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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #411

मेरा मानना है कि अगर कैसिनो में हर खेल पर 0% हाउस एज होता, तो भी वे पैसा कमा सकते थे। ऐसा खिलाड़ियों के खराब धन प्रबंधन और कैसिनो की तुलना में खिलाड़ियों के पास सीमित बैंकरोल के कारण होता है। क्या आप सहमत हैं?

गुमनाम

नहीं, मैं असहमत हूं।

धन प्रबंधन को ज़रूरत से ज़्यादा महत्व दिया जाता है। रूलेट जैसे भाग्य के खेल में खिलाड़ी चाहे जैसे भी खेलें, घर की बढ़त को किसी भी दिशा में कम नहीं किया जा सकता।

इस तर्क के अनुसार कि कैसीनो खिलाड़ी के दिवालिया होने तक उससे ज़्यादा समय तक टिक सकता है, यह संभव है कि कैसीनो पहले दिवालिया हो। किसी भी MGM-Mirage कैसीनो के खिलाफ $10,000 के बैंकरोल वाले खिलाड़ी पर विचार करें। इस लेखन के समय, MGM-Mirage का बाज़ार पूंजीकरण $11,168,000,000 है। इसके अलावा, तर्क के लिए, मान लें कि कंपनी के पास उसके 100% शेयर हैं। यदि खिलाड़ी तब तक खेलता है जब तक कि कोई भी पक्ष दिवालिया न हो जाए, तो उसके पास पूरी कंपनी जीतने का 1,116,801 में 1 मौका होगा। खिलाड़ियों की बड़ी संख्या को देखते हुए, अंततः कोई न कोई खिलाड़ी सफल होगा।

मुझे पता है कि हर राज्य को उसकी जनसंख्या के हिसाब से कांग्रेस की सीटें मिलती हैं। लेकिन, वे ऐसा कैसे करते हैं? इसका कोई न कोई तरीका ज़रूर होगा। क्या यह संभव है कि किसी राज्य की जनसंख्या बढ़ जाए, जबकि कुल जनसंख्या वही रहे, और वह एक सीट खो दे?

गुमनाम

संक्षिप्त उत्तर यह है कि प्रत्येक राज्य कम से कम एक सीट से शुरुआत करता है। फिर, प्रत्येक अतिरिक्त सीट उस राज्य को एक-एक करके दी जाती है जिसे उस सीट से "सबसे ज़्यादा लाभ" होगा।

"सबसे ज़्यादा लाभ" की गणना कैसे की जाती है, यह और भी जटिल हो जाता है। विवरण इस प्रकार है:

  1. "गुणक" की गणना (1) अतिरिक्त सीट के साथ कुल सीटों में प्रतिशत वृद्धि और (2) यदि राज्य में वास्तविक सीट से एक सीट अधिक होती, तो कुल सीटों में प्रतिशत वृद्धि के ज्यामितीय माध्य के रूप में करें। इसे सूत्र में कहें तो, यदि n वर्तमान सीटों की संख्या है, तो गुणक 1/sqrt(n*(n+1)) है।
  2. गुणक और राज्य की जनसंख्या के गुणनफल के रूप में "प्राथमिकता मूल्य" की गणना करें।

हर राज्य के लिए यह गणना करें। सबसे ज़्यादा प्राथमिकता वाले राज्य को अगली सीट मिलेगी।

उदाहरण के लिए, नेवादा को ही लीजिए। 2020 की जनसंख्या 3,104,614 थी और इसमें पहले से ही 4 सीटें हैं। गुणक 1/sqrt(4*5) = 1/sqrt(20) = 0.223607 है। प्राथमिकता मान 3,104,614 * 0.223607 = 694,213 है।

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा था, लेकिन अगर कांग्रेस 436वीं सीट जोड़ दे, तो वह न्यूयॉर्क को मिल जाएगी। नीचे दी गई तालिका क्रम से सभी 50 राज्यों के लिए प्राथमिकता मान दर्शाती है।

राज्य जनसंख्या वर्तमान सीटें गुणक प्राथमिकता मूल्य
न्यूयॉर्क 20,201,249 26 0.037743 762,447
ओहियो 11,799,448 15 0.064550 761,651
टेक्सास 29,145,505 38 0.025976 757,090
फ्लोरिडा 21,538,187 28 0.035093 755,842
एरिज़ोना 7,151,502 9 0.105409 753,835
कैलिफोर्निया 39,538,223 52 0.019048 753,143
वर्जीनिया 8,631,393 11 0.087039 751,266
इडाहो 1,839,106 2 0.408248 750,812
मिशिगन 10,077,331 13 0.074125 746,981
न्यू जर्सी 9,288,994 12 0.080064 743,715
पेंसिल्वेनिया 13,002,700 17 0.057166 743,315
मैसाचुसेट्स 7,029,917 9 0.105409 741,018
जॉर्जिया 10,711,908 14 0.069007 739,192
वाशिंगटन 7,705,281 10 0.095346 734,670
इलिनोइस 12,812,508 17 0.057166 732,442
वेस्ट वर्जीनिया 1,793,716 2 0.408248 732,281
यूटा 3,271,616 4 0.223607 731,556
टेनेसी 6,910,840 9 0.105409 728,466
मैरीलैंड 6,177,224 8 0.117851 727,993
मिसौरी 6,154,913 8 0.117851 725,363
ओकलाहोमा 3,959,353 5 0.182574 722,876
उत्तरी केरोलिना 10,439,388 14 0.069007 720,386
लुइसियाना 4,657,757 6 0.154303 718,708
इंडियाना 6,785,528 9 0.105409 715,257
आयोवा 3,190,369 4 0.223607 713,388
डेलावेयर 989,948 1 0.707107 699,999
केंटकी 4,505,836 6 0.154303 695,266
विस्कॉन्सिन 5,893,718 8 0.117851 694,581
नेवादा 3,104,614 4 0.223607 694,213
दक्षिण कैरोलिना 5,118,425 7 0.133631 683,978
कोलोराडो 5,773,714 8 0.117851 680,439
अर्कांसस 3,011,524 4 0.223607 673,397
मिनेसोटा 5,706,494 8 0.117851 672,517
अलाबामा 5,024,279 7 0.133631 671,398
मिसिसिपी 2,961,279 4 0.223607 662,162
कनेक्टिकट 3,605,944 5 0.182574 658,352
कान्सास 2,937,880 4 0.223607 656,930
ओरेगन 4,237,256 6 0.154303 653,823
दक्षिणी डकोटा 886,667 1 0.707107 626,968
न्यू मैक्सिको 2,117,522 3 0.288675 611,276
हवाई 1,455,271 2 0.408248 594,112
नेब्रास्का 1,961,504 3 0.288675 566,237
न्यू हैम्पशायर 1,377,529 2 0.408248 562,374
मैंने 1,362,359 2 0.408248 556,181
नॉर्थ डकोटा 779,094 1 0.707107 550,903
अलास्का 733,391 1 0.707107 518,586
वरमोंट 643,077 1 0.707107 454,724
रोड आइलैंड 1,097,379 2 0.408248 448,003
MONTANA 1,084,225 2 0.408248 442,633
व्योमिंग 576,851 1 0.707107 407,895
कुल 330,759,736 435 0.002296 759,495

आपके दूसरे प्रश्न के संबंध में, हाँ, यह संभव है। मुझे ऐसी स्थिति ढूँढ़ने में काफ़ी देर तक मशक्कत करनी पड़ी जहाँ ऐसा हुआ हो। सबसे पहले, एक काल्पनिक देश पर विचार करें जिसमें निम्नलिखित छह राज्य हों। कुल 15 सीटों के साथ, आवंटन इस प्रकार होगा:

राज्य जनसंख्या वर्तमान सीटें गुणक प्राथमिकता मूल्य
भ्रम 900 3 0.288675 259.807621
इनकार 800 3 0.288675 230.940108
परम आनंद 700 3 0.288675 202.072594
अवसाद 600 2 0.408248 244.948974
लीम्बो 500 2 0.408248 204.124145
चिंता 400 2 0.408248 163.299316
कुल 3,900 15

इसके बाद मान लें कि जनगणना हुई और जनसंख्या में काफी बदलाव आया, लेकिन कुल संख्या 3,900 ही रही और एंग्जाइटी की जनसंख्या 400 से बढ़कर 401 हो गई। इसे 15 राज्यों में केवल एक सीट मिलेगी।

राज्य जनसंख्या वर्तमान सीटें गुणक प्राथमिकता मूल्य
भ्रम 1,885 7 0.133631 251.893721
इनकार 405 2 0.408248 165.340558
परम आनंद 404 2 0.408248 164.932309
अवसाद 403 2 0.408248 164.524061
लीम्बो 402 1 0.707107 284.256926
चिंता 401 1 0.707107 283.549819
कुल 3,900 15

मैं इस बात पर ज़ोर देना चाहता हूँ कि मुझे ऐसी स्थिति ढूँढ़ने के लिए काफ़ी देर तक आँकड़ों के साथ छेड़छाड़ करनी पड़ी जहाँ ऐसा हुआ हो। कुल मिलाकर, मुझे यह तरीका काफ़ी उचित लगता है।

81 ऊँचाई वाले एक आयत में दो वृत्त अंकित हैं। दोनों वृत्तों के किनारे तक 56 लंबाई का एक रेखाखंड है जो वृत्तों के मिलने वाले स्थान से होकर गुजरता है तथा आयत के ऊर्ध्वाधर किनारे के समानांतर है।

आयत कितनी चौड़ी है?

गुमनाम

98

यहाँ मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।