जादूगर से पूछो #83

यह प्रश्न मेरे न्यूज़लेटर में दी गई सलाह से संबंधित है, जिसमें मैंने सुझाव दिया था कि वीडियो पोकर खिलाड़ी प्लेटेक कैसीनो में बोनस के लिए खेलते समय डबल अप विकल्प चुनें। डबल अप करने से वीडियो पोकर का हाउस एज कम नहीं होता, लेकिन शून्य हाउस एज वाला एक और दांव ज़रूर जुड़ जाता है। इसी कारण से, आपको क्रेप्स में ऑड्स लेना या रखना चाहिए, क्योंकि अगर आप डबल अप विकल्प चुनते हैं, तो वीडियो पोकर खेलते समय यह कुल हाउस एज को कम कर देता है। प्लेटेक डबल अप दांव को खेल की आवश्यकता में गिनता है, इसलिए यह खिलाड़ी को कम अपेक्षित नुकसान के साथ बोनस दिलाता है। इसलिए, जब तक आप 100% से अधिक रिटर्न वाली मशीन नहीं खेल रहे हैं और आपको अतिरिक्त अस्थिरता से कोई आपत्ति नहीं है, तब तक मैं डबल अप विकल्प को स्वीकार करने की सलाह देता हूँ।

मान लीजिए कि आपके पास प्रत्येक घोड़े को जीतने का समान मौका है, तो जीतने की संभावना 17 में 1 होगी, चाहे प्रत्येक घोड़े पर ऑड्स कैसे भी वितरित किए गए हों। खिलाड़ी का अपेक्षित रिटर्न (1/17)*15.3 + (16/17)*-1 = -0.0412 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, हाउस एज 4.12% है। हालाँकि, आप एक और सरल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि a = वास्तविक ऑड्स भुगतान और f = दांव के लिए उचित ऑड्स, तो हाउस एज (fa)/(f+1) है। इस स्थिति में उचित ऑड्स 16 से 1 हैं। इसलिए हाउस एज (16-15.3)/(16+1) = 0.7/17 = 4.12% है।

मैंने 20 सितंबर, 2001 के कॉलम में रोबोट खिलाड़ियों के बारे में बात की थी। मान लीजिए कि आप एक रोबोट बना सकते हैं, तो उसे 100% से ज़्यादा रिटर्न वाले गेम में अच्छा प्रदर्शन करना चाहिए। हालाँकि, मैं इसे मानवीय गति और उचित समय पर खेलने के लिए प्रोग्राम करने की सलाह दूँगा। कुछ ऑनलाइन कैसीनो खिलाड़ियों पर रोबोट इस्तेमाल करने का आरोप लगाते हैं, भले ही वे रोबोट इस्तेमाल न कर रहे हों, मेरे विचार से भुगतान न करने के बहाने के तौर पर।

ऑड्स वाले कम बेट्स के समर्थन पर मुझे कई बार चुनौती मिलती है। कम बेट्स के विरोधी हमेशा यह कहने में देर नहीं लगाते कि कम बेट में किसी नंबर का दो बार आना ज़रूरी है, जबकि प्लेस या पुट बेट में सिर्फ़ एक बार। यह देखने का सही तरीका नहीं है। सबसे पहले, कम बेट्स में आपके जीतने की संभावना 8/36=22.22% होती है, जबकि हारने की संभावना सिर्फ़ 11.11% होती है। प्लेस या बेट के पहले रोल में आपको ऐसा कोई फ़ायदा नहीं मिलता। अगर आप कोई पॉइंट नंबर भी लाते हैं, तो वह कोई भी नंबर हो सकता है। दूसरे शब्दों में, कम बेट में छह पॉइंट नंबर जीत सकते हैं, और प्लेस या पुट बेट में सिर्फ़ एक। आखिरकार, ऑड्स वाले कम बेट, प्लेस या पुट बेट्स से बेहतर इसलिए होते हैं क्योंकि इनमें हाउस एज कम होता है।

आइए कार्ड के छह डेक मान लें और खिलाड़ी हमेशा तीसरा कार्ड लेता है (चाहे हिट करके या विभाजित करके)। 3 सूट वाले सेवन्स को खींचने के तरीकों की संख्या सूट की संख्या (4) गुणा शू में उस सूट के 6 सेवन्स में से 3 चुनने के तरीकों की संख्या है। दूसरे शब्दों में 4 × कॉम्बिन (6,3) = 4 × 20 = 80। 3 सूट वाले सेवन्स सहित 3 रंगीन सेवन्स को खींचने के तरीकों की संख्या, रंगों की संख्या गुणा उस रंग के शू में 12 सेवन्स में से 3 चुनने के तरीकों की संख्या है, या 2 × कॉम्बिन (12,3) = 2 × 220 = 440। 3 रंगीन और सूट वाले सेवन्स सहित किसी भी 3 सेवन्स को खींचने के तरीकों की संख्या, शू में 24 सेवन्स में से 3 कार्ड्स को चुनने के तरीकों की संख्या है, या कॉम्बिन (24,3) = 2024 312 में से किन्हीं 3 पत्तों के संयोजनों की कुल संख्या combin(312,3)=5013320 है। अतः, 3 उपयुक्त सात पत्तों की प्रायिकता 80/5013320=0.000015957 है। तीन रंगीन, लेकिन उपयुक्त न होने वाले सात पत्तों की प्रायिकता (440-80)/5013320=0.0000718 है। मिश्रित रंगों वाले तीन सात पत्तों की प्रायिकता (2024-440)/5013320=0.00031596 है।

हाँ, मैं ब्लैकजैक ऑड्स की गणना एक संयोजन विधि का उपयोग करके करता हूँ, खिलाड़ी और डीलर के कार्ड निकलने के हर संभावित तरीके का विश्लेषण करता हूँ, और हर निर्णय बिंदु पर अधिकतम अपेक्षित मान लेता हूँ। सिमुलेशन की तुलना में इसे प्रोग्राम करना ज़्यादा कठिन है, लेकिन मुझे लगता है कि यह अधिक सुंदर है और पुनरावर्ती प्रोग्रामिंग में एक अच्छी चुनौती है। हालाँकि, मैं अभी भी सिमुलेशन करने वाले अपने साथियों का सम्मान करता हूँ। आज के कंप्यूटरों के साथ, एक अरब दांव लगाने में ज़्यादा समय नहीं लगता, जो इष्टतम रणनीति रिटर्न के बहुत करीब है।