10-पॉइंट कार्ड या इक्के के रूप में, तो सिंगल डेक में प्रत्येक कार्ड के एक होने की संभावना 2*(20/52)*(20/51) = 30.17% है। 8 डेक में संभावना 2*(160/416)*(160/415) = 29.66% है। हालाँकि स्टिफ दोनों तरफ कट कर सकते हैं, खिलाड़ी के पास खड़े रहने की स्वतंत्र इच्छा होती है, लेकिन डीलर को हमेशा उन्हें हिट करना होता है।

एकल डेक गेम में तीनों खिलाड़ियों और डीलर को शफल के बाद पहले राउंड में ब्लैकजैक मिलने की क्या संभावना है?

गुमनाम

निम्नलिखित संभावनाएं हैं:

खिलाड़ी 1 0.048265
खिलाड़ी 2 0.036735
खिलाड़ी 3 0.024823
डीलर 0.012560

यह उत्पाद 1,808,986 में से 1 है।

मिस्टर विज़ार्ड, बहुत बढ़िया साइट है। इसमें बहुत सारी उपयोगी और रोचक जानकारी है। मैं खेलों के पीछे के गणित और सिमुलेशन के संभावित स्रोतों (सोर्स कोड, किताबें, आदि) के बारे में और जानना चाहूँगा। आप किसी ऐसे व्यक्ति को, जो आपके "ब्लैकजैक हाउस एज कैलकुलेटर" जैसा कुछ लिखना चाहता है, ज़्यादा जानकारी के लिए कहाँ जाने का सुझाव देंगे? आपकी प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद।

गुमनाम

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। मुझे डर है कि मुझे, खुद मेरे अलावा, कोई ऐसा स्रोत नहीं पता जो गेम विश्लेषण के लिए कोड दिखाता हो। मुझे अपने ब्लैकजैक इंजन को पूरी तरह से काम करने में सालों लग गए (जब डीलर के पास 10 या इक्का दिख रहा हो, तब स्प्लिट करना बहुत मुश्किल था)। ब्लैकजैक के लिए हाउस एज पाने का एक आसान तरीका एक रैंडम सिमुलेशन लिखना है। मैं किसी दिन इस बारे में एक किताब लिखना चाहूँगा कि मैंने खेलों का विश्लेषण कैसे किया, लेकिन मुझे डर है कि सिर्फ़ आप ही इसे खरीदेंगे।

एन डेक के लिए ब्लैकजैक की संभावना क्या है?

गुमनाम

2*(4/13)*(4एन/(52एन-1))

मैं एक ब्लैकजैक डीलर हूँ और कल रात मैंने एक सिंगल-डेक ब्लैकजैक गेम (भयानक 6 से 5) में अपनी टेबल को चौंका दिया। मेरे हाथ में एक इक्का ऊपर था, इक्का होल में था और फिर मैंने बाकी दो इक्के निकाले और फिर 7 से 21! ऐसा होने की क्या संभावना है और मुझे गणित जानने में खास दिलचस्पी है। शुक्रिया!

गुमनाम

संभावना है (4/52)*(3/51)*(2/50)*(1/49)*(4/48) = 3,248,700 में 1.

ब्लैकजैक में, डीलर द्वारा आठ पत्ते खींचकर स्टॉपिंग हैंड (17-21) बनाने की प्रायिकता क्या है? मेरे एक दोस्त के साथ ऐसा ऑनलाइन हुआ था और मुझे लगता है कि यह बहुत ही दुर्लभ घटना है। सात पत्ते कैसे होंगे? इस बेहतरीन साइट के लिए धन्यवाद और इसी तरह शानदार काम करते रहें!

गुमनाम

प्रशंसा के लिए धन्यवाद।

मान लीजिए कि यह छह-डेक का खेल है, जहां डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, और खिलाड़ी बुनियादी रणनीति खेलता है, तो यहां 100 मिलियन हैंड सिमुलेशन के आधार पर गोल परिणाम दिए गए हैं।

खिलाड़ी के हाथ की संभावनाएं

आयोजन संभावना
डीलर के पास केवल ब्लैकजैक है 22 में से 1
खिलाड़ी डबल या स्प्लिट करता है 7.7 में 1
2 कार्ड 2.3 में 1
3 कार्ड 3.8 में 1
4 कार्ड 10 में से 1
5 कार्ड 50 में से 1
6 कार्ड 400 में 1
7 कार्ड 4,600 में 1
8 कार्ड 79,000 में 1
9 कार्ड 2,200,000 में 1
10 कार्ड 100,000,000 में 1

डीलर के हाथ की संभावनाएं

आयोजन संभावना
खिलाड़ी के पास केवल ब्लैकजैक है 22 में से 1
2 कार्ड 3.0 में 1
3 कार्ड 2.4 में 1
4 कार्ड 6.1 में 1
5 कार्ड 31 में 1
6 कार्ड 270 में 1
7 कार्ड 3,700 में 1
8 कार्ड 79,000 में 1
9 कार्ड 2,200,000 में 1
10 कार्ड 100,000,000 में 1

अगर कोई ब्लैकजैक में ऐसी मार्टिंगेल प्रणाली अपनाता है, तो उसके प्रतिदिन $200 जीतने या पूरे $5,000 हारने की क्या संभावना है? और क्या कुल दांव लगाने की राशि बढ़ाने से $200 जीतने की संभावना बढ़ जाती है?

गुमनाम

अगर आपके पास कोई ऐसा गेम है जिसमें कोई हाउस एज नहीं है, तो किसी भी सिस्टम का इस्तेमाल करके, $5000 के जोखिम के साथ $200 जीतने की संभावना 5000/(5000+200) = 96.15% होगी। b के बैंकरोल के साथ w जीतने का सामान्य सूत्र b/(b+w) है। इसलिए, बैंकरोल जितना बड़ा होगा, आपकी संभावना उतनी ही बेहतर होगी। हाउस एज सफलता की संभावना को उस सीमा तक कम कर देगा जिसका आकलन करना मुश्किल है। ब्लैकजैक जैसे कम हाउस एज वाले गेम में, सफलता की संभावना में कमी कम होगी। यह निश्चित रूप से जानने के लिए एक यादृच्छिक सिमुलेशन की आवश्यकता होगी। अगर मैं इसके बारे में ज़्यादा नहीं सोचता तो मुझे माफ़ करना। VegasClick ने मार्टिंगेल के साथ सफलता की संभावना के बारे में एक छोटा सा सिमुलेशन किया था।

ब्लैकजैक में रॉयल मैच साइड बेट के आपके विश्लेषण को पढ़ते हुए, क्या मैं सही कह रहा हूँ कि आपके ऑड्स शू के पहले हाथ के लिए हैं? अगर ऐसा है, तो क्या एक आसान मैच की वास्तविक दुनिया की ऑड्स खिलाड़ी के पक्ष में थोड़ी ज़्यादा नहीं झुकेंगी? मुझे लगता है कि अगर सूट किसी भी दिशा में असंतुलित हो जाते हैं, तो इससे हाउस एज थोड़ा कम हो जाएगा, और शू में सूट निश्चित रूप से उतार-चढ़ाव करेंगे।

Frank से Michigan

यह सच नहीं है। खिलाड़ी के पक्ष में ऑड्स को बदलने के लिए शेष डेक को एक निश्चित डिग्री से अधिक तिरछापन प्रदर्शित करने की आवश्यकता है। एक काल्पनिक पक्ष पर विचार करें जो एक-डेक गेम में किसी भी सूट वाली जोड़ी के लिए 3 से 1 का भुगतान करता है। डेक के शीर्ष पर जीतने की संभावना 4 * कॉम्बिन (13,2) / कॉम्बिन (52,2) = 23.53% है। हालांकि यदि आप अलग-अलग सूट के दो कार्ड जलाते हैं तो जीतने की संभावना 2 * (कॉम्बिन (13,2) + कॉम्बिन (12,2)) / कॉम्बिन (50,2) = 23.51% तक कम हो जाती है। यदि आप एक ही सूट के दो कार्ड जलाते हैं तो जीतने की संभावना (3 * कॉम्बिन (13,2) + कॉम्बिन (11,2)) / कॉम्बिन (52,2) = 23.59% तक बढ़ जाती है। यदि प्रत्येक रैंक का एक पत्ता हटा दिया जाए, तो जीतने की संभावना 4*कॉम्बिन(12,2)/कॉम्बिन(48,2) = 23.40% हो जाएगी। यह सब दर्शाता है कि यदि पत्तों को एक समान वितरण पर हटाया जाए, तो जीतने की संभावना कम हो जाती है, जबकि बहुत विषम वितरण पर संभावनाएँ बढ़ जाती हैं। जैसे-जैसे डेक नीचे खेला जाता है, कभी आपकी संभावनाएँ बेहतर होती जाती हैं, और कभी बदतर, लेकिन लंबे समय में वे औसत हो जाती हैं और जीतने की संभावना 23.53% पर बनी रहती है।

मैं 27 सालों से डीलर हूँ और मैंने बहुत कुछ देखा है। मेरे पसंदीदा लोगों में से एक वो था जो ब्लैकजैक खेलते हुए अपने पत्तों को कभी नहीं देखता था... बस उन्हें अपने अंदर डाल लेता था। मुझे लगता था कि वो पागल ज़रूर है, लेकिन कभी वो जीतता था तो कभी हारता था। ज़्यादातर लोगों की तरह। मैंने खुद एक मुफ़्त जुआ वेबसाइट पर ये कोशिश की और 20 मिनट के सत्रों में तीन में से दो बार जुआ खेला। मेरा सवाल ये है: बेसिक स्ट्रैटेजी खेलने की कोशिश करने से आप इसे कितना नुकसानदेह मानते हैं? मुझे सच में नहीं लगता कि एक 'औसत' खिलाड़ी के लिए ब्लैकजैक में आप क्या करते हैं, ये कोई खास मायने रखता है।

Mark से Las Vegas

सामान्य वेगास नियमों (6-डेक, डीलर सॉफ्ट 17 हिट करता है) के तहत, हमेशा खड़े रहने पर हाउस एज 15.7% होता है। अल्पावधि में तो आप इसे पार कर सकते हैं, लेकिन दीर्घावधि में आप बुरी तरह हार जाएँगे।

आज क्रिप्टोलॉजिक ब्लैकजैक खेलते हुए मैंने बहुत सारा पैसा गँवा दिया। हालाँकि मुझे नहीं लगता कि कुछ भी तय है, मेरे खेल का एक पहलू संभावना की सीमा से बाहर लग रहा था। 35 हाथों में, डीलर ने सात बार 6 दिखाया और हर बार जीत हासिल की। लॉग्स के ज़रिए इसकी पुष्टि हुई। अगर डीलर के 6 आने पर बस्ट होने की संभावना 56% है, तो मेरी गणना के अनुसार इस स्वतंत्र घटना के लगातार छह बार होने की संभावना 0.23% है।

Adam से Toronto

क्रिप्टोलॉजिक में 8 डेक का इस्तेमाल होता है और डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा होता है। मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 2 के अनुसार, डीलर के 6 अप के साथ बस्ट होने की संभावना 0.422922 है। इसलिए, बस्ट न होने की संभावना 1 - 0.422922 = 0.577078 है। 7 में से 7 बार बस्ट न होने की संभावना (0.577078) 7 = 2.13% है।

सबसे पहले, अगर आपको यह एक साधारण गणित का सवाल लग रहा है तो माफ़ी चाहता हूँ। मैं उत्तरी ओंटारियो के एक कसीनो में डीलर हूँ, और कल रात (डीलर के लिए) 12 पत्तों वाला 17 (AAAAAA-6-AAAAAA) निकला। हम छह डेक इस्तेमाल करते हैं। न तो मेरे खिलाड़ी ने और न ही मैंने ऐसा पहले कभी देखा था। इसकी संभावना क्या है?

Timothy Rowland से Orilila

वाह! इसकी प्रायिकता है (combin(24,6)/combin(312,6)) * (24/306) * (combin(18,5)/combin(305,5)) = 287,209,346,813,617 में 1.

मैं एक स्थानीय कसीनो में पिट सुपरवाइज़र हूँ और हाल ही में एक डीलर ने दो खिलाड़ियों को चिड़ी के दो-दो सात पत्ते बाँटे और पाँच-डेक के जूते में से आखिरी सात पत्ते खुद को अपना अपकार्ड बना दिया। पाँच-डेक के जूते में से क्रम से एक ही पत्ते के पाँच पत्ते निकलने की क्या संभावना है?

Jesse से Scottsdale

वह संभावना 52/ combin (260,5) = 5/9525431552 = 1,905,086,310 में 1 होगी।

मानक बी.जे. नियमों और सही बुनियादी रणनीति के अनुसार, मुझे अपने डबल डाउन हाथों में से कितने प्रतिशत में जीत, धक्का और हार की उम्मीद करनी चाहिए?

Cameron से Melbourne, Australia

उदार वेगास स्ट्रिप नियमों (छह डेक, डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, विभाजन के बाद डबल की अनुमति है, देर से आत्मसमर्पण की अनुमति है, इक्के को फिर से विभाजित करने की अनुमति है) को मानते हुए, शुरुआती दो कार्डों को दोगुना करने पर प्रत्येक संभावित परिणाम की संभावनाएँ निम्नलिखित हैं। इसमें विभाजन के बाद डबलिंग शामिल नहीं है।

  • जीत: 54.99%
  • हानि: 38.06%
  • ड्रा: 6.95%

    • मैंने वर्षों से बहुत सारा ब्लैकजैक खेला है, लेकिन सप्ताहांत में मैंने जो स्थिति अनुभव की, वैसी कभी नहीं देखी। $25 प्रति हाथ खेलते हुए, मैंने बिना किसी पुश के लगातार 19 हाथ गंवाए। एक हाथ डबल डाउन था, इसलिए प्रभावी रूप से मैंने लगातार 20 x $25 दांव हारे। मैं न्यूजीलैंड की परिस्थितियों के लिए सख्त बेसिक स्ट्रैटेजी खेल रहा था (गिनती नहीं, CSM उपयोग में था)। क्या आपने कभी ऐसी डरावनी लकीर के बारे में सुना है? जब आसमान टूटा, तब मैं लगभग $300 से आगे था, लेकिन रणनीति पर कायम रहा और अंततः सत्र को $200 आगे और बहुत राहत के साथ समाप्त किया। मेरी गणना के अनुसार, 19 लगातार हारने की संभावना लगभग 207,000 में 1 संभावना के रूप में है; आप मुझे इस पर सही कर सकते हैं। मैं एक सट्टेबाजी प्रगति प्रणाली के अनुसार खेलता हूं, विशुद्ध रूप से अनुशासन/धन प्रबंधन उद्देश्यों के लिए,

    Ken से Auckland, New Zealand

    मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 4 से हम प्रत्येक प्रारंभिक हाथ के लिए निम्नलिखित संभावनाएं देखते हैं।

    • 42.43% जीत
    • 49.09% की हानि
    • ड्रा 8.48%

    तो लगातार 19 बार हारने की संभावना 0.4909^19*(1-0.4909) = 1,459,921 में 1 है। तुलना के लिए, वीडियो पोकर में रॉयल फ्लश मिलने की संभावना 649,740 में 1 है, यानी 2.25 गुना। वीडियो पोकर के शौकीन खिलाड़ियों को कई बार रॉयल फ्लश मिलने की संभावना देखी गई है, इसलिए अगर आप बहुत ज़्यादा ब्लैकजैक खेलते हैं, तो आपको भी अंततः ऐसी ही हार का सामना करना पड़ेगा।

    मैं तो बिल्कुल हैरान हूँ! अगर 8-डेक या लगातार शफल वाले ब्लैकजैक गेम में किसी भी समय कार्ड आने की संभावनाओं में कोई अंतर नहीं है, तो आपने ब्लैकजैक परिशिष्ट #18 क्यों पोस्ट किया है? अगर संभावनाओं में 16 बनाम 7 या उससे ज़्यादा पर हिट होने की बात कही गई है, तो 2 की बजाय 5 या 6 कार्ड होने पर संभावनाएँ कैसे बदल सकती हैं? 16 तो 16 ही रहता है, चाहे आप इसे कैसे भी बनाएँ, है ना? अगर डेक छोटा हो रहा हो या स्पैनिश 21 जैसे गेम में जहाँ 5 या उससे ज़्यादा कार्ड होने पर 21 पर बोनस मिलता है, तो मुझे बदलाव दिखाई देता है, लेकिन 8-डेक या लगातार शफल वाले गेम में ऐसा क्यों?

    Ernie से Toledo

    जैसा कि परिशिष्ट 18 में दिखाया गया है, आपके हाथ में मौजूद पत्तों की संख्या के अनुसार रणनीति बदलने का कारण यह है कि डेक से निकलने वाला हर पत्ता, खेले जाने वाले हर पत्ते की संभावनाओं को बदल देता है। इसका एक अच्छा उदाहरण सिंगल-डेक की बुनियादी रणनीति है जिसमें 10 के सामने 7,7 का समर्पण करने को कहा जाता है; लेकिन बाकी 14 के लिए आपको हिट करना चाहिए। आपको समर्पण इसलिए करना चाहिए क्योंकि डेक से आधे सेव पहले ही हटा दिए गए हैं। आपको 21 बनाने के लिए एक और सात की ज़रूरत है, यही एकमात्र हाथ है जो डीलर के 20 को हरा सकता है। इसलिए सेव की कमी हिट होने के अपेक्षित मूल्य को आधे दांव से कम कर देती है, जिससे समर्पण करना बेहतर विकल्प बन जाता है।

    आठ-डेक वाले जूते में 416 पत्ते होते हैं। यह संख्या बहुत ज़्यादा लग सकती है, लेकिन 10 के मुकाबले 16 का हाथ इतना सीमांत होता है कि सिर्फ़ एक पत्ता हटाने से खड़े रहना बेहतर हो सकता है। नियम यह है कि आठ या उससे कम डेक के लिए, अगर आपके 16 में तीन या उससे ज़्यादा पत्ते हैं, और डीलर के पास 10 है, तो आपको खड़े रहना चाहिए। दो-पत्तों वाले 16 में प्रति पत्ते औसत अंक 8 होते हैं, जबकि 3-पत्तों वाले 16 में औसत अंक 5.33 होते हैं। 3-पत्तों वाले हाथ में डेक से ज़्यादा छोटे पत्ते निकलने पर, बचा हुआ डेक ज़्यादा बड़े पत्तों वाला हो जाता है, जिससे हिट करना ज़्यादा ख़तरनाक हो जाता है, और खड़े रहने के पक्ष में संभावनाएँ बढ़ जाती हैं।

    नमस्ते जादूगर। इस वेबसाइट को बनाए रखने के लिए धन्यवाद! डच कैसिनो में लागू ब्लैकजैक के एक नियम के बारे में मेरा एक प्रश्न है: जब आपको सात का एक जोड़ा दिया जाता है, तो तीसरा सात आपको अपनी बाज़ी पर 2:1 का अनुपात देगा, चाहे आप जीतें या नहीं। हालाँकि, यह केवल तभी लागू होता है जब सात विभाजित न हुए हों। मुझे पता है कि बुनियादी रणनीति में डीलर के 6 कार्ड होते हैं जो सात को विभाजित करने की अनुमति देते हैं और 7 ऐसे होते हैं जो विभाजित नहीं करते हैं, इसलिए इस विशेष स्थिति में खिलाड़ी को बढ़त मिलनी चाहिए। लेकिन ब्लैकजैक में 3 सात मिलने की संभावना क्या है? और अगर 3 सात मिलते हैं, तो 4 से 6 डेक के आधार पर, डीलर सॉफ्ट 17 बुनियादी रणनीति चार्ट पर 2:1 भुगतान नियम के लिए योग्य होने की क्या संभावना है? आशा है आप मेरे लिए इसका उत्तर समझ पाएँगे। अच्छा काम करते रहें!

    Stan से The Netherlands, Europe

    मैं दिखाता हूँ कि यह नियम खिलाड़ी के लिए 0.026% के बराबर है। डीलर के 2-7 के मुकाबले 7,7 हिट करने के प्रोत्साहन के बावजूद, खिलाड़ी को बुनियादी रणनीति और स्प्लिट का पालन करना चाहिए।

    मेरा एक दोस्त है जो अपना पहला पत्ता छह आने पर ही शिकायत करना शुरू कर देता है, बिना यह देखे कि उसका दूसरा पत्ता और डीलर का ऊपरी पत्ता क्या है। मुझे लगता है उसे इंतज़ार करना चाहिए क्योंकि उसे दो, तीन, चार, पाँच वगैरह मिल सकते हैं (यानी, एक अच्छा दूसरा पत्ता) या डीलर दो से छह तक का पत्ता दिखा सकता है (टेबल के लिए एक अच्छा पत्ता)। आप क्या सोचते हैं? दूसरे पत्ते या डीलर के ऊपरी पत्ते को जाने बिना छह वाले पहले पत्ते से उसके जीतने की संभावना कितनी कम है? या मेरा दोस्त बस शिकायत कर रहा है? आपके समय के लिए धन्यवाद।

    Scott से Long Beach

    मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 14 से पता चलता है कि अगर आपका पहला पत्ता छह है, तो आपका अपेक्षित मूल्य पहले से ही लगभग -21% है। उदाहरण के लिए, अगर उसने $100 का दांव लगाया है, तो हाथ और दांव बेचने का उचित मूल्य लगभग $79 होगा। हो सकता है कि आप उसकी शिकायत का फायदा उठाकर उसके हाथ को डॉलर पर उचित 79 सेंट से कम में खरीदने की पेशकश करें। मैं आपको ज़्यादा फ़ायदा उठाए बिना, बढ़त दिलाने के लिए डॉलर पर 75 सेंट का सुझाव दूँगा।

    बैली गेमिंग एक सिंगल-डेक, मल्टी-हैंड ब्लैकजैक गेम है। खिलाड़ी डीलर के एक हाथ के विरुद्ध सात हाथ खेलता है। इसमें एक दिलचस्प नियम है कि अगर खेल में कार्ड खत्म हो जाते हैं, तो सभी अनबस्टेड खिलाड़ियों के हाथ स्वतः ही जीत जाते हैं। कार्ड खत्म होने की संभावना क्या है? क्या आप डेक खत्म करने के लिए कोई रणनीति में बदलाव सुझा सकते हैं?

    Michael L. से West Mifflin, PA

    अन्य पाठकों के लाभ के लिए, नियमों का पूरा सेट इस प्रकार है:

    • एकल डेक.
    • डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है।
    • ब्लैकजैक जीतने पर भी पैसा मिलता है।
    • खिलाड़ी किसी भी पहले दो कार्ड को दोगुना कर सकता है।
    • विभाजन के बाद कोई दोहरा नहीं।
    • खिलाड़ी इक्के सहित चार हाथों में पुनः विभाजित कर सकता है।
    • इक्के को विभाजित करने के लिए कोई ड्रा नहीं।
    • कोई आत्मसमर्पण नहीं।
    • छह-कार्ड चार्ली (छह कार्ड अनबस्टेड खिलाड़ी स्वचालित रूप से जीत जाता है)।
    • हर हाथ के बाद कार्डों को फेरबदल किया जाता है।
    • यदि खेल में कार्ड समाप्त हो जाते हैं, तो सभी अनबस्टेड खिलाड़ी स्वचालित रूप से जीत जाते हैं।

    कुल-निर्भर बुनियादी रणनीति का उपयोग करते हुए हाउस एज 2.13% है। मैंने कुल-निर्भर बुनियादी रणनीति का उपयोग करते हुए 7-खिलाड़ियों का एक सिमुलेशन चलाया, और प्रति राउंड इस्तेमाल किए गए कार्डों की औसत संख्या 21.65 थी, जिसका मानक विचलन 2.72 था। लगभग 19 करोड़ राउंड खेले गए, जिनमें से अब तक इस्तेमाल किए गए कार्डों की संख्या सबसे ज़्यादा 42 थी, जो 7 बार हुआ।

    मेरा मानना है कि कंप्यूटर पर परफेक्ट कंपोजिशन-डिपेंडेंट स्ट्रैटेजी के साथ भी, खिलाड़ी असल में आखिरी कार्ड कभी नहीं देख पाएगा। कंपोजिशन-डिपेंडेंट स्ट्रैटेजी का इस्तेमाल करके, आप आगे बढ़ते हुए देखे गए सभी कार्डों के हिसाब से हाउस एज को और भी कम कर सकते हैं। हालाँकि, शुरुआत में 2.13% हाउस एज को दरकिनार करते हुए, आप कितनी भी कोशिश कर लें, कभी भी ब्रेक-ईवन के करीब नहीं पहुँच पाएँगे।

    हाल ही में, टस्कनी कैसीनो ने एक प्रमोशन चलाया था जिसमें अगर आप 30 दिनों की अवधि में 30 ब्लैकजैक जीतते हैं, तो आपको $100 का बोनस मिलेगा। शुरुआत में, कार्ड पर स्टैम्प लगवाने के लिए न्यूनतम दांव $5 था। हालाँकि, बाद में मुझे पता चला कि स्टैम्प लगवाने की न्यूनतम राशि बढ़ाकर $15 कर दी गई है। मैंने कैसीनो मैनेजर को इस बारे में एक शिकायती पत्र लिखा, जिसमें कुछ अंश इस प्रकार थे:

    मैं बस इस बदलाव पर अपनी निराशा व्यक्त करना चाहता था, अगर यह सच है। मुझे इस प्रमोशन का लाभ उठाने का कभी मौका नहीं मिला और मुझे शक है कि अब भी मैं ऐसा कर पाऊँगा। 30 ब्लैकजैक (मुझे बताया गया है कि लगभग 8 घंटे लगातार खेलना पड़ता है) प्राप्त करने के लिए आवश्यक समय $15 प्रति हाथ अनुचित लगता है, जबकि प्रमोशन अभी भी केवल $100 ही प्रदान करता है।

    मुझे जो उत्तर मिला वह इस प्रकार है:

    ब्लैकजैक ब्लैकआउट प्रमोशन पर आपके ईमेल के जवाब में, मुझे समझ नहीं आ रहा कि आपको ब्लैकआउट कार्ड पूरा करने में कितना समय लगता है, यह जानकारी कहाँ से मिली। हमने खिलाड़ियों को चार घंटे से भी कम समय में कार्ड पूरा करते देखा है। इसके अलावा, आपके पास कार्ड पूरा करने के लिए तीस दिन हैं। मुझे उम्मीद है कि आप समझ गए होंगे कि इतने समय में यह कोई असंभव काम नहीं है। आपके पत्र के लिए धन्यवाद। हमारे ग्राहकों की प्रतिक्रिया जानकर अच्छा लगा। उम्मीद है कि आप इसे आज़माएँगे और कुछ पैसे जीतेंगे!

    चार घंटे में 30 ब्लैकजैक मिलने की संभावना क्या है?

    nyuhoosier

    मेरे खेल तुलना के अनुसार, ब्लैकजैक खिलाड़ी प्रति घंटे लगभग 70 हाथ खेलते हैं। छह-डेक वाले खेल में ब्लैकजैक की संभावना 24*96/combin(312,2)=4.75% है। मेरा मानना है कि ब्लैकजैक बराबर होने पर भी स्टैम्प मिलता है। इसलिए कार्ड भरने में लगभग 30/0.0475=632 हाथ, यानी 9.02 घंटे लगने चाहिए।

    280 हाथ मानकर, 4 घंटे में कार्ड भरने की संभावना एक बार में एक हाथ खेलने पर 30,000 में से 1 है। मुझे शक है कि चार घंटे में यह लक्ष्य हासिल करने वाला कोई भी खिलाड़ी एक बार में कम से कम दो हाथ खेल रहा होगा।

    यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

    हाल ही में वेगास की यात्रा के दौरान मैंने डीलर को 9-कार्ड 21 लेते देखा। नियम छह डेक के थे और डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा था। इसकी संभावना क्या है?

    aceofspades

    इन नियमों के तहत डीलर को ठीक 9-कार्ड 21 मिलने की संभावना 32,178,035 में 1 है। यहाँ विभिन्न डेक संख्याओं और डीलर के सॉफ्ट 17 पर हिट होने या न होने की संभावना दी गई है।

    डीलर 9-कार्ड 21 की संभावना

    डेक्स स्टैंड सॉफ्ट 17 हिट सॉफ्ट 17
    1 278,315,855 में 1 214,136,889 में 1
    2 67,291,581 में 1 41,838,903 में 1
    4 38,218,703 में 1 22,756,701 में 1
    6 32,178,035 में 1 18,980,158 में 1
    8 29,749,421 में 1 17,394,420 में 1

    यह मानते हुए कि छः डेक हैं और डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, यहां कार्डों की कुल संख्या के अनुसार डीलर को 21 (या दो कार्डों के मामले में ब्लैकजैक) मिलने की संभावना है।

    डीलर की संभावना 21/BJ
    कार्डों की संख्या के अनुसार

    कार्ड संभावना
    2 21 में 1
    3 19 में 1
    4 56 में से 1
    5 323 में 1
    6 3,034 में 1
    7 42,947 में 1
    8 929,766 में 1
    9 32,178,035 में 1
    10 1,986,902,340 में 1
    11 270,757,634,011 में 1
    12 167,538,705,629,468 में 1

    ऐसा नहीं है कि आपने पूछा था, लेकिन अगली तालिका कार्डों की संख्या के आधार पर समान नियमों के तहत डीलर द्वारा कोई भी नॉन-बस्टेड हाथ बनाने की संभावना को दर्शाती है।

    डीलर की संभावना 17-21/BJ
    कार्डों की संख्या के अनुसार

    कार्ड संभावना
    2 3 में से 1
    3 4 में से 1
    4 12 में से 1
    5 67 में 1
    6 622 में 1
    7 8,835 में 1
    8 193,508 में 1
    9 6,782,912 में 1
    10 424,460,108 में 1
    11 58,597,858,717 में 1
    12 36,553,902,750,535 में 1


    इस प्रश्न पर अधिक चर्चा के लिए कृपया मेरे फोरम विज़ार्ड ऑफ़ वेगास पर जाएँ।

    रिसॉर्ट्स वर्ल्ड में, ब्लैकजैक में "सम धन" की अनुमति है, जिसमें जीतने वाले ब्लैकजैक पर 6 से 5 तक का भुगतान करने वाली टेबल भी शामिल हैं। इससे हाउस एज कितना कम हो जाता है?

    Jay

    अपने उत्तर के लिए, मैं छः डेक कार्ड मानूंगा।

    अगर डीलर जीतने वाले ब्लैकजैक पर केवल 6 से 5 का भुगतान करता है, तो आमतौर पर "सम धन" की अनुमति नहीं होती है। हालाँकि, मैं आपकी बात पर यकीन करूँगा कि रिसॉर्ट्स वर्ल्ड में यह सुविधा उपलब्ध है।

    6 से 5 की जीत पर, एक खिलाड़ी को इक्के के खिलाफ ब्लैकजैक में दांव की राशि का 83% मिलता है। इसलिए, 100% जीतना एक बड़ी बात है। यह स्थिति 0.352% संभावना के साथ घटित होगी। कुल मिलाकर, खिलाड़ी के लिए इसका मूल्य 0.00352 × (1 - 0.83) = 0.0006 है। दूसरे शब्दों में, यह हाउस एज को 0.06% कम कर देता है।

    मैं अपने पाठकों को याद दिलाना चाहता हूँ कि अगर ब्लैकजैक में 3 से 2 का भुगतान होता है, तो खिलाड़ी को इसे अस्वीकार कर देना चाहिए। ऐसे में, इक्के के खिलाफ ब्लैकजैक का मूल्य दांव की राशि का 1.037 गुना होता है, इसलिए केवल एक यूनिट स्वीकार करना एक गलत निर्णय होगा।