जादूगर से पूछो #348

[spoiler=समाधान] मान लीजिए t ₁ = पहली क्रॉसिंग तक का समय
मान लें t ₂ = दूसरी क्रॉसिंग तक का समय
r = फॉन्टलरॉय से आरंभ में रवाना होने वाली नौका की गति का साउथवर्थ से आरंभ में रवाना होने वाली नौका की गति से अनुपात।
c = दो शहरों के बीच चैनल की दूरी.

हमें दिया गया है कि वे पहली बार साउथवर्थ से 5 मील की दूरी पर पार करते हैं। इसे सूत्रों में व्यक्त करने के लिए:

सी-5 = आर*टी ₁
5 = टी ₁

t ₁ को समान करने पर, हमें प्राप्त होता है:

c-5 = 5r, या r = (c-5)/5

हमें यह भी बताया गया है कि दूसरी बार वे फॉन्टलरॉय से 3 मील की दूरी पर पार करते हैं। इसे सूत्रों में व्यक्त करने के लिए:

3c - 3 = r*t ₂
सी+3 = टी ₂

t ₂ को समान करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2c - 3 = r*(c+3)

प्रतिस्थापित करें r=(c-5)/5

2c-3 = [(c-5)/5] * (c+3)
10c - 15 = c^2 - 2c - 15
सी^2 - 12सी = 0 सी - 12 = 0 सी = 12

तो, चैनल 12 मील लंबा है।

याद दिला दें कि क्रैपलेस क्रैप्स में 2, 3, 11 और 12 तत्काल पास लाइन बेट का समाधान नहीं करते, बल्कि इन्हें 4, 5, 6, 8, 9 और 10 की तरह ही अंक माना जाता है।

मेरे समाधान के पहले चरण में पासलाइन दांव के किसी भी दिए गए परिणाम की संभावना की गणना करने की आवश्यकता है, जो इस प्रकार है।

यदि आप हारने के सभी तरीकों को जोड़ते हैं, तो आपको 7303/13860 = लगभग 0.526912 प्राप्त होता है।

इस समस्या के मेरे समाधान का अगला चरण कैलकुलस का उपयोग करता है। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि यदि पास लाइन बेट्स के समाधान के बीच एक यादृच्छिक समय अवधि हो, तो उत्तर समान होगा। आइए बेट समाधानों के बीच के औसत समय को 1 कहें और इसे घातांकीय वितरण द्वारा वितरित करें, जिसका अर्थ है कि इसमें स्मृतिहीन गुण है।

मान लीजिए x उस समय को दर्शाता है जब से शूटर ने अपनी बारी शुरू की थी।

निशानेबाज़ के पॉइंट 2 से जीत न पाने की प्रायिकता exp(-x/252) है। इस प्रकार, कम से कम एक पॉइंट-2 जीत मिलने की प्रायिकता 1-exp(-x/252) है।

निशानेबाज़ के पॉइंट 3 की जीत न पाने की प्रायिकता exp(-x/72) है। इस प्रकार, कम से कम एक पॉइंट-3 की जीत मिलने की प्रायिकता 1-exp(-x/72) है।

निशानेबाज़ के पॉइंट 4 से जीत न पाने की प्रायिकता exp(-x/36) है। इस प्रकार, कम से कम एक पॉइंट-4 जीत मिलने की प्रायिकता 1-exp(-x/36) है।

निशानेबाज़ के पॉइंट 5 की जीत न पाने की प्रायिकता exp(-2x/45) है। इस प्रकार, कम से कम एक पॉइंट-5 की जीत मिलने की प्रायिकता 1-exp(-2x/45) है।

निशानेबाज़ के पॉइंट 6 से जीत न पाने की प्रायिकता exp(-2x/45) है। इस प्रकार, कम से कम एक पॉइंट-6 जीत मिलने की प्रायिकता 1-exp(-x/72) है।

ध्यान दें कि ये संभावनाएं 8 से 12 तक समान हैं, इसलिए हम उनका वर्ग करके दिखा सकते हैं कि वे प्रत्येक के लिए दो बार प्राप्त हुई हैं।

निशानेबाज के न हारने की संभावना exp(-7303x/13860) है।

हारने की संभावना 7303/13860 है।

हम इस समस्या को t = 0 से अनंत तक एकीकृत करके हल कर सकते हैं, जिसमें जीतने की सभी आवश्यकताओं के उत्पाद की संभावना पूरी हो गई है, हारने का परिणाम पूरा नहीं हुआ है, और किसी शर्त को दिए जाने पर हारने की संभावना हल हो गई है।

एकीकृत किया जा रहा फ़ंक्शन exp(-7303x/13860)*(1-exp(-x/252))^2*(1-exp(-x/72))^2*(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(-25x/396))^2*(7303/13860) है।

इसे integral-calculator.com जैसे किसी इंटीग्रल कैलकुलेटर में डालें। 0 से अनंत तक की सीमाएँ लिखना याद रखें। उत्तर वही होगा जो ऊपर दिए गए उत्तर में दर्शाया गया है।

अच्छा सवाल है। पहले इसमें "शॉर्ट टर्म" प्लेयर के लिए एक फ़ॉर्मूला दिया गया था, जहाँ जैकपॉट पहली शर्त पर पॉजिटिव होना चाहिए।

हालाँकि, लंबे समय तक खेलने वाले खिलाड़ी के लिए, जो जैकपॉट लगने तक खेलने का जोखिम उठा सकते हैं, हिट पॉइंट कम होता है। मैंने दोनों प्रकार के खिलाड़ियों के लिए सूत्र शामिल करने के लिए पृष्ठ को अपडेट किया है। संक्षेप में, ये दो सूत्र हैं:

j (अल्पकालिक) = m × (1-f)/(1-f+r)
j (दीर्घकालिक) = m × (1-fr)/(1-f+r)

कहाँ:

j = ब्रेकईवन जैकपॉट आकार (0% हाउस एज के साथ)
f = सभी निश्चित जीतों का मूल्य प्लस स्लॉट क्लब अंक और प्रोत्साहन।
m = अधिकतम जैकपॉट (अनिवार्य हिट बिंदु)
n = न्यूनतम जैकपॉट (रीसीड पॉइंट)
r = मीटर वृद्धि की दर

[स्पॉइलर=उत्तर]

उन्हें 0, 1, 2, और 4 संख्या दें।

चार में से दो कार्ड निकालने के छह तरीके इस प्रकार हैं।

• 0+1 = 1
• 0+2 = 2
• 1+2 = 3
• 0+4 = 4
• 1+4 = 5
• 2+4 = 6

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।