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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #403

एक मीटर लंबी रबर बैंड है। इसके एक सिरे पर एक चींटी बैठी है। चींटी 1 सेंटीमीटर प्रति सेकंड की गति से दूसरे सिरे तक पहुँचती है। चींटी के चलने के समय से, रबर बैंड 1 मीटर प्रति सेकंड की गति से फैलता है। चींटी को दूसरे सिरे तक पहुँचने में कितना समय लगता है?

गुमनाम

उत्तर है e 100 – 1 =~ 26,881,171,418,161,400,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 सेकंड।

यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

1 सेंटीमीटर व्यास वाले एक वृत्त पर एक चींटी है। समय t=0 से शुरू करके, चींटी परिधि के अनुदिश 1/(1+t) सेमी/सेकंड की गति से चलती है। उसे एक चक्कर पूरा करने में कितना समय लगता है?

Ace2

e^pi -1 =~ 22.140693 सेकंड.

[स्पॉइलर=समाधान]

चींटी पाई की दूरी तय कर सकती है।

कुल तय की गई दूरी निकालने का एक तरीका गति और समय का योग है। मान लीजिए उत्तर T है।

0 से T तक का समाकल 1/(1+t) dt = pi.

एकीकरण करने पर हमें प्राप्त होता है:

ln(1+T) - ln(1+0) = पाई

ln(1+T) = पाई

1+T = e^pi

टी = ई^पीआई - 1

[/बिगाड़ने वाला]

फेंटे गए डेक में एक-एक करके पत्ते तब तक पलटे जाते हैं जब तक पहली रानी नहीं आ जाती। अगला पत्ता कौन सा होगा, हुकुम की रानी या हुकुम का राजा, इसकी संभावना ज़्यादा है?

गुमनाम

मैं मानता हूं कि इस प्रश्न का मेरा प्रारंभिक उत्तर गलत था।

संभावनाएं समान हैं।

[स्पॉइलर=समाधान]

निम्न तालिका इस संभावना को दर्शाती है कि डेक में किसी भी दिए गए स्थान पर पहली रानी के बाद हुकुम की रानी है। निचले दाएँ कक्ष में यह संभावना 0.019231 = 1/52 है कि पहली रानी के बाद वाला पत्ता हुकुम की रानी है।

अगला कार्ड हुकुम की रानी

की स्थिति
प्रथम रानी		 संभावना
प्रथम रानी		 संभावना अगला
हुकुम का पत्ता Q		 उत्पाद
1 0.076923 0.014706 0.001131
2 0.072398 0.001086 0.001086
3 0.068054 0.001042 0.001042
4 0.063888 0.000998 0.000998
5 0.059895 0.000956 0.000956
6 0.056072 0.000914 0.000914
7 0.052415 0.000874 0.000874
8 0.048920 0.000834 0.000834
9 0.045585 0.000795 0.000795
10 0.042405 0.000757 0.000757
11 0.039376 0.000720 0.000720
12 0.036495 0.000684 0.000684
13 0.033758 0.000649 0.000649
14 0.031161 0.000615 0.000615
15 0.028701 0.000582 0.000582
16 0.026374 0.000549 0.000549
17 0.024176 0.000518 0.000518
18 0.022104 0.000488 0.000488
19 0.020153 0.000458 0.000458
20 0.018321 0.000429 0.000429
21 0.016604 0.000402 0.000402
22 0.014997 0.000375 0.000375
23 0.013497 0.000349 0.000349
24 0.012101 0.000324 0.000324
25 0.010804 0.000300 0.000300
26 0.009604 0.000277 0.000277
27 0.008496 0.000255 0.000255
28 0.007476 0.000234 0.000234
29 0.006542 0.000213 0.000213
30 0.005688 0.000194 0.000194
31 0.004913 0.000175 0.000175
32 0.004211 0.000158 0.000158
33 0.003579 0.000141 0.000141
34 0.003014 0.000126 0.000126
35 0.002512 0.000111 0.000111
36 0.002069 0.000097 0.000097
37 0.001681 0.000084 0.000084
38 0.001345 0.000072 0.000072
39 0.001056 0.000061 0.000061
40 0.000813 0.000051 0.000051
41 0.000609 0.000042 0.000042
42 0.000443 0.000033 0.000033
43 0.000310 0.000026 0.000026
44 0.000207 0.000019 0.000019
45 0.000129 0.000014 0.000014
46 0.000074 0.000009 0.000009
47 0.000037 0.000006 0.000006
48 0.000015 0.000003 0.000003
49 0.000004 0.000001 0.000001
कुल 1.000000 0.019231 0.019231

निम्न तालिका इस संभावना को दर्शाती है कि डेक में किसी भी दिए गए स्थान पर पहली रानी के बाद हुकुम का बादशाह है। निचले दाएँ कक्ष में यह संभावना 0.019231 = 1/52 है कि पहली रानी के बाद वाला पत्ता हुकुम का बादशाह है।

अगला कार्ड हुकुम का बादशाह

की स्थिति
प्रथम रानी		 संभावना
प्रथम रानी		 संभावना अगला
हुकुम का पत्ता Q		 उत्पाद
1 0.076923 0.019231 0.001479
2 0.072398 0.019231 0.001392
3 0.068054 0.019231 0.001309
4 0.063888 0.019231 0.001229
5 0.059895 0.019231 0.001152
6 0.056072 0.019231 0.001078
7 0.052415 0.019231 0.001008
8 0.048920 0.019231 0.000941
9 0.045585 0.019231 0.000877
10 0.042405 0.019231 0.000815
11 0.039376 0.019231 0.000757
12 0.036495 0.019231 0.000702
13 0.033758 0.019231 0.000649
14 0.031161 0.019231 0.000599
15 0.028701 0.019231 0.000552
16 0.026374 0.019231 0.000507
17 0.024176 0.019231 0.000465
18 0.022104 0.019231 0.000425
19 0.020153 0.019231 0.000388
20 0.018321 0.019231 0.000352
21 0.016604 0.019231 0.000319
22 0.014997 0.019231 0.000288
23 0.013497 0.019231 0.000260
24 0.012101 0.019231 0.000233
25 0.010804 0.019231 0.000208
26 0.009604 0.019231 0.000185
27 0.008496 0.019231 0.000163
28 0.007476 0.019231 0.000144
29 0.006542 0.019231 0.000126
30 0.005688 0.019231 0.000109
31 0.004913 0.019231 0.000094
32 0.004211 0.019231 0.000081
33 0.003579 0.019231 0.000069
34 0.003014 0.019231 0.000058
35 0.002512 0.019231 0.000048
36 0.002069 0.019231 0.000040
37 0.001681 0.019231 0.000032
38 0.001345 0.019231 0.000026
39 0.001056 0.019231 0.000020
40 0.000813 0.019231 0.000016
41 0.000609 0.019231 0.000012
42 0.000443 0.019231 0.000009
43 0.000310 0.019231 0.000006
44 0.000207 0.019231 0.000004
45 0.000129 0.019231 0.000002
46 0.000074 0.019231 0.000001
47 0.000037 0.019231 0.000001
48 0.000015 0.019231 0.000000
49 0.000004 0.019231 0.000000
कुल 1.000000 0.019231

मैं मानता हूँ कि मेरी शुरुआती प्रतिक्रिया यह थी कि हुकुम का बादशाह ज़्यादा संभावना वाला था, क्योंकि पहली रानी के हुकुम की रानी होने की एक-चौथाई संभावना होती है, ऐसे में उसे दोबारा देखने की संभावना शून्य होगी। हालाँकि, संभावनाएँ एक जैसी होने का सीधा कारण यह है कि जब पहली रानी दिखाई देती है, तो डेक में रानियाँ बहुत होती हैं। दूसरे शब्दों में, उस पहली रानी से पहले कुछ बेतरतीब पत्ते हटा दिए गए थे, जो बादशाह तो हो सकते थे, लेकिन दूसरी रानियाँ नहीं।

माइंड योर डिसीजन्स वीडियो (नीचे लिंक देखें) में इसे जिस तरह से समझाया गया है, वह इस प्रकार है।

हुकुम की रानी को छोड़कर बाकी सभी पत्तों को व्यवस्थित करने के 51! तरीके हैं। फिर हुकुम की रानी को पहली रानी के ठीक सामने रखें और आपके पास अभी भी 51! क्रम हैं। इसे 52! संभावित क्रमों से भाग देने पर, हुकुम की रानी के पहली रानी के बाद आने की प्रायिकता 51!/52! = 1/52 है।

आप भी यही काम कर सकते हैं, सिवाय इसके कि हुकुम के राजा को छोड़ दें और फिर उसे पहली रानी के सामने रख दें और फिर भी 1/52 प्राप्त करें।

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न माइंड योर डिसीजन्स यूट्यूब चैनल से लिया गया है।