जादूगर से पूछो #371

जो लोग रैंक्ड चॉइस चुनावों की कार्यप्रणाली से परिचित नहीं हैं, उनके लिए:

1. मतदाताओं से उनकी पसंद को प्रथम से अंतिम तक क्रमबद्ध करने के लिए कहा जाता है।
2. यदि किसी भी उम्मीदवार को बहुमत प्राप्त हो जाता है, तो वह जीत जाता है।
3. अन्यथा, अंतिम स्थान पर आने वाला उम्मीदवार बाहर हो जाता है। सभी मतों के आधार पर, हारने वाले उम्मीदवार से पीछे रहने वाले सभी उम्मीदवार वरीयता क्रम में एक पायदान ऊपर आ जाते हैं।
4. मतों की पुनः गणना की जाती है।
5. चरण 2 पर वापस जाएं, जब तक कि किसी को बहुमत न मिल जाए।

*: "वह" इस्तेमाल करने के लिए माफ़ कीजिए। मेरा मतलब सचमुच "वह या वह" है, लेकिन हर बार जब मुझे सर्वनाम इस्तेमाल करना होता है, तो मुझे इसे इस तरह लिखना पसंद नहीं आता। मैं "वे" के इस्तेमाल को भी गलत व्याकरण मानता हूँ, क्योंकि "वे" को बहुवचन सर्वनाम माना जाता है।

उदाहरण के लिए, एक ऐसी जगह पर विचार करें जहाँ 11 मतदाता और चार उम्मीदवार हैं। ग्यारह मतदाता अपने उम्मीदवारों को इस प्रकार रैंक करते हैं:

मतदान के प्रथम दौर में प्रथम स्थान प्राप्त मतों की गणना निम्नलिखित है:

किसी को भी पहले स्थान के लिए ज़्यादा वोट नहीं मिले, इसलिए हारने वाला उम्मीदवार D बाहर हो गया। उसके वोट लगभग खत्म हो गए, और रैंक क्रम में उसके पीछे का हर उम्मीदवार एक स्थान ऊपर चला गया, जो इस प्रकार है:

दूसरे चरण के मतदान में प्रथम स्थान प्राप्त मतों की गणना निम्नलिखित है:

दूसरे दौर में किसी को भी पहले स्थान के लिए ज़्यादा वोट नहीं मिले, इसलिए हारने वाला उम्मीदवार C बाहर हो गया। उसके बाहर होने के बाद, तीसरे दौर के वोट इस तरह दिखते हैं:

दूसरे चरण के मतदान में प्रथम स्थान प्राप्त मतों की गणना निम्नलिखित है:

इस प्रकार, बी, तीसरे दौर के मतदान में छह वोटों से चुनाव जीत जाता है।

आपके प्रश्न का उत्तर यह है कि 22 उम्मीदवारों और 2,00,000 वोटों के साथ, एक उम्मीदवार केवल दो वोटों से प्रथम स्थान पर जीत सकता है। ऐसा कई तरीकों से हो सकता है। उदाहरण के लिए, प्रथम स्थान के वोटों का योग निम्नलिखित है:

यदि दो प्रथम वोटों वाले P के अलावा अन्य सभी लोग उम्मीदवार P को अपनी दूसरी पसंद के रूप में चुनेंगे, तो उम्मीदवार P जीत जाएगा।

दरअसल, P को हर समय दूसरे स्थान पर रहने की ज़रूरत नहीं होगी। P केवल उन छह वोटों के लिए दूसरे स्थान पर हो सकता है जो Q, R, S, T, U, और V को पहले स्थान पर रखते हैं। उसके बाद, अगर पिछले निष्कासित उम्मीदवार रैंक चॉइस में उससे आगे होते हैं, तो P को कोई नुकसान नहीं होगा।

यहां मेरा पूरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

नहीं।

पंखों वाले सींग वाले घोड़े को सेराप्टर, पेगाकॉर्न, एलिकॉर्न या यूनिसस कहते हैं। आपने ऐसा नहीं पूछा, बल्कि बिना सींग वाले पंखों वाले घोड़े को पेगासस कहते हैं (मुझे ऐसा सिर्फ़ एक ही मामला पता है)। यूनिकॉर्न के सींग तो होते हैं, लेकिन पंख नहीं होते।

दिलचस्प बात यह है कि परिवार के आकार की परवाह किए बिना, यह संभावना दोनों लिंगों के लिए समान है।

उदाहरण के लिए, आइए तीन लोगों के परिवार पर नज़र डालें। लड़के और लड़कियों को क्रम के अनुसार व्यवस्थित करने के आठ संभावित तरीके इस प्रकार हैं:

बीबीबी
बीबीजी
बी जी बी
बीजीजी
जीबीबी
जीबीजी
जीजीबी
जीजीजी

अगर आप ऊपर दी गई सूची में से किसी भी लड़की को यादृच्छिक रूप से चुनें, तो आप देखेंगे कि 12 लड़कियों में से 9 की बहनें हैं। यही बात 12 लड़कों के लिए भी लागू होती है, जिनमें से 9 की बहनें हैं। इसलिए, संभावना 9/12 = 3/4 है।

किसी भी बच्चे की बहन होने की संभावना का सामान्य सूत्र, जहाँ बच्चों की संख्या n है, 1-(1/2) ^n-1 है।

परिवार में कुल बच्चों की संख्या के आधार पर बहन होने की संभावना इस प्रकार है:

• 1: 0
• 2: 1/2
• 3: 3/4
• 4: 7/8
• 5: 15/16
• 6: 31/32

वैकल्पिक रूप से, यह समझ में आता है कि लड़के और लड़कियों के लिए संभावना समान होगी। आपके भाई-बहनों का लिंग आपके लिंग से संबंधित नहीं है। इसलिए, केवल परिवार का आकार मायने रखता है, आपका अपना लिंग नहीं।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।