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जादूगर से पूछो #414

किसी ने मुझे निम्नलिखित शर्त लगाने की चुनौती दी थी। हम छह-तरफा पासों का एक जोड़ा तब तक फेंकेंगे जब तक कि निम्नलिखित दो घटनाओं में से एक घटना घटित न हो जाए:

  • कुल सात-सात दो अंक आये।
  • कम से कम एक छक्का और एक आठ दिखाई दिया।

अगर दोनों सात पहले आ जाएँ तो मैं जीत जाऊँगा। क्या मुझे फायदा नहीं है क्योंकि कुल सात आने की संभावना ज़्यादा है? हालाँकि, मुझे शक है कि इसमें कोई चाल है। फायदा किसे हुआ?

गुमनाम

दूसरे पक्ष को बढ़त मिली। प्रत्येक कुल योग की प्रायिकता इस प्रकार है:

  • 6 = 5/36
  • 7 = 6/36 = 1/6
  • 8 = 5/36

प्रायिकता p वाली घटना को प्राप्त करने के लिए औसत प्रतीक्षा समय 1/p है।

कुल 7 आने की संभावना 1/6 है। इसलिए, औसतन, कुल 7 पाने के लिए 6 बार रोल करने होंगे। दो बार रोल करने के लिए औसतन 12 बार रोल करने होंगे।

कुल 6 या 8 आने की प्रायिकता (5/36) + (5/36) = 10/36 है। ध्यान दें कि 6 और 8 किसी भी क्रम में आ सकते हैं। इस प्रकार, 6 या 8 आने की प्रायिकता 1/(10/36) = 36/10 = 3.6 है।

6 और 8 के बीच पहला योग प्राप्त होने पर, दूसरे योग के आने की संभावना 5/36 है। उस दूसरी घटना के लिए प्रतीक्षा समय 1/(5/36) = 36/5 = 7.2 रोल है।

इस प्रकार, 6 और 8, दोनों को किसी भी क्रम में प्राप्त करने के लिए अपेक्षित रोल 3.6 + 7.2 = 10.8 है। यह दो सात के लिए 12 से कम है। इसलिए, 6 और 8 लेना उस दांव का बेहतर पक्ष है।

एक इकोसाहेड्रोन (20-पक्षीय पासा) लुढ़काया जाता है। खिलाड़ी या तो पासे के लुढ़कने से प्राप्त डॉलर की संख्या अपने पास रख सकता है या फिर से लुढ़कने के लिए $1 का भुगतान कर सकता है। खिलाड़ी ऐसा असीमित बार कर सकता है। इस खेल को खेलने की सही रणनीति और उचित मूल्य क्या है?

गुमनाम

मान लीजिए कि एक खिलाड़ी द्वारा स्वीकार किया जाने वाला न्यूनतम रोल r है।

एक बार वह लक्ष्य प्राप्त हो जाने पर, औसत परिणाम (20+r)/2 होगा।

किसी एक रोल पर लक्ष्य प्राप्ति की प्रायिकता (21-r)/20 है। इस प्रकार, लक्ष्य प्राप्ति के लिए अपेक्षित रोल व्युत्क्रम, या 20/(21-r) है।

r को रोल करने के लक्ष्य के लिए, अपेक्षित जीत इस प्रकार (20+r)/2 - 20/(21-r) है। यहाँ r के संभावित मानों के लिए कुछ अपेक्षित जीतें दी गई हैं।

  • 14: $15.14
  • 15: $15.17
  • 16: $15.00

इसलिए, हम 15 या उससे अधिक अंक लाने के लक्ष्य के साथ 15.17 डॉलर पर अपेक्षित जीत को अधिकतम मानते हैं।

यह प्रश्न प्रेश तलवलकर द्वारा लिखित गणित पहेलियाँ खंड 3 की पहेली संख्या 22 से लिया गया है। उनकी पुस्तक में, 100 भुजाओं वाले पासे का प्रयोग किया गया है।

टेनिस में, मान लीजिए कि सर्वर द्वारा किसी दिए गए अंक को जीतने की प्रायिकता p है। यदि स्कोर एड-आउट, ड्यूस या एड-इन है, तो सर्वर द्वारा गेम जीतने की प्रायिकता क्या है?

गुमनाम

अन्य पाठकों की जानकारी के लिए बता दूँ कि टेनिस में किसी खिलाड़ी को गेम जीतने के लिए 2 अंकों से जीतना ज़रूरी है। एक अंक पीछे रहने को एड आउट और एक अंक आगे रहने को एड इन कहते हैं।

आइये कुछ शब्दावली बनाएं।

  • a = एड आउट पर गेम जीतने की संभावना.
  • b = ड्यूस पर खेल जीतने की संभावना.
  • c = एड इन पर खेल जीतने की संभावना.

यहाँ से हम एक मार्कोव श्रृंखला बना सकते हैं, जो इस प्रकार है:

  • ए = पीबी
  • बी = पीसी + (1-पी)ए
  • सी = पी + (1-पी)बी

आइए, ऊपर दिए गए पहले और तीसरे समीकरण को दूसरे समीकरण में रखकर b का हल निकालने का प्रयास करें:

बी = पी(पी + (1-पी)बी) + (1-पी)पीबी

बी = पी 2 + पीबी - पी 2 बी + पीबी - पी 2 बी

कुछ सरल बीजगणित से...

बी = पी 2 /(1-2पी+2पी 2 )

वहां से a और c ज्ञात करने के लिए पहले और तीसरे सूत्र का उपयोग करना आसान है।

निम्नलिखित तालिका p के विभिन्न मानों के लिए तीन संभावित चरणों पर संभावनाओं को दर्शाती है।

पी विज्ञापन बाहर उपद्रव विज्ञापन में
0.1 0.001220 0.012195 0.110976
0.2 0.011765 0.058824 0.247059
0.3 0.046552 0.155172 0.408621
0.4 0.123077 0.307692 0.584615
0.5 0.250000 0.500000 0.750000
0.6 0.415385 0.692308 0.876923
0.7 0.591379 0.844828 0.953448
0.8 0.752941 0.941176 0.988235
0.9 0.889024 0.987805 0.998780