जादूगर से पूछो #355

खेल में बड़े पत्तों की संख्या संदिग्ध रूप से ज़्यादा दिखाई देती है, है ना? ये वो पत्ते हैं जो मैं पहचान पाया। ध्यान दें कि कुछ मामलों में, पत्ते साफ़ दिखाई नहीं दे रहे थे।

आप बिलकुल सही कह रहे हैं, बॉन्ड अपने शुरुआती 15 हाथों में से किसी पर भी हिट नहीं करता। वह एक बार आठों को विभाजित करता है, लेकिन विभाजित करने के बाद भी हिट नहीं करता। यहाँ सभी 15 हाथों पर उसके शुरुआती एक्शन की गिनती दी गई है:

• डबल — 1
• विभाजित — 1
• स्टैंड — 13

यहां प्रत्येक प्रारंभिक कार्रवाई की बुनियादी रणनीति संभावनाएं दी गई हैं, जिसमें छह डेक, विभाजन के बाद डबल की अनुमति, डीलर द्वारा होल कार्ड पर नजर डालना और डीलर द्वारा सॉफ्ट 17 पर खड़ा होना शामिल है।

यदि आत्मसमर्पण की अनुमति दी जाती, तो यह संभावना 4.14% होती, जो खड़े रहने की संभावना से बाहर होती।

यह ध्यान देने योग्य है कि बॉन्ड एक बार 16 बनाम 10 पर खड़ा था। बुनियादी रणनीति यही है कि उसे हिट किया जाए, लेकिन यह बहुत मामूली है। उस हाथ से निकले दहाई के ढेर को देखते हुए, बॉन्ड को शायद पता था कि गिनती ज़्यादा है, जिससे उस स्थिति में खड़े होने पर एक बुनियादी रणनीति अपवाद लागू हो जाता।

किसी एक हाथ के न लगने की संभावना 60.22% है। यह मानते हुए कि प्रत्येक हाथ स्वतंत्र है, 15 में से 15 के न लगने की संभावना 2015 में 0.602162 ¹⁵ = 0.000496253 = लगभग 1 है।

मैं उत्तर और समाधान को स्पॉयलर टैग में डाल दूंगा, ताकि दुनिया को स्वयं उत्तर ढूंढने में आनंद आए।

[स्पॉइलर=समाधान]

खिलाड़ी 1 के सुरक्षित रूप से पार करने की संभावना (1/2)^18 = 1/262144 = लगभग 0.000004 है।

खिलाड़ी 2 के सुरक्षित रूप से पार करने के दो तरीके हैं:

1. खिलाड़ी 1 सुरक्षित रूप से पार कर जाता है। इस स्थिति में, खिलाड़ी 2 उसके कदमों की नकल कर सकता है।
2. खिलाड़ी 1 और खिलाड़ी 2 के बीच केवल एक ही गलत कदम है। यह काँच के संभावित जोड़ों में से 18 पर हो सकता है। 17 अच्छे कदमों और एक गलत कदम की प्रायिकता 18*(1/2)^2 = 18/262144 = 0.000069 है।

इसलिए, खिलाड़ी 2 के सुरक्षित रूप से पार करने की संभावना 0.000004 + 0.000069 = 0.000072 है।

खिलाड़ी 3 के सुरक्षित रूप से पार करने के दो तरीके हैं:

1. खिलाड़ी 2 सुरक्षित रूप से पार कर जाता है। इस स्थिति में, खिलाड़ी 3 उसके कदमों की नकल कर सकता है।
2. खिलाड़ी 1, 2 और 3 के बीच केवल दो ही गलत कदम हैं। खिलाड़ी 1 और 2 को मारने वाले दो मोहरों के लिए काँच के 18 जोड़ों में से 2 को चुनने के लिए संयुक्त(18,2)=153 तरीके हैं। 16 अच्छे कदमों और दो गलत कदमों की प्रायिकता 153*(1/2)^2 = 153/262144 = 0.000584 है।

इसलिए, खिलाड़ी 3 के सुरक्षित रूप से पार करने की संभावना 0.000072 + 0.000584 = 0.000656 है।

खिलाड़ी 4 के सुरक्षित रूप से पार करने के दो तरीके हैं:

1. खिलाड़ी 3 सुरक्षित रूप से क्रॉस कर लेता है। ऐसे में, खिलाड़ी 4 उसके कदमों की नकल कर सकता है।
2. खिलाड़ी 1 से 4 के बीच, केवल तीन ही गलत कदम हैं। खिलाड़ी 1 से 3 को मारने वाले दो मोहरों के लिए काँच के 18 जोड़ों में से 3 को चुनने के लिए संयुक्त (18,3) = 816 तरीके हैं। 15 अच्छे कदमों और 3 गलत कदमों की प्रायिकता 816*(1/2)^2 = 816/262144 = 0.003113 है।

अतः, खिलाड़ी 4 के सुरक्षित रूप से पार करने की संभावना 0.000656 + 0.003113 = 0.003769 है।

इस तर्क के आधार पर, हमें प्रत्येक खिलाड़ी की संभावना की निम्नलिखित तालिका प्राप्त होती है।

सभी 16 खिलाड़ियों की संभावनाओं का योग 7.000076 है।

उत्तर को बंद रूप में व्यक्त करने के लिए, यह है:

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

आप सही कह रहे हैं, मैंने उस हाथ से इसे पूरी तरह से बर्बाद कर दिया।

याद कीजिए, मैं 10-प्ले खेल रहा था। इस प्रकार, फुल हाउस होने पर मेरी जीत 10×35 = 350 थी।

केवल तीन हाथ होने पर, प्रत्येक हाथ की निम्नलिखित सम्भावनाएं थीं:

• एक ही तरह के चार - 4.26%
• फुल हाउस — 6.11%
• एक तरह के तीन - 89.64%

गुणकों के बाद प्रत्येक हाथ के लिए जीत इस प्रकार है:

• एक ही तरह के चार - 1800
• फुल हाउस — 35
• एक तरह के तीन - 15

सिर्फ़ तीन हाथ रखने पर मेरा अपेक्षित रिटर्न (4.26% * 1800) + (6.11% * 35) + (89.64% * 15) = 92.17854 होता। यह फुल हाउस के लिए 35 से काफ़ी ज़्यादा है। तो हाँ, मैंने उस हाथ में एक शर्मनाक गलती की।

जीतने के लिए, आपके प्रतिद्वंद्वी को तीनों भविष्यवाणियों में गलत होना होगा। पहली भविष्यवाणी के गलत होने की संभावना 10/13 है। दूसरी भविष्यवाणी के गलत होने की संभावना 9/12 है, क्योंकि हम संभावना के रूप में अनुमानित पहली रैंक को हटा सकते हैं। तीसरी भविष्यवाणी के गलत होने की संभावना 8/11 है, क्योंकि हम संभावना के रूप में अनुमानित पहली दो रैंक को हटा सकते हैं।

जीतने के लिए ये तीनों चीज़ें होनी ज़रूरी हैं। इस प्रकार, आपके जीतने की संभावना (10/13) * (9/12) * (8/11) = 720/1716 = 41.96% है।

सम राशि पर, इस दांव पर आपकी ओर से हाउस एज 16.08% है (ओह!)।

यह प्रश्न ओवेन ई'शे (संख्या 7) द्वारा लिखित द बुक ऑफ प्रोपोज़िशन बेट्स से लिया गया था।