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जादूगर से पूछो #358
फ़ूड नेटवर्क के नए गेम शो, "क्रैनबेरीज़ ऑर बस्ट" में, आपके पास दो दरवाज़ों में से एक चुनने का विकल्प है: A और B। एक दरवाज़े के पीछे क्रैनबेरी सॉस की पूरी ज़िंदगी की आपूर्ति है, जबकि दूसरे दरवाज़े के पीछे बिल्कुल कुछ नहीं है। और हाँ, क्या आपको क्रैनबेरी सॉस पसंद है?
बेशक, इसमें एक पेचीदा बात है। मेज़बान आपको दो तरफ़ वाला एक सिक्का देता है, जिस पर A और B लिखा होता है, और जो हर दरवाज़े के अनुरूप होता है। मेज़बान आपको बताता है कि सिक्का क्रैनबेरी दरवाज़े के पक्ष में है—बिना आपको बताए कि वह कौन सा दरवाज़ा है—और उस दरवाज़े का अक्षर 60 प्रतिशत बार उल्टा आएगा। उदाहरण के लिए, अगर सॉस दरवाज़े A के पीछे है, तो सिक्का 60 प्रतिशत बार A और बाकी 40 प्रतिशत बार B उल्टा आएगा।
आप सिक्का दो बार उछाल सकते हैं, उसके बाद आपको अपना चुनाव करना होगा। मान लीजिए कि आप अपनी रणनीति को बेहतर बना लेते हैं, तो क्रैनबेरी सॉस वाला दरवाज़ा चुनने की आपकी क्या संभावना है?
अतिरिक्त श्रेय: दो फ़्लिप के बजाय, अगर आपको तीन, चार, ... दस फ़्लिप की अनुमति हो, तो क्या होगा? अब क्रैनबेरी सॉस वाला दरवाज़ा चुनने की आपकी क्या संभावना है?
एक बार पलटने वाला मामला काफी मामूली है। सिक्के के क्रैनबेरी सॉस वाले दरवाजे पर गिरने की 60% संभावना होगी। खिलाड़ी की रणनीति यह होनी चाहिए कि सिक्का जिस भी दरवाजे पर गिरे, उसे चुन ले। इस तरह उसके सही चुनाव करने की 60% संभावना होगी।
[/बिगाड़ने वाला] [स्पॉइलर=टू फ्लिप सॉल्यूशन]मान लीजिए कि दरवाज़ा A पर क्रैनबेरी सॉस है और दरवाज़ा B पर कुछ नहीं। तो, सिक्के के A वाले हिस्से के जीतने की संभावना 60% होगी। खिलाड़ी की रणनीति यह होनी चाहिए कि ज़्यादातर समय सिक्का जिस भी दरवाज़े पर गिरे, उसे चुन लिया जाए। अगर बराबरी हो, तो खिलाड़ी कोई भी दरवाज़ा चुन सकता है, क्योंकि उसके पास कोई उपयोगी जानकारी नहीं है।
संभावित परिणाम और उनकी प्रायिकताएँ यहाँ दी गई हैं। A और B के मिश्रण वाले मामले किसी भी क्रम में हो सकते हैं:
एए: 60%^2 = 36%
एबी: 2*60%*40% = 48%
बीबी: 40%^2 = 16%
अगर सिक्का दोनों बार A पर गिरता है, तो खिलाड़ी सही दरवाज़ा चुन लेगा। अगर सिक्का एक बार A और एक बार B पर गिरता है, तो उसके पास कोई उपयोगी जानकारी नहीं होगी और उसके जीतने की संभावना 50/50 होगी। अगर सिक्का दोनों बार B पर गिरता है, तो वह गलत दरवाज़ा चुन लेगा।
इसलिए, दो फ्लिप मामले में, खिलाड़ी के पास सही दरवाजा चुनने का 60% + 48% * (1/2) = 60% मौका होगा।
[/बिगाड़ने वाला] [स्पॉइलर=थ्री फ्लिप सॉल्यूशन]मान लीजिए कि दरवाज़ा A पर क्रैनबेरी सॉस है और दरवाज़ा B पर कुछ नहीं। तो, सिक्के के A वाले हिस्से के गिरने की संभावना 60% होगी। खिलाड़ी की रणनीति यह होनी चाहिए कि ज़्यादातर समय सिक्का जिस भी दरवाज़े पर गिरे, उसे चुना जाए।
संभावित परिणाम और उनकी प्रायिकताएँ यहाँ दी गई हैं। A और B के मिश्रण वाले मामले किसी भी क्रम में हो सकते हैं:
एएए: 60%^3 = 21.6%
एएबी: 3*60%^2*40% = 43.2%
एबीबी: 3*60%^2*40% = 28.8%
बीबीबी: 40%^3 = 6.4%
यदि सिक्का कम से कम दो बार B पर गिरता है, तो खिलाड़ी सही दरवाज़ा चुन लेगा। यदि सिक्का दो या अधिक बार B पर गिरता है, तो खिलाड़ी गलत दरवाज़ा चुन लेगा।
इसलिए, तीन फ्लिप मामले में, खिलाड़ी के पास सही दरवाजा चुनने का 21.6% + 43.2% = 64.8% मौका होगा।
[/बिगाड़ने वाला] [स्पॉइलर=फोर फ्लिप सॉल्यूशन]मान लीजिए कि दरवाज़ा A पर क्रैनबेरी सॉस है और दरवाज़ा B पर कुछ नहीं। तो, सिक्के के A वाले हिस्से के जीतने की संभावना 60% होगी। खिलाड़ी की रणनीति यह होनी चाहिए कि ज़्यादातर समय सिक्का जिस भी दरवाज़े पर गिरे, उसे चुन लिया जाए। अगर बराबरी हो, तो खिलाड़ी कोई भी दरवाज़ा चुन सकता है, क्योंकि उसके पास कोई उपयोगी जानकारी नहीं है।
संभावित परिणाम और उनकी प्रायिकताएँ यहाँ दी गई हैं। A और B के मिश्रण वाले मामले किसी भी क्रम में हो सकते हैं:
एएएए: 60%^4 = 12.96%
एएएबी: 4*60%^3*40% = 34.56%
एएबीबी: 6*60^2*40%^2 = 34.56%
एबीबीबी: 4*60%*40%^3 = 15.36%
बीबीबीबी: 40%^4 = 2.56%
अगर सिक्का कम से कम तीन बार A पर गिरे, तो खिलाड़ी सही दरवाज़ा चुन लेगा। अगर सिक्का दो बार A पर और दो बार B पर गिरे, तो उसके पास कोई उपयोगी जानकारी नहीं होगी और उसके जीतने की संभावना 50/50 होगी। अगर सिक्का कम से कम तीन बार B पर गिरे, तो वह गलत दरवाज़ा चुन लेगा।
तो, चार फ्लिप मामले में, खिलाड़ी के पास सही दरवाजा चुनने का 12.96% + 34.56% + 34.56% * (1/2) = 64.80% मौका होगा।
[/बिगाड़ने वाला]पहले चार मामलों का तर्क सभी मामलों पर लागू होगा। याद रखें, y वस्तुओं में से x चुनने के तरीकों की संख्या y!/(x! * (yx)!) है।
यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।
थैंक्सगिविंग मनाने के लिए, आप और 19 गणितज्ञ एक गोलाकार मेज़ पर बैठे हैं। मेज़ पर बैठे सभी लोग क्रैनबेरी सॉस खाना चाहेंगे, जो इस समय आपके सामने है।
सबसे पहले, आप खुद को परोसें। फिर, सॉस को गोल-गोल घुमाने के बजाय, आप इसे अपने बाएँ या दाएँ बैठे व्यक्ति को बेतरतीब ढंग से देते हैं। फिर वे भी ऐसा ही करते हैं, इसे बेतरतीब ढंग से अपने बाएँ या दाएँ बैठे व्यक्ति को देते हैं। यह तब तक चलता रहता है जब तक कि सभी को किसी न किसी समय क्रैनबेरी सॉस नहीं मिल जाता।
घेरे में मौजूद 20 लोगों में से, क्रैनबेरी सॉस सबसे आखिर में पाने की सबसे अधिक संभावना किसकी है?
आइए एक गणितज्ञ का नाम G लें। G को अंतिम स्थान पर रखने के लिए दो चीजें घटित होनी चाहिए:
- क्रैनबेरी को सबसे पहले G के किसी पड़ोसी तक पहुंचना होगा।
- क्रैनबेरी को कभी भी G तक पहुंचे बिना विपरीत दिशा में 19 स्थान चलना चाहिए।
आखिरी में पहुँचने के लिए, क्रैनबेरी को अंततः किसी एक पड़ोसी तक पहुँचना होगा। तो इसकी संभावना 100% है।
तो, दूसरे भाग के लिए जो भी संभावना है, वह हर व्यक्ति के लिए समान है। इस प्रकार, प्रत्येक व्यक्ति के अंतिम भाग में आने की संभावना समान है।
अगर यह स्पष्टीकरण स्पष्ट नहीं था, तो जियाल्मेरे को यह समस्या fivethirtyeight.com से मिली। यहाँ वे इसका समाधान बताते हैं । नीचे स्क्रॉल करके उस भाग पर जाएँ जहाँ लिखा है "पिछले हफ़्ते के रिडलर क्लासिक का समाधान।"
[/बिगाड़ने वाला]यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।
गॉसियन वक्र पर एक डार्ट यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है। मान लीजिए डार्ट की स्थिति (x,y) है। x के निरपेक्ष मान का अपेक्षित मान क्या है?
[स्पॉइलर=उत्तर]sqrt(2/π) =~ 0.797884560802865355879892119868 76373695171726232986931533185165 93413158517986036770025046678146 13872860605117725270365371021983 90911167448599242546125101541269 05411654409986351290326916150611 94507285464167339186956543405998 37283812691206561786677721340931.[/spoiler]
यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।
इस गणित दशमलव स्थानों के लिए, कृपया मेरे Wiz कैलकुलेटर का उपयोग करें।
जब किसी व्यक्ति से 52 पत्तों की गड्डी में से किसी भी पत्ते का नाम पूछा जाता है, तो सबसे अधिक संभावना है कि वह कौन सा पत्ता चुनेगा?
हुकुम का इक्का, अब तक का सबसे ज़्यादा। जादू के मनोविज्ञान के अनुसार, हुकुम का इक्का 24.59% बार चुना जाता है। ये रहे शीर्ष 5:
- हुकुम का इक्का: 24.59%
- पान की रानी: 13.71%
- पान का इक्का: 6.15%
- पान का राजा: 5.91%
- हुकुम का गुलाम: 4.26%
उनके स्पष्ट 417 नमूना आकार में ईंट के 5, चिड़ी के 6, चिड़ी के 5, हुकुम के 6 और हुकुम के 4 को कभी नहीं चुना गया।