जादूगर से पूछो #395

[स्पॉइलर=उत्तर]

त्रिज्या = (sqrt(3)-1)/4 =~ 0.183013.

• r = वृत्तों की त्रिज्या
• s = बड़े वर्ग के किसी भी कोने के बीच की दूरी और जहां निकटतम वृत्त उस त्रिभुज के स्पर्शरेखा है जिसमें वह अंकित है।

चित्र में त्रिभुज को देखने पर दूरियाँ इस प्रकार हैं:

• छोटा पैर = r+s
• लंबी भुजा = 3r+s
• कर्ण = 1

पाइथागोरस सूत्र का उपयोग:

(आर+एस) ² + (3आर+एस) ² = 1

आर ² + 2आरएस + एस ² + 9 ^{आर 2} + 6आरएस + एस ² = 1

10r ² + 2s ² + 8rs = 1

इसे हल करने के लिए हमें एक और समीकरण चाहिए। आइए बड़े वर्ग की लंबाई देखें, जो हमें 1 दी गई है। AB = AC। AB = 2r+s, इसलिए AC = 2r+s। बड़े वर्ग की शेष भुजा s है। इसलिए:

2आर + 2एस = 1.

2s = 1-2r

एस = 1/2 - आर

आइये इसे पाइटागोरस सूत्र से हमारे समीकरण में शामिल करें:

10r ² + 2(1/2 - r) ² + 8r(1/2 - r) = 1

10r ² + 2(1/4 - r + r ² ) + 4r - 8r ² = 1

2आर ² + 1/2 - 2आर + 2आर ² + 4आर = 1

4r ² + 2r - 1/2 = 0

8r ² + 4r - 1 = 0

द्विघात समीकरण का उपयोग करते हुए:

आर = (-4 +/- sqrt(48))/16

आर = (वर्ग(3)-1)/4 =~ 0.183013।

यह समस्या माइंड योर डिसीजन्स यूट्यूब चैनल से ली गई है। प्रेश एक ऐसा समाधान प्रस्तुत करता है जिसके लिए पाइथागोरस सूत्र की आवश्यकता नहीं है।

[/बिगाड़ने वाला]

यह समस्या मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछी गई और इस पर चर्चा की गई।

मान लीजिए कि अगर पॉइंट 4 या 10 है, तो खिलाड़ी केवल जीत पर ही 5% कमीशन देता है। हम वेगास के नियम का पालन करेंगे, जहाँ कम आउट रोल पर 12 का होना "डोंट पास बेट" पर पुश माना जाता है (उत्तरी नेवादा में वे 2 पर पुश करते हैं)। इसके बाद, यहाँ सभी संभावित परिणाम दिए गए हैं:

• 2 या 3 का रोल आने पर: खिलाड़ी पास न होने की शर्त पर एक यूनिट जीतता है।
• 12 का रोल आउट: खिलाड़ी पास न होने की शर्त पर आगे बढ़ता है।
• 7 या 11 का रोल आने पर: खिलाड़ी पास न होने की शर्त पर हार जाता है।
• 4 या 10 अंक और अंक जीत: खिलाड़ी खरीद दांव पर 1.95 यूनिट जीतता है और पास न करने पर एक यूनिट खो देता है, जिससे उसे 0.95 यूनिट की शुद्ध जीत मिलती है।
• 5 या 9 अंक और अंक जीत: खिलाड़ी प्लेस बेट पर 1.4 यूनिट जीतता है और पास न करने पर एक यूनिट हारता है, जिससे उसे 0.4 यूनिट की शुद्ध जीत मिलती है।
• 6 या 8 अंक और अंक जीत: खिलाड़ी प्लेस बेट पर 7/6 यूनिट जीतता है और पास न करने पर एक यूनिट हारता है, जिससे उसे 1/6 यूनिट की शुद्ध जीत मिलती है।
• 4 या 10 अंक होने पर अंक की हानि: खिलाड़ी खरीद दांव पर 1 इकाई खो देता है तथा नेट पुश के लिए पास न करने पर एक इकाई जीतता है।
• 5 या 9 का अंक और अंक की हानि: खिलाड़ी प्लेस बेट पर 1 यूनिट खो देता है और नेट पुश के लिए पास न करने पर एक यूनिट जीतता है।
• 6 या 8 का अंक और अंक की हानि: खिलाड़ी प्लेस बेट पर 1 यूनिट खो देता है और नेट पुश के लिए पास न करने पर एक यूनिट जीतता है।

निम्नलिखित तालिका सभी संभावित परिणामों का सारांश प्रस्तुत करती है। तालिका सभी संभावित परिणामों की संभावना, जीत और प्रतिफल में योगदान दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में 0.02951 इकाइयों की अपेक्षित हानि दर्शाई गई है।

इस रणनीति का अपेक्षित मूल्य नकारात्मक होने का कारण कम आउट रोल है। 2 या 3 पर जीतने के 3 तरीके हैं और 7 या 11 पर हारने के 8 तरीके हैं। यह सच है कि अगर खिलाड़ी कम आउट रोल पर बच जाता है तो उसके पास सकारात्मक इक्विटी होती है, लेकिन यह कम आउट रोल पर अपेक्षित नुकसान की भरपाई के लिए पर्याप्त नहीं है।

यह एक क्लासिक बायेसियन प्रायिकता प्रश्न है।

यदि वह "नहीं" में उत्तर देती है, तो उसके पागल होने की संभावना 9/47 = 19.15% है।

यदि वह "हाँ" में उत्तर देती है, तो उसके पागल होने की संभावना 1/3 = 33.33% है।

"यदि A तो B" के रूप में व्यक्त प्रश्नों के उत्तर का सूत्र प्रायिकता (A और B दोनों)/प्रायिकता (B) है।

"नहीं" उत्तर के मामले में, उसके पागल होने की संभावना (0.2*0.9)/(0.2*0.9 + 0.8*0.95) = 0.18/0.94 = 9/47 है।

"हाँ" उत्तर के मामले में, उसके पागल होने की संभावना (0.2*0.1)/(0.2*0.1 + 0.8*0.05) = 0.02/0.06 = 1/3 है।