जादूगर से पूछो #406

अन्य पाठकों के लिए, क्रैश इंटरनेट कैसीनो में, खासकर क्रिप्टो करेंसी पर आधारित कैसीनो में, एक लोकप्रिय खेल है। इसमें खिलाड़ी एक शर्त लगाता है और फिर एक विमान या रॉकेट ज़मीन से उड़ान भरता है। हर सेकंड के एक अंश में, ऊँचाई एक छोटे प्रतिशत से बढ़ती है। खिलाड़ी किसी भी समय बाहर निकल सकता है और वस्तु की ऊँचाई के अनुसार जीतेगा। हालाँकि, हर सेकंड के एक अंश के साथ वस्तु ऊपर उठती है, और वह क्रैश भी हो सकती है। अगर खिलाड़ी के बाहर निकलने से पहले वस्तु क्रैश हो जाती है, तो खिलाड़ी हार जाता है।

जैसा कि कहा गया है, प्राप्त औसत ऊंचाई, यह मानते हुए कि कोई हाउस एज नहीं है, 1/ln(2) =~ 1.442695041 है।

अन्य पाठकों के लाभ के लिए, यहां वे कार्ड दिए गए हैं जिनका उपयोग दोनों खेलों में किया जा सकता है।

• टेक्सास होल्ड 'एम - खिलाड़ी दो होल कार्ड और पाँच कम्युनिटी कार्ड से मिलकर सबसे अच्छा पोकर हैंड बना सकता है। खिलाड़ी इन सात कार्डों में से किन्हीं पाँच का इस्तेमाल कर सकता है।
• ओमाहा - खिलाड़ी को चार होल कार्डों में से ठीक दो और पांच सामुदायिक कार्डों में से ठीक तीन का उपयोग करना होगा।

एक्सेल सूत्रों का उपयोग करते हुए, यहां प्रत्येक खेल में संभावना दी गई है।

• टेक्सास होल्ड 'एम - 4*कॉम्बिन(47,2)/कॉम्बिन(52,7) =~ 30,940 में 1
• ओमाहा -- 4*कॉम्बिन(5,2)*कॉम्बिन(47,2)*कॉम्बिन(45,2)/(कॉम्बिन(52,4)*कॉम्बिन(48,5)) =~ 10,829 में 1

अन्य पाठकों के लाभ के लिए नियम यहां दिए गए हैं।

1. खिलाड़ी से 13 सही या गलत प्रश्न पूछे जाएंगे।
2. इसके बाद, खिलाड़ी से पूछा जाएगा कि वह कितने सही उत्तर देता है, इसकी एक सीमा चुनें। अगर वह उस सीमा के भीतर रहता है, तो नीचे दी गई तालिका के अनुसार वह जीत जाएगा।
3. यदि खिलाड़ी सही अनुमान लगा लेता है कि उसने कितने प्रश्न सही पूछे हैं तो उसे 25,000 डॉलर का बोनस भी मिलता है।
4. मेजबान, शाक, किसी भी समय समर्पण मूल्य की पेशकश कर सकता है।

फोटो स्रोत: एबीसी प्रेस

निम्नलिखित तालिका अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करने की रणनीति दर्शाती है। उदाहरण के लिए, अगर खिलाड़ी को लगता है कि वह 9.5 सही करेगा, तो उसे 10 से 12 की सीमा चुननी चाहिए। हालाँकि 9.5 उस सीमा में नहीं आता, लेकिन अपेक्षित मूल्य 7 से 9 की सीमा से ज़्यादा है, क्योंकि जीत 4 गुना ज़्यादा है।

जहाँ तक आत्मसमर्पण के प्रस्तावों की बात है, मैंने जब भी यह शो देखा है, वे बहुत ही कंजूस थे, उम्मीद से लगभग आधे। मेरी सलाह है कि शैक को सीधे "ना" कह दें।

अपने वीडियो में, मैट इस प्रश्न के एक तत्व को मान्य कर रहे हैं, जैसा कि आर्थर बेंजामिन, जोसेफ किसेनवेदर और बेन वीस द्वारा लिखे गए लेख द बिंगो पैराडॉक्स में उठाया गया है।

बिना किसी मुक्त वर्ग और बिना किसी विकर्ण जीत के एक सरलीकृत खेल को मानते हुए, वे दोनों यह मामला बनाते हैं कि यदि गेंदों को तब तक खींचा जाता है जब तक कि (1) प्रत्येक कॉलम में कम से कम एक गेंद या (2) एक कॉलम में पांच गेंदें न हों, निम्नलिखित संभावनाएं हैं कि कौन सी पहले होगी।

• प्रत्येक कॉलम में कम से कम एक गेंद (संभावित क्षैतिज बिंगो) = 0.751779.
• किसी एक कॉलम में खींची गई पांच गेंदें (संभावित ऊर्ध्वाधर बिंगो) = 0.248221.

मैंने सारा गणित लगा लिया है और मैं इससे सहमत हूँ। हालाँकि, सिर्फ़ इसलिए कि बिंगो संभव है, इसका मतलब यह नहीं कि आम खेल में भी इसे बुलाया जाएगा।

इससे पहले कि मैं इसमें जाऊं, केवल एक बिंगो कार्ड के साथ, पहली बिंगो के क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर होने की संभावना ठीक 50/50 है।

हालाँकि, कार्डों की सीमित संख्या के मामले में ऐसा नहीं है और केवल जीतने वाले कार्ड ही गिने जाते हैं।

अपने विश्लेषण के लिए, मैंने मान लिया कि हर संभावित बिंगो कार्ड में से एक ही कार्ड खेल में होगा। यानी कुल 6,076,911,214,672,420,000,000,000,000 कार्ड।

यदि एक ही समय में कई कार्डों से बिंगो बनता है, तो प्रत्येक जीत को समान रूप से गिना जाता है।

यह मानते हुए कि पहले एक ऊर्ध्वाधर बिंगो संभव था, मैं दर्शाता हूँ कि किसी भी दिए गए कार्ड के जीतने की प्रायिकता 3003 में 1 =~ 0.000333 है। यह मानते हुए कि पहले एक क्षैतिज बिंगो संभव था, मैं दर्शाता हूँ कि किसी भी दिए गए कार्ड के जीतने की प्रायिकता 8294 में 1 =~ 0.000121 है।

निम्नलिखित तालिका में पहले संभावित बिंगो प्रकार और किसी भी दिए गए कार्ड के बिंगो होने की संभावना, दोनों को एक साथ दर्शाया गया है। दाएँ कॉलम में दिखाया गया है कि बिंगो के क्षैतिज होने की संभावना 52.3% है, बशर्ते कि बिंगो को बुलाया जाए।

मैं जानता हूं कि मेरा 52.3%, पेपर में उद्धृत 2 से 1 के अनुपात से भिन्न है, लेकिन यह 1,000 कार्ड गेम के सिमुलेशन पर आधारित है और मुझे नहीं पता कि वे एक ही समय में कई बिंगो की गणना कैसे करते हैं।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।