जादूगर से पूछो #425

Q: <p>आपका काम नीचे दिए गए त्रिभुज को एक ऊर्ध्वाधर कट (अर्थात् भुजा a के समांतर) से बराबर क्षेत्रफल वाले दो टुकड़ों में काटना है। आपको कट कहाँ लगाना चाहिए? </p><p></p><img alt="" height="354" src="/media/content_images/1610/ask-the-wizard-425-q.png" width="600" />

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>उत्तर</button><div class='spoiler'> कट त्रिभुज के सबसे दाईं ओर से b/sqrt(2) पर लगाया जाना चाहिए। ध्यान दें कि ऊँचाई मायने नहीं रखती। </div></div><p></p><p> यहां मेरा <a href="/pdf/2083/ask-the-wizard-425.pdf">समाधान</a> (पीडीएफ) है।</p><p> यह प्रश्न मेरे फोरम <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/104/#post964901" target="_blank">विजार्ड ऑफ वेगास</a> में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।</p>

Q: <p><a href="<span class="notranslate">wizardofodds.com/ask-the-wizard/424/&quot;&gt;Ask the Wizard #424</a> में किसी ने पूछा, &quot;एक मीटर लंबी छड़ी को दो बेतरतीब जगहों से काटा गया है। बनने वाले तीन टुकड़ों में से सबसे छोटे टुकड़े का अनुमानित क्षेत्रफल कितना होगा?&quot; मेरा प्रश्न यह है कि c बेतरतीब कटों का उत्तर क्या होगा?</p>

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>उत्तर</button><div class='spoiler'>1/(c+1)^2</div></div><p></p><p> यहाँ <a href="/pdf/2082/ask-the-wizard-425b.pdf">मेरा समाधान</a> (पीडीएफ) है।</p><p> यह समस्या मेरे फोरम <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/104/" target=_blank>विजार्ड ऑफ वेगास</a> में पूछी गई और चर्चा की गई।</p>

आपका काम नीचे दिए गए त्रिभुज को एक ऊर्ध्वाधर कट (अर्थात् भुजा a के समांतर) से बराबर क्षेत्रफल वाले दो टुकड़ों में काटना है। आपको कट कहाँ लगाना चाहिए?

गुमनाम

कट त्रिभुज के सबसे दाईं ओर से b/sqrt(2) पर लगाया जाना चाहिए। ध्यान दें कि ऊँचाई मायने नहीं रखती।

यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

wizardofodds.com/ask-the-wizard/424/">Ask the Wizard #424 में किसी ने पूछा, "एक मीटर लंबी छड़ी को दो बेतरतीब जगहों से काटा गया है। बनने वाले तीन टुकड़ों में से सबसे छोटे टुकड़े का अनुमानित क्षेत्रफल कितना होगा?" मेरा प्रश्न यह है कि c बेतरतीब कटों का उत्तर क्या होगा?

गुमनाम

1/(c+1)^2

यहाँ मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह समस्या मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछी गई और चर्चा की गई।

आप छह अलग-अलग गेंदों को तीन समान बक्सों में कितने तरीकों से रख सकते हैं?

गुमनाम

उत्तर 122 है

[spoiler=समाधान] इस समस्या का पेचीदा हिस्सा यह है कि दोनों बॉक्स एक जैसे हैं। अगर वे अलग होते, तो उत्तर आसानी से 3 ⁶ = 729 होता।

आइए गेंदों को A से F तक लेबल करें। गेंद A को किसी भी बॉक्स में रखकर शुरू करें।

सबसे पहले, मान लीजिए कि आप गेंद B को बचे हुए दो खाली बक्सों में से एक में रखते हैं। उसके बाद, तीनों बक्से अलग-अलग हो जाएँगे क्योंकि उनमें अलग-अलग गेंदें हैं, जिनमें से एक अभी भी खाली है। बाकी चार गेंदों को रखने के तरीकों की संख्या 3 ⁴ = 81 है।

दूसरा, मान लीजिए कि आप गेंद B को उसी डिब्बे में रखते हैं जिसमें गेंद A है और गेंद C को एक खाली डिब्बे में। इसके बाद, तीनों डिब्बे अलग-अलग हो जाते हैं क्योंकि उनमें अलग-अलग गेंदें हैं, जिनमें से एक अभी भी खाली है। बाकी तीन गेंदों को रखने के तरीकों की संख्या 3 ³ = 27 है।

तीसरा, मान लीजिए कि आप गेंद B और C को उसी डिब्बे में रखते हैं जिसमें गेंद A और D को एक खाली डिब्बे में रखते हैं। इसके बाद, तीनों डिब्बे अलग-अलग हो जाते हैं क्योंकि उनमें अलग-अलग गेंदें होती हैं, जिनमें से एक खाली भी है। बाकी दो गेंदों को रखने के तरीकों की संख्या 3 ² = 9 है।

चौथा, मान लीजिए आप गेंद B, C और D को उसी डिब्बे में रखते हैं जिसमें गेंद A और E को एक खाली डिब्बे में रखते हैं। इसके बाद तीनों डिब्बे अलग-अलग हो जाते हैं क्योंकि उनमें अलग-अलग गेंदें होती हैं, जिनमें से एक अभी भी खाली है। दूसरी गेंद को रखने के तरीकों की संख्या 3 ¹ = 3 है।

पाँचवाँ, मान लीजिए आप गेंद B से E तक को उसी डिब्बे में रखते हैं जिसमें गेंद A और F खाली डिब्बों में से एक में हैं। अब कोई गेंद नहीं बची है, इसलिए गेंद AE को एक डिब्बे में और गेंद F को दूसरे डिब्बे में रखने का एक ही तरीका है।

छठा और अंतिम, एक ही बॉक्स में सभी गेंदों तक पहुंचने का केवल एक ही रास्ता है।

तो उत्तर है 3 ⁴ + 3 ³ + 3 ² + 3 ¹ + 2 = 122.

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

ब्लैकजैक में डीलर का औसत अंतिम योग क्या है, यह मानते हुए कि डीलर को न तो ब्लैकजैक मिलता है और न ही वह बस्ट होता है?

गुमनाम