x 2 - 3 = sqrt(x+3). x का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए y = दोनों व्यंजक। तो, हमारे पास है:<ul><li> y = x^2 - 3</li><li> y = sqrt(x+3)</li></ul> दोनों व्यंजकों में 3 पर ध्यान दें। आइए दोनों समीकरणों को एक तरफ 3 रखकर व्यक्त करें। सबसे पहले हमारे पास है: 3 = x^2 - y अब, आइए ऊपर दिए गए दूसरे समीकरण का वर्ग करें: y^2 = x+3 3 = y^2 - x आइए 3 के लिए दोनों अभिव्यक्तियों को समान मानें: x^2 - y = y^2 - x आइये पुनः व्यवस्थित करें: x^2 - y^2 + x - y = 0 (x+y)(xy) + x - y = 0 (xy)(x+y+1) = 0 सबसे पहले आइए xy = 0 की जांच करें: xy = 0 आइए y के स्थान पर y = x^2 - 3 प्रतिस्थापित करें। एक्स - (x^2 - 3) = 0 x^2 - x - 3 = 0 पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए: x = (1 +/- sqrt(1 + 12)/2 x = (1 + sqrt(13)/2 और x = (1 - sqrt(13)/2 दूसरा, आइए x+y+1 = 0 की जांच करें: आइए y के स्थान पर y = x^2 - 3 प्रतिस्थापित करें। एक्स + (x^2 - 3) + 1 = 0 x + x^2 - 3 + 1 = 0 x^2 + x - 2 = 0 पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए: x = (-1 +/- sqrt(1 + 8)/2 x = (-1 +/- 3)/2 x = 1, x = -2 तो, हमारे चार उत्तर हैं:<ul><li> एक्स = 1</li><li> एक्स = -2</li><li> x = (1 + sqrt(13)/2 =~ 2.302776</li><li> x = (1 - sqrt(13)/2 =~ -1.302776</li></ul> मैं इस समस्या को हल करने की विधि के लिए SyberMath द्वारा YouTube वीडियो <a href="https://youtu.be/mCLIEGXy-zI?si=degaV9jEdFoW6b94&t=388">Solving x^2-3=sqrt(x+3) का</a> धन्यवाद करना चाहूँगा। इस विधि के लिए 6:28 बिंदु पर जाएँ।

त्रिज्या 1 वाले वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु परिधि का 1/3 भाग देख सकता है। बिंदु कितनी दूरी पर है? <img alt="" src="/media/content_images/737/circle-point-q.png" style="width: 462px; height: 565px;" />

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>उत्तर</button><div class='spoiler'>उत्तर ठीक 1 है। </div></div> [spoiler=समाधान] समाधान के लिए इस आरेख पर विचार करें। <img alt="" src="/media/content_images/738/circle-point-s.png" style="width: 462px; height: 565px;" /> त्रिभुज ADE पर विचार करें। हम जानते हैं:<ul><li> कोण ADE 90 डिग्री है, क्योंकि AD वृत्त की स्पर्श रेखा है।</li><li> कोण AED 60 डिग्री है, क्योंकि E पर हरे त्रिभुज का कोण 120 डिग्री (पूरे 360 का 1/3) है।</li><li> कोण EAD त्रिभुज ADE के अन्य 30 अंश के बराबर होना चाहिए।</ul> यह एक पारंपरिक 30-60-90 त्रिभुज है। हम सभी को पता होना चाहिए कि इस त्रिभुज की भुजाएँ 1, 2 और sqrt(3) के समानुपाती होती हैं। इस स्थिति में ED = 1, जैसा कि प्रश्न में दिया गया है। AE उस दूरी का दोगुना है, अर्थात 2। 2, बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की दूरी है। हमसे बिंदु से वृत्त पर स्थित निकटतम बिंदु तक की दूरी पूछी जाती है। इसलिए हम त्रिज्या घटा देते हैं। इस प्रकार, उत्तर 2-1 = 1 है। [/बिगाड़ने वाला]

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x ² - 3 = sqrt(x+3). x का मान ज्ञात कीजिए।

गुमनाम

मान लीजिए y = दोनों व्यंजक। तो, हमारे पास है:

y = x^2 - 3
y = sqrt(x+3)

दोनों व्यंजकों में 3 पर ध्यान दें। आइए दोनों समीकरणों को एक तरफ 3 रखकर व्यक्त करें। सबसे पहले हमारे पास है:

3 = x^2 - y

अब, आइए ऊपर दिए गए दूसरे समीकरण का वर्ग करें:

y^2 = x+3

3 = y^2 - x

आइए 3 के लिए दोनों अभिव्यक्तियों को समान मानें:

x^2 - y = y^2 - x

आइये पुनः व्यवस्थित करें:

x^2 - y^2 + x - y = 0

(x+y)(xy) + x - y = 0

(xy)(x+y+1) = 0

सबसे पहले आइए xy = 0 की जांच करें:

xy = 0

आइए y के स्थान पर y = x^2 - 3 प्रतिस्थापित करें।

एक्स - (x^2 - 3) = 0

x^2 - x - 3 = 0

पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए:

x = (1 +/- sqrt(1 + 12)/2

x = (1 + sqrt(13)/2 और x = (1 - sqrt(13)/2

दूसरा, आइए x+y+1 = 0 की जांच करें:

आइए y के स्थान पर y = x^2 - 3 प्रतिस्थापित करें।

एक्स + (x^2 - 3) + 1 = 0

x + x^2 - 3 + 1 = 0

x^2 + x - 2 = 0

पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए:

x = (-1 +/- sqrt(1 + 8)/2

x = (-1 +/- 3)/2

x = 1, x = -2

तो, हमारे चार उत्तर हैं:

एक्स = 1
एक्स = -2
x = (1 + sqrt(13)/2 =~ 2.302776
x = (1 - sqrt(13)/2 =~ -1.302776

मैं इस समस्या को हल करने की विधि के लिए SyberMath द्वारा YouTube वीडियो Solving x^2-3=sqrt(x+3) का धन्यवाद करना चाहूँगा। इस विधि के लिए 6:28 बिंदु पर जाएँ।

त्रिज्या 1 वाले वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु परिधि का 1/3 भाग देख सकता है। बिंदु कितनी दूरी पर है?

गुमनाम

उत्तर ठीक 1 है।

[spoiler=समाधान] समाधान के लिए इस आरेख पर विचार करें।

त्रिभुज ADE पर विचार करें। हम जानते हैं:

कोण ADE 90 डिग्री है, क्योंकि AD वृत्त की स्पर्श रेखा है।
कोण AED 60 डिग्री है, क्योंकि E पर हरे त्रिभुज का कोण 120 डिग्री (पूरे 360 का 1/3) है।
कोण EAD त्रिभुज ADE के अन्य 30 अंश के बराबर होना चाहिए।

यह एक पारंपरिक 30-60-90 त्रिभुज है। हम सभी को पता होना चाहिए कि इस त्रिभुज की भुजाएँ 1, 2 और sqrt(3) के समानुपाती होती हैं।

इस स्थिति में ED = 1, जैसा कि प्रश्न में दिया गया है। AE उस दूरी का दोगुना है, अर्थात 2।

2, बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की दूरी है। हमसे बिंदु से वृत्त पर स्थित निकटतम बिंदु तक की दूरी पूछी जाती है। इसलिए हम त्रिज्या घटा देते हैं। इस प्रकार, उत्तर 2-1 = 1 है।

[/बिगाड़ने वाला]

बॉब और टॉम एक रेल पुल पर चल रहे हैं और अपने शुरुआती बिंदु से एक-तिहाई दूरी तय कर चुके हैं। तभी उन्हें पीछे से एक रेलगाड़ी आती हुई सुनाई देती है। दोनों 5 मील प्रति घंटे की रफ़्तार से दौड़ सकते हैं। बॉब पीछे मुड़ता है और टॉम आगे दौड़ता है। दोनों एक सेकंड से भी कम समय से रेलगाड़ी से चूक जाते हैं। रेलगाड़ी की गति कितनी थी?

गुमनाम

याद रखें दूरी = गति * समय, जिसे हम d = r*t के रूप में व्यक्त करेंगे

इसे पुनः लिखते हुए: t = d/r.

पुल के आरंभ में बॉब और ट्रेन दोनों की मुलाकात का समय एक ही है:

आइये: