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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #369

x के लिए हल करें:

9 x + 12 x = 16 x

गुमनाम

[स्पॉइलर=उत्तर]=(लॉग(1+SQRT(5))-लॉग(2))/(लॉग(4)-लॉग(3)) =~ 1.67272093446233. [/स्पॉइलर]

यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह समस्या मेरे फोरम Wizard of Odds में पूछी गई और इस पर चर्चा की गई।

यह समस्या एक कठिन घातांकीय प्रश्न वीडियो से प्रेरित थी।

एक दस-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जैसे कि:

  • संख्या का पहला अंक पूरी संख्या में 0 की संख्या है।
  • संख्या का दूसरा अंक पूरी संख्या में 1 की संख्या है।
  • संख्या का तीसरा अंक पूरी संख्या में 2 की संख्या है।
  • संख्या का चौथा अंक पूरी संख्या में 3 की संख्या है।
  • संख्या का 5वां अंक पूरी संख्या में 4 की संख्या है।
  • संख्या का छठा अंक पूरी संख्या में 5 की संख्या है।
  • संख्या का 7वां अंक पूरी संख्या में 6 की संख्या है।
  • संख्या का 8वां अंक पूरी संख्या में 7 का अंक है।
  • संख्या का 9वां अंक पूरी संख्या में 8 की संख्या है।
  • संख्या का 10वाँ अंक पूरी संख्या में 9 का अंक है।

गुमनाम

6,210,001,000

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

एक दुष्ट वार्डन 100 कैदियों को इकट्ठा करता है और प्रत्येक को 1 से 100 तक एक विशिष्ट संख्या देता है।

दूसरे कमरे में 100 नंबर वाले डिब्बे हैं। वार्डन 1 से 100 नंबर वाले कागज़ के टुकड़े लेता है और उन्हें बेतरतीब ढंग से हर डिब्बे में एक टुकड़ा रखता है।

अगले दिन, कैदियों को एक-एक करके बॉक्स रूम में जाने दिया जाएगा। प्रत्येक कैदी 50 बॉक्स खोल सकता है। अगर किसी कैदी को अपना नंबर मिल जाता है (उदाहरण के लिए, कैदी 23 को 23 नंबर वाला बॉक्स मिल जाता है), तो वह "सफल" माना जाएगा और अगर उसे 50वें खुलने से पहले वह मिल जाता है, तो वह जल्दी निकल सकता है। निकास द्वार से अलग एक अलग दरवाजे से होता है। जिन कैदियों की बारी अभी तक नहीं आई है, उन्हें किसी भी पिछले कैदी के परिणाम की जानकारी नहीं होगी।

यदि सभी 100 कैदी सफल हो जाते हैं, तो उन्हें रिहा कर दिया जाएगा। हालाँकि, यदि एक या अधिक असफल होते हैं, तो उन्हें तुरंत मौत की सज़ा दी जाएगी।

कैदियों को रणनीति बनाने के लिए एक दिन साथ रहने की अनुमति है। एक बार जब पहला कैदी बॉक्स रूम में प्रवेश कर जाता है, तो आगे कोई बातचीत नहीं होती। बातचीत के उदाहरणों में कागज़ों को इधर-उधर करना और ढक्कन खुले छोड़ना शामिल है, लेकिन यह इन्हीं तक सीमित नहीं है। अगर किसी भी तरह की बातचीत का पता चलता है, तो सभी कैदियों को तुरंत मौत की सज़ा दी जाएगी।

कौन सी रणनीति उनके मुक्त होने की संभावना को अधिकतम करेगी?

गुमनाम

सफलता की अधिकतम संभावना लगभग 31.18278207% है

[स्पॉइलर=केवल रणनीति]

सामान्य विचार यह है कि अगर कम से कम एक कैदी असफल होता है, तो कई कैदी भी असफल हो सकते हैं, क्योंकि सभी के लिए अंतिम परिणाम मृत्यु ही है। इसलिए, एक अच्छी रणनीति कई असफलताओं की उच्च संभावना की कीमत पर सभी की सफलता की संभावना को अधिकतम करेगी।

एक रणनीति पर विचार करें जिसमें खिलाड़ी कोई भी डिब्बा खोलता है। फिर वह उसमें रखे कागज़ पर लिखी संख्या पढ़ता है और फिर उस डिब्बे को दूसरी बार खोलता है। फिर वह दूसरे डिब्बे में रखे कागज़ को पढ़ता है और उस संख्या वाले डिब्बे को तीसरी बार खोलता है। अगर वह इस प्रक्रिया को दोहराता रहता है, तो अंततः वह उसी डिब्बे में वापस पहुँच जाएगा जहाँ से उसने शुरुआत की थी।

यदि खिलाड़ी इस रणनीति का पालन करता है और उसका अपना नंबर भी संख्याओं के उस चक्र में कहीं है, तो वह अंततः उसे ढूंढ लेगा, बशर्ते कि उसके द्वारा खोले जाने वाले बक्सों की कोई सीमा न हो।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि खिलाड़ी को अंततः अपना नंबर मिल ही जाए, वह अपने नंबर से शुरुआत कर सकता है। इस तरह, वह अंततः उस नंबर पर वापस आ जाएगा, हालाँकि इसमें 1 से 100 बॉक्स खोलने तक का समय लग सकता है।

बक्सों का वह समूह जहाँ यह रणनीति अंततः पहले बॉक्स पर वापस ले जाती है, बंद लूप कहलाता है। बंद लूप में बक्सों की संख्या ही लूप का आकार होती है।

इस समस्या की कुंजी यह है कि यदि 50 से अधिक आकार का कोई बंद लूप नहीं है तो प्रत्येक कैदी सफल होगा।

[/बिगाड़ने वाला]

[स्पॉइलर=समाधान]

अगर 100 का एक बंद लूप है, तो कैदी फेल हो जाएँगे। इसकी संभावना क्या है? 99/100 संभावना है कि पहला बॉक्स खुद तक नहीं पहुँचता। अगर वह खुद तक नहीं पहुँचता, तो 98/99 संभावना है कि दूसरा बॉक्स मूल संख्या तक नहीं पहुँचता। अगर वह बॉक्स खुद तक नहीं पहुँचता, तो 97/98 संभावना है कि अगला बॉक्स खुद तक नहीं पहुँचता। इस तर्क को आगे बढ़ाते हुए, (99/100)*(98/99)*(97/88)*...*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/100 संभावना है कि 100 आकार का एक बंद लूप है।

99 के बंद लूप के बारे में क्या? 99 के बंद लूप के साथ, 1 का एक और बंद लूप होगा। एक का वह बंद लूप 100 बक्सों में से कोई भी हो सकता है। किसी भी एक बक्से के लिए, उसके अपने ही बक्से की ओर जाने की 1/100 संभावना है। बाकी 99 के लिए, 100 के बंद लूप के लिए ऊपर दिए गए तर्क के अनुसार, उनके बंद लूप बनाने की 1/99 संभावना है। इसलिए, 99 के बंद लूप की प्रायिकता 100 × (1/100) और (1/99) = 1/99 है।

98 के बंद लूप के बारे में क्या? 98 के बंद लूप में, दो और बॉक्स होंगे जो किसी न किसी तरह एक-दूसरे से जुड़ेंगे, या तो एक के दो बंद लूप या दो का एक बंद लूप। एक का वह बंद लूप 100 बॉक्सों में से कोई भी हो सकता है। किसी भी एक बॉक्स के लिए, उसके खुद की ओर जाने की 1/100 संभावना है। बाकी 99 के लिए, 100 के बंद लूप के लिए ऊपर दिए गए तर्क के अनुसार, उनके एक बंद लूप बनाने की 1/99 संभावना है। इसलिए, 99 के बंद लूप की प्रायिकता 100 × (1/100) × (1/99) = 1/99 है।

98 के बंद लूप के बारे में क्या? 98 के बंद लूप में, दो और बॉक्स होंगे जो किसी न किसी तरह एक-दूसरे से जुड़ेंगे, या तो एक के दो बंद लूप या दो का एक बंद लूप। 100 में से दो बॉक्स चुनने के लिए संयुक्त(100,2)=4,950 तरीके हैं। एक बार दो बॉक्स चुन लिए जाने पर, उन दो बॉक्सों के अंदर मौजूद कागज़ों के उनके बॉक्स नंबर से मेल खाने की प्रायिकता, किसी भी विन्यास में, 4,950 में से (2/100)*(1/99) = 1 है। तो अन्य 98 के एक बंद लूप बनाने की प्रायिकता 1/98 है। तो, 98 के बंद लूप की प्रायिकता (4950)*(1/4950)*(1/98) = 1/98 है।

हम इस तर्क का अनुसरण करते हुए 51 के बंद लूप तक जा सकते हैं, जिसकी प्रायिकता 1/51 है।

असफलता की संभावना pr(100 का बंद लूप) + pr(99 का बंद लूप) + pr(98 का बंद लूप) + ... + pr(51 का बंद लूप) = 1/100 + 1/99 + 1/98 + 1/97 + ... + 1/51 =~ 0.6881721793 है।

यदि असफलता की संभावना 0.688172179 है, तो सफलता की संभावना 1 - 0.6881721793 =~ 0.3118278207 है।

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

यह प्रश्न इस वेरिटासियम वीडियो से प्रेरित था।

आपके 100 कर्मचारियों का कार्यालय एक सीक्रेट सांता उपहार विनिमय करता है। इसमें आप कागज़ के अलग-अलग टुकड़ों पर सबके नाम लिखते हैं, उन्हें एक टोपी में डालते हैं, और हर कोई उपहार देने के लिए यादृच्छिक रूप से एक नाम चुनता है।

प्रश्न यह है कि औसतन कितने बंद लूप होंगे?

आकार 4 के बंद लूप का उदाहरण: गॉर्डन डॉन को देता है, डॉन जॉन को देता है, जॉन नाथन को देता है, और नाथन गॉर्डन को देता है।

अपना स्वयं का नाम बनाना आकार 1 का एक बंद लूप होगा।

गुमनाम

(1/1) + (1/2) + (1/3) + ... + (1/100) =~ 5.187377518.

[स्पॉइलर=समाधान]

मान लीजिए कि सीक्रेट सांता पार्टी में सिर्फ़ एक कर्मचारी आता है। ज़ाहिर है, वह खुद ही पार्टी चुनेगा, तो यह एक बंद लूप है।

फिर एक दूसरा कर्मचारी देर से आता है और शामिल होने के लिए कहता है। वे उसे अब दो कर्मचारियों की सूची देते हैं। 1/2 संभावना है कि वह कर्मचारी 1 को चुनेगी और 1/2 संभावना है कि वह खुद भी चुनेगी। अगर वह कर्मचारी 1 को चुनती है, तो उसे कर्मचारी 1 के लिए खरीदारी करने वाले के साथ जोड़ा जा सकता है, जहाँ वह कर्मचारी 1 के लिए खरीदारी करती है और कर्मचारी 1 उसके लिए खरीदारी करता है। तो, अब हम 1 + 0.5*1 = 1.5 पर हैं।

फिर एक तीसरा कर्मचारी देर से आता है और शामिल होने के लिए कहता है। वे उसे अब तीन कर्मचारियों की सूची देते हैं। 2/3 संभावना है कि वह कर्मचारी 1 या 2 को चुनेगी और 1/3 संभावना है कि वह खुद भी चुनेगी। अगर वह कर्मचारी 1 या 2 को चुनती है, तो उसे उनके चक्र में शामिल किया जा सकता है, जहाँ वह अपने चुने हुए कर्मचारी के लिए खरीदारी करती है और जो व्यक्ति पहले उस कर्मचारी के लिए खरीदारी करने वाला था, वह अब तीन कर्मचारियों के लिए खरीदारी करता है। तो, अब हम 1.5 + (1/3) = 11/6 पर हैं।

फिर एक चौथा कर्मचारी देर से आता है और शामिल होने के लिए कहता है। वे उसे अब चार कर्मचारियों की सूची देते हैं। 3/4 संभावना है कि वह कर्मचारी 1 से 3 को चुनेगी और 1/4 संभावना है कि वह खुद भी चुनेगी। अगर वह कर्मचारी 1 से 3 को चुनती है, तो उसे उनके साथ जोड़ा जा सकता है, जहाँ वह अपने चुने हुए कर्मचारी के लिए खरीदारी करती है और जो व्यक्ति पहले उस कर्मचारी के लिए खरीदारी करने वाला था, वह अब चार के लिए खरीदारी करता है। तो, अब हम 11/6 + (1/4) = 25/12 पर पहुँच गए हैं।

ऐसा करते रहें और अंतिम उत्तर 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 =~ 5.187377518 होगा।

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।