जादूगर से पूछो #350

हॉकी में ओवरटाइम खेलने के लिए वास्तव में एक प्रोत्साहन प्रतीत होता है, जैसा कि आपने बताया है। आइए आपके प्रश्न का उत्तर जानने के लिए कुछ आँकड़ों पर नज़र डालें। निम्नलिखित आँकड़े 2017/2018 सीज़न से शुरू होकर चार हॉकी सीज़न के हैं।

निम्नलिखित तालिका चार सीज़न में खेले गए 7,846 खेलों का विश्लेषण करती है, चाहे वे नियमित सीज़न थे या प्लेऑफ़, और चाहे वे ओवरटाइम में गए हों। तालिका दर्शाती है कि नियमित सीज़न के दौरान, 11.27% खेल ओवरटाइम में गए, जबकि प्लेऑफ़ के दौरान 54/544 = 9.03% खेल ओवरटाइम में गए।

प्रश्न यह है कि क्या 11.27% और 9.03% के बीच का यह अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है या शायद सामान्य प्रसरण द्वारा समझाया जा सकता है। दो नमूना माध्यों का परीक्षण करने के लिए, मैं एक काई-स्क्वेयर्ड परीक्षण करने जा रहा हूँ, जैसे MedCalc.org पर अनुपातों की तुलना कैलकुलेटर । कुल 7,846 खेलों में से, 871 ओवरटाइम में गए, जिसकी प्रायिकता 11.10% है। उसी नमूने पर ओवरटाइम न होने की प्रायिकता 88.90% है। यदि हम मान लें कि नियमित सीज़न और प्लेऑफ़ खेलों के बीच कोई सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर नहीं है, तो 804.6 नियमित सीज़न खेल ओवरटाइम में और 66.4 प्लेऑफ़ खेल ओवरटाइम में जाने चाहिए थे।

निम्नलिखित तालिका वास्तविक परिणामों की अपेक्षाओं से तुलना करती है, इस धारणा के तहत कि ओवरटाइम की वास्तविक संभावना नियमित सीज़न और प्लेऑफ़ दोनों के लिए समान है। दाएँ स्तंभ में काई-स्क्वेयर्ड आँकड़ा दिखाया गया है, जो वास्तविक और अपेक्षित योग के बीच के अंतर का वर्ग है, जिसे अपेक्षित योग से विभाजित किया जाता है।

ऊपर दी गई तालिका 2.813628 का काई-स्क्वेयर्ड आँकड़ा दर्शाती है। एक डिग्री स्वतंत्रता के साथ, इस विषम या अधिक परिणामों की संभावना 9.347% है। दूसरे शब्दों में, यदि नियमित सीज़न और प्लेऑफ़ गेम के बीच व्यवहार में कोई बदलाव नहीं होता है, जिसके परिणामस्वरूप ओवरटाइम की वास्तव में समान संभावना होती है, तो ओवरटाइम या उससे अधिक समय तक जाने वाले खेलों में 2.24% की असमानता देखने की संभावना 9.347% है। सरल भाषा में कहें तो, यह प्रमाण दोनों प्रकार के खेलों के बीच ओवरटाइम दरों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर की ओर इशारा करता है। हालाँकि, अभी भी 9.35% संभावना है कि इसे सामान्य यादृच्छिक विचरण के रूप में समझाया जा सकता है।

मुझे यह भी जोड़ना चाहिए कि जिस मेडकैल्क कैलकुलेटर का मैंने लिंक दिया है, और साथ ही अन्य स्रोत भी, काई-स्क्वेयर्ड सांख्यिकी में "N-1" समायोजन लागू करते हैं। विशेष रूप से, वे काई-स्क्वेयर्ड सांख्यिकी को (N-1)/N से गुणा करते हैं, जहाँ N कुल प्रेक्षणों की संख्या है। इस स्थिति में, समायोजित काई-स्क्वेयर्ड सांख्यिकी 2.813628 * (7845/7846) = 2.813270 होगी। एक डिग्री स्वतंत्रता के साथ इस काई-स्क्वेयर्ड सांख्यिकी का p मान 9.349% है। मुझे इस छोटे से समायोजन से स्थिति को और बिगाड़ना पसंद नहीं है, लेकिन अगर मैंने ऐसा नहीं किया, तो मुझे यकीन है कि मेरे पाठक सोचेंगे कि मैंने ऐसा क्यों नहीं किया।

व्यक्तिगत रूप से, मेरा मानना है कि टीमें प्लेऑफ की अपेक्षा नियमित सत्र में ओवरटाइम तक पहुंचने के लिए अधिक खेलती हैं और आंकड़े भी इसका समर्थन करते हैं, लेकिन आंकड़े इस बात पर संदेह नहीं करते।

बाहरी संबंध

• जॉन्स हॉपकिन्स ब्लूमबर्ग स्कूल ऑफ पब्लिक हेल्थ में काई-स्क्वायर सांख्यिकी का उपयोग ।

वेरलैंडर का आकलन करना मुश्किल होगा, इसलिए हम उसका आकलन अंत में करेंगे।

2019/2020 सीज़न में, स्टीफ करी का फ्री थ्रो प्रतिशत 93.10% था (स्रोत: बास्केटबॉल संदर्भ )।

40-यार्ड फील्ड गोल के लिए एनएफएल औसत 85.83% है। हालाँकि, मेरा मानना है कि टकर औसत से बेहतर है। 30 से 39 यार्ड की रेंज में फील्ड गोल के लिए, एनएफएल औसत 89.32% है, लेकिन टकर के लिए यह 96.63% है। इस टकर प्रतिशत को एनएफएल औसत पर लागू करने पर, मेरा अनुमान है कि टकर की 40-यार्ड फील्ड गोल करने की संभावना 85.85% × (96.63%/89.32%) = 92.86% है।

बेसबॉल की बात करें तो चीज़ें पेचीदा हो जाती हैं। यह पूछना ज़रूरी है कि क्या हम असली खेलों में असली पिचों की बात कर रहे हैं या नियंत्रित प्रदर्शन की। इसका कारण यह है कि असली खेलों में पिचर हर बार स्ट्राइक फेंकने की कोशिश नहीं करते। ज़्यादातर समय वे स्ट्राइक ज़ोन के किनारे के पास गेंद फेंकने की कोशिश करते हैं, जिससे बल्लेबाज़ के लिए साफ़ हिट पाना मुश्किल हो जाता है।

मेरे पास इसकी पुष्टि के लिए कोई आँकड़े नहीं हैं, लेकिन मैंने माइनर लीग मैचों में बुल पेन में पिचर्स को देखा है जो कैचर के मिट में गेंद को लगभग हर बार बिना कैचर को हिलाए ही डाल देते हैं। मेरा अनुमान है कि वर्लैंडर जैसा पिचर नियंत्रित टेस्ट में कम से कम 95% बार स्ट्राइक फेंक सकता है। हालाँकि, वास्तविक मैचों में, वर्लैंडर का स्ट्राइक प्रतिशत केवल 68.50% है।

थकान कारक को नजरअंदाज करते हुए, 100 लगातार सफल परीक्षणों की संभावना जानने के लिए, केवल एक सफल परीक्षण की संभावना को 100वीं घात पर ले जाएं।

अंतिम बात यह है कि यदि हम नियंत्रित प्रयोग की बात कर रहे हैं, तो मैं वेरलैंडर को चुनूंगा और वास्तविक खेल परिस्थितियों में मैं करी को चुनूंगा।

यह प्रश्न मूल रूप से बारस्टूल स्पोर्ट्स पर पूछा गया था। विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के मेरे फ़ोरम में भी इस पर काफ़ी चर्चा हुई है।

यहां कुछ सूत्र दिए गए हैं जो पाठक के लिए उपयोगी हो सकते हैं:

[स्पॉइलर=पहली n वर्ग संख्याओं का योग] 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² + 6 ² + ... + n ² = n*(n+1)*(2n+1)/6 [/स्पॉइलर]

मेरे उत्तर और समाधान के लिए नीचे स्क्रॉल करें।

"कुशल" से मेरा तात्पर्य यह है कि आपका मतलब है कि जिसमें तोप के गोलों के बीच सबसे कम जगह बर्बाद होती है।

चीजों को सरल रखने के लिए, किसी भी पिरामिड का आयतन निर्धारित करने के लिए, आइए पिरामिड के कोनों पर स्थित गेंदों के केंद्र का उपयोग करें। मान लीजिए कि n, किसी भी पिरामिड के आधार के एक तरफ तोप के गोलों की संख्या है।

आइये सबसे पहले वर्गाकार आधार वाले पिरामिड को देखें।

पूरे पिरामिड में तोप के गोलों की संख्या 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² + 6 ² + ... + n ² = n*(n+1)*(2n+1)/6 है।

अब, आइए इस वर्गाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करें जहाँ आधार की एक भुजा n है। जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, भुजाएँ (वर्गाकार आधार के अलावा) समबाहु त्रिभुज हैं। इस प्रकार, तिर्यक ऊँचाई भी n है। आधार के एक कोने से विपरीत कोने की दूरी n*sqrt(2) है। इस प्रकार आधार के एक कोने से आधार के केंद्र की दूरी n*sqrt(2)/2 है। मान लीजिए ऊँचाई h है। ऊँचाई, आधार के एक कोने से आधार के केंद्र की दूरी और तिर्यक ऊँचाई से बने समकोण त्रिभुज पर विचार करें।

h ² + (n*sqrt(2)/2) ² = n ²
h = n*sqrt(2)/2.

याद कीजिए कि पिरामिड का आयतन आधार*ऊँचाई/3 होता है। इससे पिरामिड का आयतन बनता है:

गेंदों का आयतन से अनुपात इस प्रकार है [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [n ³ *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n ³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )

अब, आइए त्रिकोणीय आधार वाले पिरामिड को देखें।

पूरे पिरामिड में तोप के गोलों की संख्या 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6 है।

अब, आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। याद कीजिए, 30-60-90 के त्रिभुज की भुजाएँ 1/2, sqrt(3)/2 और 1 के समानुपाती होती हैं। इससे, n भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करना कठिन नहीं है, जो n*sqrt(3)/2 है। इससे आधार का क्षेत्रफल n ² *sqrt(3)/4 हो जाता है।

आधार के एक कोने से आधार के केंद्र तक की दूरी sqrt(3)/3 है। यह देखते हुए कि पिरामिड की तिरछी ऊँचाई 1 है, हम पिरामिड की ऊँचाई sqrt(6)/3 ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस का उपयोग कर सकते हैं।

अब हम पिरामिड का आयतन इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं: आधार*ऊंचाई/3 = (n ² *sqrt(3)/4) * (n*sqrt(6)/3) * (1/3) = n ³ *sqrt(18)/36 = n ³ *sqrt(2)/12.

गेंदों का आयतन से अनुपात इस प्रकार है [n*(n+1)*(n+2)/6] / [n ³ *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n ³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

यहां गेंदों के आयतन अनुपात की तुलना दी गई है:

• वर्गाकार आधार: sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )
• त्रिभुज आधार: sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

आइए दोनों अनुपातों को sqrt(2)*(n+1)/n ² से विभाजित करें:

• वर्गाकार आधार: (2n+1)/2 = n + 0.5
• त्रिभुज आधार: n+2

जैसे-जैसे n बड़ा होता जाएगा, दोनों पिरामिडों के लिए गेंदों का आयतन अनुपात n के करीब पहुँच जाएगा। दूसरे शब्दों में, तोप के गोले जितने ज़्यादा होंगे, उनकी दक्षता उतनी ही ज़्यादा होगी।

एक तोप के गोले का आयतन दिए जाने पर, दोनों पिरामिडों में दक्षता, जिसे तोप के गोले के आयतन और कुल आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, pi*sqrt(2)/6 =~ लगभग 74.05% तक पहुँचती है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।