जादूगर से पूछो #421

मैं बाकी पाठकों को पिकलबॉल में स्कोरिंग के नियम याद दिलाना चाहता हूँ।

1. जो टीम पहले 11 अंक प्राप्त कर लेगी और कम से कम दो अंकों से जीतेगी, वह खेल जीत जाएगी।
2. प्रत्येक टीम में दो खिलाड़ी होते हैं, मैं उन्हें खिलाड़ी 1 और खिलाड़ी 2 कहूंगा। मैं दोनों टीमों को A और B कहूंगा, जिसमें A पहले सर्व करेगा।
3. टीम ए का खिलाड़ी 2 सर्व करता है।
4. अगर चरण 3 की टीम A रैली जीत जाती है, तो उसे एक अंक मिलता है और वही खिलाड़ी दोबारा सर्व करता है। यह तब तक चलता रहता है जब तक टीम B रैली जीत नहीं जाती।
5. टीम बी का खिलाड़ी 1 सर्व करता है।
6. अगर चरण 5 की टीम B रैली जीत जाती है, तो उसे एक अंक मिलता है और वही खिलाड़ी दोबारा सर्व करता है। यह तब तक चलता रहता है जब तक टीम A रैली जीत नहीं जाती।
7. टीम बी का खिलाड़ी 2 सर्व करता है।
8. अगर चरण 5 की टीम B रैली जीत जाती है, तो उसे एक अंक मिलता है और वही खिलाड़ी दोबारा सर्व करता है। यह तब तक चलता रहता है जब तक टीम A रैली जीत नहीं जाती।
9. टीम ए का खिलाड़ी 1 सर्व करता है।
10. अगर चरण 7 की टीम A रैली जीत जाती है, तो उसे एक अंक मिलता है और वही खिलाड़ी दोबारा सर्व करता है। यह तब तक चलता रहता है जब तक टीम B रैली जीत नहीं जाती।
11. नियम 3 पर वापस जाएं.

कृपया ध्यान दें कि प्राप्त करने वाली टीम अंक नहीं जीत सकती। वे सर्व वापस पाने के लिए खेल रहे हैं।

इसे संक्षेप में इस प्रकार समझाया जा सकता है कि एक ही खिलाड़ी सर्व करता है और प्रत्येक जीती हुई रैली के लिए एक अंक अर्जित करता है, जब तक कि दूसरी टीम रैली नहीं जीत लेती। प्राप्त करने वाली टीम को अंक नहीं मिलते। जब सर्व करने की बारी एक टीम से दूसरी टीम में जाती है, तो सर्व करने वाली टीम के दोनों खिलाड़ियों को सर्व करने का मौका मिलता है। संभावना को और अधिक निष्पक्ष बनाने के लिए, खेल की शुरुआत किसी एक टीम के दूसरे खिलाड़ी द्वारा सर्व करने से होती है। यह तब तक जारी रहता है जब तक कि किसी भी टीम के कम से कम 11 अंक और जीत का अंतर कम से कम 2 का न हो जाए।

तो, मेरा जवाब है कि सर्विंग टीम की जीत की संभावना 0.499999997522 है। इसे मार्कोव चेन का उपयोग करके हल किया गया था।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर पूछा गया और इस पर चर्चा की गई।

शुरुआत यह पूछकर करें कि 50 ड्रॉ में किसी विशिष्ट संख्या के न आने की प्रायिकता क्या है। इसका उत्तर है (combin(53,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = (8/9) ⁵⁰ = 0.002769325।

50 ड्रॉ में किसी भी संख्या के न आने की प्रायिकता के लिए, उपरोक्त संख्या को 54 से गुणा करें: 54 × 0.002769325 = 0.149543533246569.

हालाँकि, यह दोहरी गणना की स्थिति है जहाँ 50 खेलों में दो संख्याएँ नहीं बुलाई जाती हैं। 50 खेलों में दो विशिष्ट संख्याओं के न बुलाए जाने की प्रायिकता (combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.788260 ⁵⁰ = 0.00000681512 है। 54 में से किन्हीं दो गेंदों को चुनने के लिए combin(54,2)=1431 तरीके हैं। इसलिए, 50 खेलों में किन्हीं दो गेंदों के न बुलाए जाने की प्रायिकता 1431 × (combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.009752432 है।

तो, अब हम 0.149543533246569 - 0.009752431939662 = 0.139791101306907 पर हैं।

हालाँकि, ऊपर दिया गया डबल-काउंटिंग समायोजन उन स्थितियों को दर्शाता है जहाँ 50 खेलों में तीन संख्याएँ नहीं बुलाई जाती हैं। इसकी प्रायिकता है combin(54,3)*(combin(51,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.000367891216781.

तो, अब हम 0.149543533246569 - 0.009752431939662 + 0.000367891216781 = 0.140158992523688 पर हैं।

हम ऐसा करते रहते हैं, बारी-बारी से जोड़ते और घटाते रहते हैं। एक्सेल केवल लगभग 15 सार्थक अंकों को ही संभाल सकता है, इसलिए हमें उन 15 सार्थक अंकों के भीतर सही होने के लिए केवल आठ लुप्त संख्याओं तक ही ऐसा करना होगा।

अंत में, संभावना 0.140150159777671 आती है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

यदि उचित ऑड्स 6.3 से 1 हैं, तो जीतने की संभावना 1/7.3 है।

कमजोर पक्ष पर दांव लगाने पर 6 से 1 का भुगतान होता है, जो 7 से 1 के समान है। इससे अपेक्षित जीत = 7/7.3 = 70/73 = 0.958904 हो जाती है।

पसंदीदा के जीतने की संभावना 6.3/7.3 = 63/73 है।

आइए, "एक के लिए" आधार पर बाधाओं को बुलाएं, कि पसंदीदा जीतता है।

f के लिए हल करें, जैसे कि:

(63/73) × एफ = 70/73.

दोनों पक्षों को 73 से गुणा करें:

63f = 70

एफ = 70/63 = 10/9

इसे "एक" के आधार पर परिवर्तित करने के लिए, 1 घटाएं। इसलिए, पसंदीदा जीतने की संभावना 1 से 9 तक निर्धारित की जानी चाहिए।