जादूगर से पूछो #356

[स्पॉइलर=समाधान]

समय की प्रति इकाई में एक बार कार्ड निकाले जाने के स्थान पर, यदि कार्ड को दो बार निकाले जाने के बीच यादृच्छिक समयावधि के साथ निकाला जाए, तो उत्तर वही होगा, यदि वह औसत समय 1 के माध्य के साथ घातांकीय वितरण का अनुसरण करता है।

किसी भी दिए गए कार्ड को निकाले जाने के बीच के समय का माध्य 52 होगा। घातांकीय वितरण के गुणों को देखते हुए, t इकाई समय के बाद कार्ड नहीं निकाले जाने की प्रायिकता exp(-t/52) है।

समय की t इकाइयों के बाद, किसी विशिष्ट कार्ड के कम से कम एक बार निकाले जाने की संभावना 1-exp(-t/52) है।

समय की t इकाई के बाद, 13 विशिष्ट कार्डों के कम से कम एक बार खींचे जाने की संभावना (1-exp(-t/52))^13 है।

समय की t इकाइयों के बाद, 13 विशिष्ट कार्डों में से कम से कम एक कार्ड नहीं खींचा जाएगा जो 1-(1-exp(-t/52))^13 है।

समय की t इकाइयों के बाद, प्रत्येक सूट में कम से कम एक कार्ड गायब होने की संभावना (1-(1-exp(-t/52))^13)^4 है।

इस समीकरण को एक समाकल कैलकुलेटर में डालने पर, 0 से अनंत तक समाकलन की सीमा निर्धारित करने में सावधानी बरतने पर, प्राप्त होता है 712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107.6475362712258

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर पूछा गया और इस पर चर्चा की गई।

मैं पहले की समस्या का संदर्भ दिए बिना आपके प्रश्न को पुनः कहने की अनुमति देता हूँ।

16 खिलाड़ी एक काँच के पुल पर खेलते हैं। यह पुल 18 जोड़ी काँच के पैनलों में बँटा होता है। प्रत्येक जोड़ी में, काँच का एक पैनल टेम्पर्ड होता है और एक खिलाड़ी का वज़न सहन कर सकता है। जोड़ी का दूसरा टुकड़ा साधारण काँच का होता है और खिलाड़ी के वज़न से टूट जाएगा। अगर कोई खिलाड़ी साधारण काँच के टुकड़े पर पैर रखता है, तो वह टूट जाएगा और गिरकर उसकी मौत हो जाएगी।

खिलाड़ियों को एक-एक करके, पूर्वनिर्धारित क्रम में आगे बढ़ना होगा। खिलाड़ियों को याद नहीं रहता कि सुरक्षित सीढ़ियाँ कहाँ हैं, सिवाय इसके कि यह स्पष्ट हो क्योंकि जोड़ी में से एक पैनल टूटा हुआ है।

कांच की सीढ़ियों के प्रत्येक जोड़े पर यादृच्छिक अनुमान लगाते हुए, सुरक्षित रूप से पार करने वाले खिलाड़ियों की अपेक्षित संख्या क्या है?

कृपया मेरे उत्तर के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।

[स्पॉइलर=उत्तर]

निम्नलिखित तालिका प्रत्येक खिलाड़ी के, उनके खेलने के क्रम के अनुसार, जीवित रहने की संभावना दर्शाती है। निचले दाएँ कक्ष में, जीवित बचे लोगों की अपेक्षित संख्या 0.23884892 दिखाई गई है।

मेरे समाधान में मार्कोव श्रृंखला का उपयोग किया गया, जिसे समझाना कठिन और समय लेने वाला होगा।

यह प्रश्न मेरे कॉलम ' वेगास का जादूगर' में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

[स्पॉइलर=समाधान]

चार विरोधियों के आठ कार्डों में से चार के इक्के होने की संभावना combin(46,4)/combin(50,8) = 0.000303951 है।

यहाँ से, चारों इक्कों के अलग-अलग हाथों में होने की प्रायिकता 1-2^4*4!*4!/8! = 0.228571429 है। इस प्रकार, विकल्प की प्रायिकता, कि इक्कों का कम से कम एक जोड़ा हो, 1 - 0.228571429 = 0.771428571 है।

सभी चार इक्के निकलने और कम से कम एक हाथ में दो इक्के होने की संभावना 0.000303951 * 0.771428571 = 0.000234477 है।

चार विरोधियों के आठ कार्डों में से तीन के इक्के होने की संभावना है: कॉम्बिन(4,3) * कॉम्बिन(46,5)/कॉम्बिन(50,8) = 0.010212766.

वहां से, उनमें से दो के एक ही हाथ में होने की संभावना 4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0.428571429 है।

तीन इक्के निकलने और उनमें से दो एक ही हाथ में होने की संभावना 0.010212766 * 0.428571429 = 0.0043769 है।

चार विरोधियों के आठ कार्डों में से दो के इक्के होने की संभावना कॉम्बिन (4,2) * कॉम्बिन (46,6) / कॉम्बिन (50,8) = 0.104680851 है।

दोनों के एक ही हाथ में होने की संभावना 1/7 = 0.142857143 है।

दो इक्के निकलने और एक ही हाथ में होने की संभावना 0.104680851 * 0.142857143 = 0.014954407 है।

कम से कम एक प्रतिद्वंद्वी द्वारा दो इक्के प्राप्त करने के तरीकों का योग करने पर, हमें उत्तर 0.000234477 + 0.0043769 + 0.014954407 = 0.019565784 प्राप्त होता है।

यह प्रमोशन उस हारी हुई शर्त को जीत में बदल देगा जो अन्यथा चुनी गई टीम के 17 या उससे ज़्यादा अंकों से आगे होने के बाद भी हार जाती है। ऐसी स्थिति का एक अच्छा उदाहरण सुपर बाउल 51 में अटलांटा फाल्कन्स पर लगाई गई शर्त है। तीसरे क्वार्टर में एक समय फाल्कन्स 28-3 से आगे थे, यानी 25 अंकों की बढ़त। हालाँकि, वे 28-34 से हार गए।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मैंने 2000 से 2015 तक प्रत्येक NFL सीज़न में खेले गए 4,131 खेलों का अवलोकन किया। नीचे दी गई तालिका खेल के दौरान विजेता टीम के बीच हुए सबसे बड़े अंतर को दर्शाती है। प्रायिकता स्तंभ उन पाँच खेलों को छाँट देता है जो बराबरी पर समाप्त हुए।

"टाई" पंक्ति उन 16 सीज़न के पाँच मैचों को दर्शाती है जो बराबरी पर समाप्त हुए, इसलिए उन्हें गिनते नहीं हैं। "0" पंक्ति उन 43.7% मैचों को दर्शाती है जहाँ जीतने वाली टीम कभी पीछे नहीं रही।

तालिका दर्शाती है कि 87 खेलों में एक टीम 17 या उससे ज़्यादा अंकों से हारी और फिर जीत गई। 4126 खेलों में (अर्थात पाँच बराबरी वाले मैचों को छोड़कर) यह संभावना 2.11% है।

यह देखते हुए कि ये स्थितियाँ हार को जीत में बदल देंगी, हम इस संभावना को दोगुना करके 4.22% का मान प्राप्त करते हैं। मनी लाइन दांवों पर हाउस एज लगभग 4.76% पर स्प्रेड के विरुद्ध दांवों के बराबर है। 4.22% घटाने पर, हमें इस प्रमोशन के तहत 0.54% का बहुत कम हाउस एज मिलता है।