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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #382

लगातार पांच लाल या पांच काले कार्ड प्राप्त करने के लिए अपेक्षित स्पिन की संख्या क्या है?

गुमनाम

उत्तर है 4,592,395/118,098 =~ 38.886306 स्पिन.

यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

मान लीजिए कि एक ब्लैकजैक प्रमोशन चल रहा था जिसमें कम से कम पाँच पत्तों से बने 21 अंक पाने पर एक बड़ा इनाम रखा गया था। 21 में जितने ज़्यादा पत्ते होंगे, इनाम उतना ही ज़्यादा होगा। अगर खिलाड़ी की "21 या बस्ट" रणनीति हो, तो पत्तों की संख्या के हिसाब से 21 अंक पाने की संभावना क्या होगी?

tooncestdc

निम्नलिखित तालिका छह-डेक वाले जूते से खेले गए 60.5 अरब से ज़्यादा हाथों के सिमुलेशन के परिणाम दर्शाती है। व्युत्क्रम स्तंभ व्युत्क्रम प्रायिकता दर्शाता है। उदाहरण के लिए, छह-कार्ड वाले 21 की प्रायिकता 280 में 1 है।

21 या बस्ट

21 में कार्ड गिनती करना संभावना श्लोक में
छाती 52,104,124,978 0.85994880549 1.16
3 4,759,037,984 0.07854520216 13
4 2,557,594,660 0.04221163821 24
5 908,819,311 0.01499954334 67
6 216,326,234 0.00357034086 280
7 38,049,196 0.00062798024 1,592
8 5,220,188 0.00008615622 11,607
9 572,119 0.00000944250 105,904
10 50,292 0.00000083004 1,204,760
11 3,487 0.00000005755 17,375,910
12 192 0.00000000317 315,571,868
13 14 0.00000000023 4,327,842,761
कुल 60,589,798,655 1.00000000000

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

8 / 2 * (2+2) =

गुमनाम

सबसे पहले आप कोष्ठक में जो लिखा है उसका मूल्यांकन करें, जो कि 2+2 = 4 है। ऐसा करने के बाद हम इस स्थिति पर पहुँचते हैं:

8 / 2 * 4 =

इसके बाद, हम गुणा और भाग करते हैं। अगर ऐसी एक से ज़्यादा संक्रियाएँ हैं, तो हम पहले बाईं ओर से शुरू करते हैं, यानी भाग। इस तरह, हम 8/2 = 4 का मान निकालते हैं। इसके बाद, हम इस स्थिति पर पहुँचते हैं:

4 * 4 = 16

मैंने फ़ेसबुक पर यह प्रश्न देखा था जहाँ 1 सबसे ज़्यादा बार गलत उत्तर दिया गया था। मैं इसके लिए PEMDAS (प्लीज़ एक्सक्यूज़ माई डियर आंटी सैली) नियम को ज़िम्मेदार ठहराता हूँ। यह नियम गलत तरीके से बताता है कि संक्रियाओं का क्रम इस प्रकार है: कोष्ठक, घातांक, भाग, गुणा, भाग, जोड़, घटाव।

वास्तविक क्रम में भाग और गुणा के साथ-साथ जोड़ और घटाव भी समान रूप से होते हैं। जब आपको समान प्राथमिकता वाले एक ही समीकरण में दो संक्रियाएँ दिखाई दें, तो बाएँ से दाएँ जाएँ।

एक केक वाली पार्टी में 100 गणितज्ञ मौजूद हैं। गणितज्ञ एक-एक टुकड़ा पाने के लिए कतार में खड़े हैं।

  • पहला गणितज्ञ केक का 1% हिस्सा ले लेता है।
  • दूसरा गणितज्ञ पहले गणितज्ञ के बाद जो बचता है उसका 2% लेता है।
  • तीसरा गणितज्ञ पहले दो गणितज्ञों के बाद जो बचता है उसका 3% लेता है।
  • चौथा गणितज्ञ पहले तीन गणितज्ञों के बाद जो बचता है उसका 4% लेता है।

यह तब तक चलता रहता है जब तक कि 100वां गणितज्ञ, अन्य 99 गणितज्ञों के बाद बचे हुए भाग का 100% नहीं ले लेता।

कौन सा गणितज्ञ सबसे ज़्यादा केक जीतेगा? कैलकुलेटर की अनुमति नहीं है!

PT

आइए देखें कि पहले पांच गणितज्ञों को कितना मिलेगा:

  1. 1%
  2. 99% * 2%
  3. 99% * 98% * 3%
  4. 99% * 98% * 97% * 4%
  5. 99% * 98% * 97% * 96% * 5%

मान लीजिये f(x) = केक गणितज्ञ x को मिलता है।

हम पैटर्न में देख सकते हैं कि f(x) = f(x-1) / ((x-1)/100) * (1 - ((x-1)/100)) * (x/100)

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

f(x) = f(x-1) * (100/(x-1)) * ((101-x)/100) * (x/100)

सरलीकरण:

f(x) = f(x-1) * (101-x)/(x-1) * (x/100)

मान लीजिए y = f(x) जहाँ f(x) = f(x-1)

y = y * (101-x)/(x-1) * (x/100)

दोनों पक्षों को y से विभाजित करें।

1 = (101-x)/(x-1) * (x/100)

100*(x-1) = x * (101-x)

100x - 100 = 101x - x^2

x^2 - x - 100 = 0

पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए, x = (1 + sqrt(401))/2 =~ 10.512.

ज़ाहिर है, शेयर पहले बढ़ते हैं और फिर घटते हैं। सवाल यह है कि उस आखिरी गणितज्ञ को ढूँढ़ना है जिसे पिछले वाले से ज़्यादा मिलता है।

ऊपर दिए गए x के मान को हल करके, हम दिखाते हैं कि पहले 10 गणितज्ञों में से प्रत्येक को अंतिम गणितज्ञ से ज़्यादा हिस्सा मिलता है। हालाँकि, चूँकि 11 > 10.512 है, इसलिए गणितज्ञ 11 को गणितज्ञ 10 से कम हिस्सा मिलता है।

इस प्रकार, गणितज्ञ 10 को सबसे बड़ा हिस्सा मिलता है।

यहां पहले 20 का हिस्सा दिया गया है (कैलकुलेटर का उपयोग करके)।

  • गणितज्ञ 1 = 0.01
  • गणितज्ञ 2 = 0.0198
  • गणितज्ञ 3 = 0.029106
  • गणितज्ञ 4 = 0.03764376
  • गणितज्ञ 5 = 0.045172512
  • गणितज्ञ 6 = 0.0514966637
  • गणितज्ञ 7 = 0.0564746745
  • गणितज्ञ 8 = 0.0600245112
  • गणितज्ञ 9 = 0.0621253691
  • गणितज्ञ 10 = 0.062815651
  • गणितज्ञ 11 = 0.0621874944
  • गणितज्ञ 12 = 0.0603784037
  • गणितज्ञ 13 = 0.0575607449
  • गणितज्ञ 14 = 0.0539299902
  • गणितज्ञ 15 = 0.0496926338
  • गणितज्ञ 16 = 0.0450546547
  • गणितज्ञ 17 = 0.0402112793
  • गणितज्ञ 18 = 0.0353386184
  • गणितज्ञ 19 = 0.0305875375
  • गणितज्ञ 20 = 0.0260799004

यह समस्या मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछी गई और चर्चा की गई।

यह समस्या माइंड योर डिसीजन्स से ली गई है।