जादूगर से पूछो #374

डोमिनोज़ से परिचित न होने वालों के लिए, डोमिनोज़ के दो पहलू होते हैं, प्रत्येक पर 0 से 6 तक की संख्याएँ अंकित होती हैं। प्रत्येक संभावित डोमिनोज़ का एक सेट होता है। यानी कुल 7 में से बिना प्रतिस्थापन के, संख्याएँ चुनने के 21 तरीके, और दोनों संख्याओं को एक ही तरफ रखने के सभी 7 तरीके।

यहां उनमें से सभी 28 हैं: 0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-2-2, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6, 4-4, 4-5, 4-6, 5-5, 5-6, 6-6।

इस स्पष्टीकरण के बाद, यहां उत्तर और समाधान दिया गया है।

प्रश्न को सरल शब्दों में इस प्रकार लिखें: यादृच्छिक रूप से चुने गए डोमिनोज़ के दोनों ओर एक ही संख्या होने की क्या प्रायिकता है? इसका उत्तर है 7/28 = 1/4.

आप कह सकते हैं कि उत्तर 1/7 होना चाहिए, क्योंकि दूसरी तरफ़ सात संभावित संख्याओं में से कोई भी हो सकती है। यह सच है कि यह सात संख्याओं में से कोई भी हो सकती है, लेकिन सभी समान रूप से संभावित नहीं हैं। 6-6 डोमिनोज़ को दो बार गिना जाना चाहिए, क्योंकि इसमें दो तरफ़ एक छक्का है। इसलिए, दूसरी तरफ़ दो छक्कों में से कोई भी हो सकता है और सेट में कुल आठ छक्के हैं। इस प्रकार उत्तर 2/8 = 1/4 है।

यह प्रश्न मेरे फ़ोरम विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में पूछा और चर्चा किया गया है। यह प्रश्न एलन मेंडेलसन की स्मृति को समर्पित है।

एलन और बॉब तब तक टेनिस खेलने का फैसला करते हैं जब तक कि उनमें से कोई एक लगातार दो गेम नहीं जीत लेता। एलन के किसी भी दिए गए गेम को जीतने की संभावना 2/3 है। एलन के टूर्नामेंट जीतने की संभावना क्या है?

एलन के किसी व्यक्तिगत खेल को जीतने की किसी भी संभावना के लिए निम्नलिखित समाधान दिया गया है।

मान लें कि p = प्रायिकता a की जीत है।
मान लें कि a = एलन द्वारा अंतिम गेम जीतने के बाद एलन द्वारा टूर्नामेंट जीतने की संभावना।
मान लीजिए b = संभावना है कि बॉब के अंतिम गेम जीतने के बाद एलन टूर्नामेंट जीतेगा।

(1) ए = पी + (1-पी)*बी
(2) बी = पी*ए

समीकरण (2) को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर:

a = p + (1-p)*pa
ए = पी + पा - पी ² *ए
a - pa + p ² *a = p
ए(1-पी+पी ² ) = पी
(3) a = p/(1-p+p ² )

समीकरण (3) को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर:

बी = पी ² /(1-पी+पी ² )

पहला गेम यह निर्धारित करेगा कि टूर्नामेंट जीतने की संभावना a है या b:

उत्तर = pa + (1-p)b
= पी ² /(1-पी+पी ² ) + (1-पी)*पी ² /(1-पी+पी ² )
= (2a ² -a ³ )/(a ² -a+1)

a=2/3 लगाने पर टूर्नामेंट जीतने की संभावना 16/21 आती है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

सिद्धांत रूप में, पहली बारी के 3 ⁵ = 243 संभावित परिणाम हैं। अगर मैं केवल उन्हीं परिणामों पर ध्यान केंद्रित करूँ जहाँ पीले और हरे कार्डों का योग 0 से 2 है, तो मुझे माफ़ करना। मैं अपनी सलाह को इस आधार पर श्रेणियों में बाँटूँगा कि खिलाड़ी को पहली बारी में कितने पीले और हरे कार्ड मिले। मैं अपने विश्लेषण के अनुसार, साथ ही अपनी व्यक्तिगत पसंद के अनुसार, दस सर्वोत्तम स्वीकार्य शब्दों का उल्लेख करूँगा, जो सूची में उनके स्थान और न्यूयॉर्क टाइम्स द्वारा उस शब्द को चुने जाने की संभावना के बारे में मेरी राय को ध्यान में रखते हैं। कुछ मामलों में, ऐसे कोई शब्द नहीं थे जो किसी विशेष स्कोर के अनुकूल हों। ऐसे मामलों में, मैंने उस पंक्ति के लिए "X" चिन्ह लगाया।

एक तर्क यह दिया जा सकता है कि एक हरे रंग के साथ, पाँच नए अक्षरों के साथ एक जाँच-पड़ताल करनी चाहिए। अगर आप ऐसा करते हैं, तो मैं DOILY का विकल्प चुनूँगा। सच कहूँ तो, मुझे समझ नहीं आ रहा है कि आपको 2 के संभावित स्कोर पर जाना चाहिए या सुरक्षित खेलते हुए पाँचवाँ अक्षर आज़माना चाहिए।