जादूगर से पूछो #84

इस समस्या के लिए हम द्विपद वितरण के सामान्य सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं। सिरों की संख्या का प्रसरण 1000*(1/2)*(1/2)=250 है। अतः मानक विचलन 250 ^1/2 =15.8114 है। 548 से कम सिरों की प्रायिकता normdist((548+0.5-500)/15.8114) = 0.998920 है, जहाँ normdist, माध्य 0 और मानक विचलन 1 वाले सामान्य वितरण वाले किसी यादृच्छिक चर के दिए गए Z स्कोर के अंतर्गत आने की प्रायिकता के लिए Excel फ़ंक्शन है। इसके बाद हम 452 से कम सिरों की प्रायिकता घटाते हैं। यह normdist((452-0.5-500)/15.8114) = 0.001080 है। अतः उत्तर 0.99892-0.00108 = 0.997840 है। फिर से, यह एक अनुमान है। वास्तविक उत्तर 0.997856 है, लेकिन इसे निकालना ज़्यादा कठिन है। औसतन, क्रेप्स में एक बिंदु स्थापित करने के बाद खिलाड़ी कितनी बार बिंदु बनाएगा?

यह देखते हुए कि 5/12 बार एक बिंदु बनाया गया था, वह 6 या 8 होगा, 4/12 बार 5 या 9 होगा, और 3/12 बार 4 या 10 होगा। 6 या 8 बनने की प्रायिकता 5/11 है, 5 या 9 बनने की प्रायिकता 4/10 है, और 4 या 10 बनने की प्रायिकता 3/9 है। इसलिए, यह देखते हुए कि एक बिंदु स्थापित किया गया था, एक बिंदु बनने की प्रायिकता है: (5/12)*(5/11)+(4/12)*(4/10)+(3/12)*(3/9) = 40.61%।

गणित बहुत आसान है। रॉयल फ्लश की संभावना 649740 में 1 है। इसलिए जैकपॉट को दोबारा जोड़ने का खर्च $10,000*(1/649740) = 1.54% है। हर एक डॉलर के दांव पर आप 40% लाभ और जैकपॉट को दोबारा जोड़ने के लिए रखते हैं। 40%-1.54% = 38.46% लाभ/हाउस एज। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप छोटे जैकपॉट पर कितना भुगतान करते हैं या अधिकतम जीत होती है। अंततः मीटर को मिलने वाला 60% किसी न किसी तरह खिलाड़ियों को ही जाता है, आपको इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसे कैसे बांटा जाता है।

जो लोग नियमों से परिचित नहीं हैं, उनके लिए पाँच अप कार्ड हैं। तो सवाल यह है कि क्या संभावना है कि एक ही डेक से बिना प्रतिस्थापन के बांटे गए 5 पत्तों में से कम से कम तीन एक ही सूट के होंगे। 52 में से 5 पत्ते बांटने के लिए combin(52,5)=2598960 तरीके हैं। एक ही सूट के 4 पत्ते बांटने के तरीकों की संख्या 4*combin(13,5)=1144 है। एक सूट के 4 पत्ते बांटने के तरीकों की संख्या 4*combin(13,4)*39=111540 है। एक सूट के 3 पत्ते बांटने के तरीकों की संख्या 4*combin(13,3)*combin(39,2)=847704 है। तो कुल संयोजन 960388 हैं और संभावना 36.95% है।

अच्छा सवाल है। आइए इसे $100 के दांव के बजाय इकाइयों में सोचें। आप हमेशा पास या कम पर दांव लगाएँगे। किसी भी दिए गए रोल पर 4 पर पुराने पास या कम दांव की संभावना 3/9 है। यह संभावना है कि पुराने रोल को देखने पर आपको 7 से पहले 4 मिलेगा। इसी तरह 5 पर दांव लगाने की संभावना 4/10 और 6 पर 5/11 है। तो औसत समग्र दांव 1+pr(4)+pr(5)+pr(6)+pr(8)+pr(9)+pr(10) = 1+3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3.3758 इकाइयाँ हैं। यह औसत शुरुआत में सही नहीं होगा, जब आप खेल में प्रवेश कर रहे होंगे। यह केवल तभी लागू होगा जब सभी अंक संख्याएँ और 7 कम से कम एक बार पहले ही आ चुके हों।

आपके नंबर के ठीक x बार हिट होने की प्रायिकता combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x है। निम्न तालिका 0 से 6 तक सभी हिट की संख्या और कुल की प्रायिकता दर्शाती है।

तो जवाब है 0.00000177564555, या 563175 में 1। मुझे उम्मीद है कि यह किसी इंटरनेट कैसीनो में नहीं हुआ होगा।

आप सोच रहे होंगे कि मैंने ऊपर दिए गए सिक्के उछालने के सवाल में सामान्य सन्निकटन का इस्तेमाल क्यों नहीं किया। ऐसा इसलिए क्योंकि यह बहुत ज़्यादा और बहुत कम संभावनाओं के साथ ठीक से काम नहीं करता।