जादूगर से पूछो #5

पहले 20 ब्लैकजैक में से ठीक x जीतने की प्रायिकता (1/2) ²⁰ * (20,x) के संयोजन से है। मैं आपको परेशानी से बचाता हूँ। पहले 20 में से ठीक 0 से 3 ब्लैकजैक जीतने की संभावनाएँ इस प्रकार हैं:

पीआर(0) = 0.0000010
पीआर(1) = 0.0000191
पीआर(2) = 0.0001812
पीआर(3) = 0.0010872
Pr(3 या उससे कम) = 0.0012884

तो, 3 या उससे कम की संभावना 776 में 1 है। यह धोखाधड़ी का आरोप लगाने के लिए पर्याप्त नहीं है। यह आसानी से केवल दुर्भाग्य भी हो सकता है।

निजी तौर पर, मुझे शक होने से पहले उम्मीद से चार मानक विचलन कम (31,574 में 1 की संभावना) देखना अच्छा लगता है। औपचारिक आरोप लगाने से पहले मुझे पाँच मानक विचलन (35 लाख में 1 की संभावना) की ज़रूरत होगी।

ऑनलाइन कैसीनो ही एकमात्र ऐसे कैसीनो नहीं हैं जो सकारात्मक अपेक्षा वाले खेल प्रदान करते हैं। कुछ लास वेगास कैसीनो बुनियादी रणनीति का उपयोग करते हुए नकारात्मक हाउस एज वाले खेल प्रदान करते हैं। देश भर में सकारात्मक अपेक्षा वाले वीडियो पोकर गेम उपलब्ध हैं, बशर्ते कि रणनीति इष्टतम हो। कैसीनो ऐसा इसलिए कर पाते हैं क्योंकि अधिकांश खिलाड़ी रणनीति में गलतियाँ करते हैं। एक ऐसे व्यक्ति के रूप में जिसने पूरे अमेरिका में कैसीनो में सैकड़ों घंटे ब्लैकजैक खेला है, मैंने शायद ही कभी अन्य खिलाड़ियों को उचित बुनियादी रणनीति खेलते देखा हो। धन प्रबंधन का इससे कोई लेना-देना नहीं है।

डीलर को फ़ायदा होता है क्योंकि खिलाड़ी को पहले खेलना होता है। अगर आप दोनों बस्ट हो जाते हैं तो यह बराबरी नहीं होती, बल्कि आप हार जाते हैं।

सिंगल डेक ब्लैकजैक के नियम आमतौर पर सख्त होते हैं। कार्ड उल्टे बाँटे जाते हैं। डबलिंग आमतौर पर 9 से 11 या 10 से 11 तक सीमित होती है। डीलर सॉफ्ट 17 पर हिट करेगा और स्प्लिट के बाद डबल करने की अनुमति शायद नहीं होगी। अगर ब्लैकजैक में 3 से 2 से कम भुगतान मिलता है, तो इसे न खेलें, जो आमतौर पर सिंगल-डेक गेम्स में होता है।

आप हमेशा मेरी विज़ार्ड ऑफ़ वेगास साइट पर वेगास में अपेक्षाकृत वर्तमान ब्लैकजैक नियमों को देख सकते हैं।

उत्तर है 6*(1/6) ⁶ = 6/46,656 = 1/7,776 =~ 0.0001286 .

आप सही कह रहे हैं, बिंगो में मेरी संभावनाओं की तालिका के अनुसार, 12 संख्याओं में से किसी एक व्यक्ति द्वारा बिंगो जीतने की संभावना 0.00199521 है।

सामान्यतः, यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता p है, तो n बार में कम से कम एक बार उसके घटित होने की प्रायिकता 1-(1-p) ⁿ है। इस स्थिति में, कम से कम एक व्यक्ति को बिंगो मिलने की प्रायिकता 1 - 0.00199521 ⁷⁵ = 1 - .9980048 ⁷⁵ = 1 - .8608886 = .1391114 है।

हालाँकि, बिंगो में हम ऊपर दी गई विधि का उपयोग नहीं कर सकते क्योंकि सभी कार्ड गेंदों के एक ही ड्रॉ के विरुद्ध जाते हैं। इसे समझाना मुश्किल है, लेकिन चूँकि कार्ड 15 संभावित संख्याओं वाले पाँच स्तंभों में व्यवस्थित हैं, इसलिए गेंदों की अपेक्षित संख्या परस्पर संबंधित है। आपके प्रश्न का सही उत्तर देने के लिए एक यादृच्छिक सिमुलेशन की आवश्यकता होगी। ऐसा किए बिना, 13.9% एक अच्छा मोटा अनुमान है।

तारीफ़ के लिए शुक्रिया। आप पाँच गुना ग़लत हैं क्योंकि डीलर पाँच में से किसी एक कार्ड को खुला रख सकता है। दूसरे शब्दों में, डीलर के हाथ में क्रम मायने रखता है, क्योंकि पहला कार्ड खुला ही दिया जाता है। कुल संयोजनों की सही व्युत्पत्ति संयोजन (52,5)*47*संयोजन (46,4) = 19,933,230,517,200 है।

टेबल गेम टूर्नामेंट की रणनीति बहुत जटिल है। हालाँकि, संक्षेप में, मैं हर राउंड के शुरुआती हाथों में समय का ध्यान रखूँगा। कभी-कभी आपके सभी प्रतिद्वंद्वी खुद को पूरी तरह से खत्म कर लेते हैं और आप बिना किसी प्रयास के आगे बढ़ सकते हैं। जब लगभग पाँच हाथ बचे हों, तो आपको अपने से बहुत आगे के किसी भी खिलाड़ी पर अपनी चाल चलनी होगी। यही वह समय है जब आप पहले खेलना चाहेंगे या कोशिश में असफल हो जाएँगे। अपने बड़े दांवों को तब तक बचाकर रखना भी अच्छा है जब तक आप अपने सबसे बड़े प्रतिद्वंद्वियों के बाद कार्रवाई न करें।

इस स्थिति में फुल हाउस पाने के दो तरीके हैं: (1) एक तरह का तीन कार्ड बनाएँ या (2) जोड़ी में एक और कार्ड बनाएँ और एक और जोड़ी बनाएँ। मैं मान रहा हूँ कि आप तीन सिंगलटन कार्ड हटा देंगे।

सबसे पहले, (1) के अंतर्गत संयोजनों की संख्या ज्ञात करते हैं। 3 रैंक हैं जिनमें केवल 3 सूट बचे हैं (याद रखें कि आपने 3 सिंगलटन हटा दिए हैं) और 9 रैंक हैं जिनमें 4 सूट बचे हैं। इस प्रकार संयोजनों की संख्या 3*combin(3,3)+9*combin(4,3) = 3*1 + 9*4 = 39 है।

अब, आइए (2) के अंतर्गत संयोजनों की संख्या ज्ञात करें। मौजूदा जोड़ी में जोड़ने के लिए 2 सूट बचे हैं। 3 कार्ड शेष रहने पर 3 रैंक से जोड़ी बनाने के लिए (3,2) संयोजन तरीके हैं और 4 कार्ड शेष रहने पर रैंक से जोड़ी बनाने के लिए (4,2) संयोजन तरीके हैं। तो 2 के अंतर्गत कुल संयोजन 2*(3*combin(3,2)+9*combin(4,2)) = 2*(3*3 + 9*6) = 126 हैं। फुल हाउस बनाने के तरीकों की कुल संख्या (1) और (2) के अंतर्गत योग है, या 39+126=165 है। दूसरे ड्रॉ में 3 कार्डों को व्यवस्थित करने के लिए (47,3)=16,215 संयोजन तरीके हैं। फुल हाउस निकालने की संभावना, फुल हाउस निकालने के तरीकों की संख्या को कुल संयोजनों से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, या 165/16,215 = 0.0101758, या लगभग 98 में से 1 होती है।

कॉम्बिन() फ़ंक्शन के बारे में अधिक जानकारी के लिए कृपया पोकर पृष्ठ में संभावनाओं पर मेरा अनुभाग देखें।

आम तौर पर, टेबल पर लगभग हर चीज़ हाथ के संकेतों और चिप लगाने के ज़रिए बताई जानी चाहिए, जिसमें टिपिंग भी शामिल है। ज़्यादातर खिलाड़ी डीलर के लिए दांव लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, टिप को सट्टे के घेरे के किनारे पर और अपनी शर्त को बीच में रखें। टिप टेबल मिनिमम के अधीन नहीं है क्योंकि इसे आपकी अपनी शर्त का हिस्सा माना जाता है, बस डीलर के लिए निर्धारित किया जाता है। अगर आप अपनी शर्त को दोगुना या बाँट देते हैं, तो आपको डीलर की शर्त के लिए भी ऐसा ही करना चाहिए। अगर आप जीत जाते हैं, तो डीलर आपकी शर्त और टिप दोनों अलग-अलग चुकाएगा। टिप या उस पर मिली जीत को न छुएँ; डीलर को उसे लेने दें। एक बार मैं भूल गया था कि मैंने डीलर के लिए शर्त लगाई थी और टिप और जीत की राशि को अपने स्टैक में डालने ही वाला था कि डीलर ने कहा, "मुझे लगा था कि यह मेरे लिए है!" कहने की ज़रूरत नहीं कि मैं बहुत शर्मिंदा हुआ और डीलर को उसके पैसे दे दिए।

आइए प्रश्न को दूसरे शब्दों में लिखने का प्रयास करें। मान लें कि लॉटरी में 1 करोड़ संयोजन हैं, और सभी खिलाड़ी अपनी संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनते हैं (डुप्लिकेट की अनुमति देते हुए), लॉटरी को कितने टिकट बेचने होंगे ताकि कम से कम एक व्यक्ति के जीतने की संभावना 90% हो? मान लीजिए कि जीतने की संभावना p है और बेची गई टिकटों की संख्या n है। 1 व्यक्ति के हारने की संभावना 1-p है। सभी n लोगों के हारने की संभावना (1-p) ⁿ है। कम से कम एक विजेता की संभावना 1 - (1-p) ⁿ है। इसलिए हमें इसे .9 के बराबर रखना होगा और n के लिए हल करना होगा।

.9 = 1 - (1-पी) ^एन
.1 = (1-पी) ^एन
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
एन = एलएन(.1)/एलएन(.9999999)
एन = 23,025,850.

तो, लॉटरी में कम से कम एक विजेता की संभावना 90% होने के लिए 23,025,850 टिकट बेचने होंगे। अगर आप सोच रहे हैं, तो अगर लॉटरी में ठीक दस मिलियन टिकट बिकते हैं, तो कम से कम एक विजेता की संभावना 63.2% होगी, जो लगभग 1-(1/e) के बराबर है।