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जादूगर से पूछो #416

एक स्विमिंग पूल खारे पानी से भरा है। एक नली एक निश्चित दर पर ताज़ा पानी पूल में छोड़ती है। जैसे-जैसे ताज़ा पानी अंदर आता है, दूसरी तरफ़ से पानी उसी दर से बाहर निकलता है। पूल के आयतन के बराबर पानी पूल में डालने के बाद, खारे पानी का कितना अनुपात बचेगा?

गुमनाम

1/e = 36.7979%

यहाँ मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

किसी गेम शो में आपको $0 से $20 तक का इनाम दिया जाता है, जो एक समान और निरंतर वितरण के अनुसार यादृच्छिक रूप से निर्धारित किया जाता है। इनाम दिए जाने के बाद, आप उसे अपने पास रख सकते हैं या $1 देकर नया इनाम निकाल सकते हैं। आप इसे जितनी बार चाहें उतनी बार कर सकते हैं।

इष्टतम रणनीति क्या है और इस रणनीति के अनुसरण में अपेक्षित जीत क्या है?

गुमनाम

आपको 20-2*sqrt(10) = $13.67544 से ज़्यादा का इनाम स्वीकार करना चाहिए। इस रणनीति के तहत अपेक्षित जीत $14.675445 है।

[स्पॉइलर=समाधान]

मान लें x = वह न्यूनतम मान है जिसे आप स्वीकार करेंगे।

x पर औसत मान (20+x)/2 है।

किसी भी दिए गए प्रस्ताव को स्वीकार करने की संभावना (20-x)/20 है।

आपके द्वारा अस्वीकार किये जाने वाले प्रस्तावों की औसत संख्या 1/((20-x)/20) = 20/(20-x) है।

मान लें f(x) = औसत अंतिम जीत = (20+x)/2 - 20/(20-x).

अधिकतम जीत ज्ञात करने के लिए, x का हल निकालें जब f'(x)=0 हो।

f'(x) = 1/2 - 20/(20-x)^2 = 0

20/(x^2 - 40x + 400) = 1/2

x^2 - 40x + 400 = 40

x^2 - 40x + 360 = 0

द्विघात सूत्र का उपयोग करके x का हल निकालें...

x = (40 - 4*sqrt(10))/2 = 20 - 2*sqrt(10) = 13.67544468.

इससे औसत जीत (20 + 13.67544468)/2 - 20/(20-13.67544468) =~ 14.675445 हो जाती है।

[/बिगाड़ने वाला]

sqrt(3-x) = 3-x 2

x के लिए हल करें.

गुमनाम

[स्पॉइलर=उत्तर] x = -1, 2, (sqrt(13)-1)/2, -(sqrt(13)+1)/2 [/स्पॉइलर]

[स्पॉइलर=समाधान]

3-x = x 4 - 6x 2 + 9 प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें

f(x) = x 4 - 6x 2 + x + 6 = 0

इसके बाद, x का गुणनखंड ज्ञात करने के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करें।

संभावित मूल x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1) हैं

यदि x=-1, तो f(x) = 0. अतः (x+1) एक गुणनखंड है।

x 4 - 6x 2 + x + 6 = (x+1)(x 3 - x 2 -5x + 6)

परिमेय मूल प्रमेय को पुनः लागू करने पर हमें x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1) के संभावित मूल प्राप्त होते हैं।

कुछ परीक्षण और त्रुटि से पता चलता है कि x=2 एक हल है। इस प्रकार (x-2) एक गुणनखंड है।

x 3 - x 2 -5x + 6 = (x-2)(x 2 + x + 3)

x 2 + x + 3 = 0 को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर हमें x = (-1 +/- sqrt(13))/2 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, सभी समाधान x = -1, 2, (-1 + sqrt(13))/2, (-1 - sqrt(13))/2 हैं।

[/बिगाड़ने वाला]