जादूगर से पूछो #359

आइए इसे "प्रतिस्थापन के साथ" मानकर हल करने का प्रयास करें। मान लीजिए कि r, b, और g क्रमशः लाल, नीले और हरे कंचों की संख्या हैं। तब, प्रत्येक रंग का एक कंचा निकालने की प्रायिकता 6*(r/100)*(b/100)*(g/100) होगी। इसे 0.2 के बराबर रखते हुए, हम कह सकते हैं:

6*(आर/100)*(बी/100)*(जी/100) = 0.2
6*आर*बी*जी = 200000 ​

6, 200,000 में समान रूप से विभाजित नहीं होता है। इस प्रकार, r*b*g = 33333.333... के लिए कोई पूर्णांक हल संभव नहीं है। इसलिए, हम प्रतिस्थापन के साथ आरेखण की स्थिति को समाप्त कर सकते हैं।

अब, आइए "बिना प्रतिस्थापन" वाली धारणा को आज़माएँ। इस स्थिति में, प्रत्येक रंग का एक-एक चित्र बनाने की प्रायिकता r*b*g/combin(100,3) = 0.2 है। इसका हल निकालने का प्रयास कर रहे हैं...

आर*बी*जी/161700 = 0.2
आर*बी*जी = 32340

32340 का अभाज्य गुणनखंड 2*2*3*5*7*7*11 है।

हमें इन कारकों को r, b और g के बीच बाँटना होगा, जबकि r+b+g=100 रखना होगा। उदाहरण के लिए, हम यह कोशिश कर सकते हैं:

आर = 2*3*5 = 30
बी = 2*11 = 22
जी = 7*7 = 49

यद्यपि ये सभी अभाज्य गुणनखंडों का सही उपयोग करते हैं, r+b+g = 101, अतः यह वैध समाधान नहीं है।

मुझे डर है कि मुझे किसी भी क्रम में 21, 35, और 44 के मान वाले r, b, और g का हल प्राप्त करने के लिए एक क्रूर बल लूपिंग प्रोग्राम लिखना पड़ा।

4 पर जीतने की संभावना 3/(3+6) = 3/9 = 1/3 है। 4 पर लगाई गई शर्त 9 से 5 के अनुपात में मिलती है, इसलिए अगर वह शर्त जीत जाती है, तो आपके पास कुल $9 + $5 = $14 होंगे।

इसके बाद, खिलाड़ी 5 पर अपनी बाज़ी में $1 जोड़कर कुल $15 कमाता है। 5 पर जीतने की संभावना 4/(4+6) = 4/10 = 2/5 है। 5 पर लगाई गई बाज़ी 7 से 5 के अनुपात में मिलती है, इसलिए अगर वह बाज़ी जीत जाती है, तो आपके पास कुल $21 + $15 = $36 होंगे। कम से कम इतनी दूर तक पहुँचने की संभावना (1/3)*(2/5) = 13.33% है।

इसके बाद, खिलाड़ी 6 पर $36 का दांव लगाता है। 6 पर जीतने की संभावना 5/(5+6) = 5/11 है। 6 पर लगाई गई शर्त 7 से 6 के अनुपात में भुगतान करती है, इसलिए अगर वह शर्त जीत जाती है, तो आपके पास कुल $42 + $36 = $78 होंगे। कम से कम इतनी दूर तक पहुँचने की संभावना (1/3)*(2/5)*(5/11) = 2/33 = 6.06% है।

इसके बाद, खिलाड़ी 8 पर $78 का दांव लगाता है। 8 पर जीतने की संभावना 5/(5+6) = 5/11 है। 8 पर लगाई गई शर्त 7 से 6 के अनुपात में मिलती है, इसलिए अगर वह शर्त जीत जाती है, तो आपके पास कुल $91 + $78 = $169 होंगे। कम से कम इतनी दूर तक पहुँचने की संभावना (1/3)*(2/5)*(5/11)^2 = 10/363 = 2.75% है।

इसके बाद, खिलाड़ी अपनी जेब से $169 में $1 जोड़कर 9 पर $170 का दांव लगाता है। 9 पर जीतने की संभावना 4/(4+6) = 2/5 है। 9 पर लगाई गई शर्त 7 से 5 के अनुपात में भुगतान करती है, इसलिए अगर वह शर्त जीत जाती है, तो आपके पास कुल $238 + $170 = $408 होंगे। कम से कम इतनी दूर तक पहुँचने की संभावना (1/3)*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/363 = 1.10% है।

अंत में, हम 10 पर दांव लगाने के लिए तैयार हैं। खरीद दांव पर कम हाउस एज के साथ, मान लीजिए कि खिलाड़ी उस पर दांव लगाता है। आपने यह स्पष्ट नहीं किया कि खिलाड़ी को कमीशन का पूर्व भुगतान करना होगा या केवल जीत पर ही देना होगा। आइए पहले कमीशन के पूर्व भुगतान पर गौर करें। इस नियम के तहत, दांव की राशि $21 से बराबर विभाजित होनी चाहिए। मान लीजिए खिलाड़ी 10 पर $380 का दांव लगाता है, 5% कमीशन $19 का पूर्व भुगतान करता है और अपने $408 में से बाकी $9 अपने पास रख लेता है।

4 पर जीतने की संभावना 3/(3+6) = 3/9 = 1/3 है। $380 का दांव जीतने पर आपको $760 की जीत मिलेगी, यानी कुल $760+$380 = $1,140। कम से कम इतनी दूर तक पहुँचने की संभावना (1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0.37% = 272.25 में 1 है।

याद रखें कि खिलाड़ी ने रास्ते में $5+$1+$1 का दांव लगाया था, लेकिन 9 पर जीत के बाद $9 जीत लिए, यानी कुल $1,142 की जीत। अगर हम हाउस एज को मूल $5 के दांव पर अपेक्षित नुकसान के रूप में परिभाषित करें, तो यह $1.06/$5.00 = 21.16% होगा।

अब, आइए देखें कि अगर कमीशन सिर्फ़ 10 पर जीत पर दिया जाए तो क्या होगा। वहाँ, 10 पर ख़रीदे गए दांव $20 से बराबर विभाजित होने चाहिए। मान लीजिए खिलाड़ी $8 जीतता है और बाकी $400 दांव पर लगाता है।

400 डॉलर की जीत वाली शर्त पर 780 डॉलर की जीत मिलेगी, कुल मिलाकर 780 डॉलर + 400 डॉलर = 1,180 डॉलर।

याद रखें कि खिलाड़ी ने रास्ते में $5+$1+$1 का दांव लगाया था, लेकिन 9 पर जीत के बाद $8 जीत लिए, यानी कुल $1,181 की जीत। अगर हम हाउस एज को मूल $5 के दांव पर अपेक्षित नुकसान के रूप में परिभाषित करें, तो यह $0.92/$5.00 = 18.44% होगा।

इसलिए, हम $1,200 तक नहीं पहुँच सकते, जब तक कि खिलाड़ी 9 पर जीत के बाद या रास्ते में कहीं और अपनी जेब से और पैसे न निकाल ले। मैं मूल्य के संदर्भ में इस रणनीति का समर्थन नहीं कर सकता, लेकिन ऐसा लगता है कि इसमें मज़ा और रोमांच का स्तर बहुत ज़्यादा होगा।

ओह! मैंने मकाऊ के एमजीएम में भी यही भयानक और अज्ञानतापूर्ण नियम देखा।

होल कार्ड के इक्का होने और 10 ऊपर होने की प्रायिकता (6*4)/(6*52-1) = 7.717% है। अपेक्षित प्रतिफल 0.077170×2 + 0.922830×-1 = -0.768489 है। दूसरे शब्दों में, हाउस एज 76.85% है।