जादूगर से पूछो #346

हाँ। यह दूसरे स्थान पर रहने वाले खिलाड़ी के लिए रणनीति में बदलाव को संदर्भित करता है यदि उसके पास पहले स्थान पर रहने वाले खिलाड़ी के स्कोर का 2/3 से अधिक स्कोर है।

आइये इस स्थिति को दो खिलाड़ियों वाले खेल के रूप में सरल करते हैं, जो इस प्रकार है:

• स्थिति A: दूसरे स्थान पर पहले स्थान के आधे से भी कम स्थान है।
• स्थिति B: दूसरे खिलाड़ी के पास पहले स्थान का 1/2 से 2/3 हिस्सा है।
• स्थिति C: दूसरे स्थान पर पहले स्थान का 2/3 से अधिक हिस्सा है।

आगे बढ़ने से पहले, मैं पाठकों को फ़ाइनल जेपर्डी के बाद टाई होने पर जेपर्डी नियम में हुए बदलाव की याद दिला दूँ। अब दोनों खिलाड़ी आगे नहीं बढ़ सकते, बल्कि सडन डेथ टाईब्रेकर का सवाल है। ऐसी ही एक स्थिति यहाँ है।

स्थिति A

मान लीजिए A=$10,000 और B=$4,000

खिलाड़ी A को A-2B-1 से ज़्यादा दांव लगाकर हारने का जोखिम नहीं उठाना चाहिए। अगर उसे इस श्रेणी में आत्मविश्वास नहीं है, तो वह $0 का दांव लगा सकता है। किसी भी तरह से, उसकी जीत पक्की है। ऐसे में, A को $0 से $1,999 के बीच दांव लगाना चाहिए।

खिलाड़ी B के पास कोई उम्मीद नहीं है, जब तक कि A बहुत ज़्यादा दांव लगाकर हार न जाए। यहाँ, B को तीसरे स्थान के स्कोर पर विचार करना चाहिए और अगर हो सके तो उससे ऊपर रहने की कोशिश करनी चाहिए, जिससे दूसरे स्थान के लिए $2,000 जीतना संभव हो, जबकि तीसरे स्थान के लिए $1,000।

स्थिति बी

मान लीजिए A=$10,000 और B=$6,000

A की रणनीति यह है कि B से पूरी बाजी लगाने की उम्मीद की जाए और अगर सही हो तो 2B को कवर करने लायक बाजी लगाई जाए। हालाँकि, सुरक्षा के लिए, उसे इतना ज़्यादा बाजी नहीं लगानी चाहिए कि गलत होने पर B से नीचे गिर जाए। इस स्थिति में, उसे कम से कम 2B-A+1 और AB-1 पर बाजी लगानी चाहिए। इस स्थिति में, रेंज $2,001 और $3,999 है।

B के लिए रणनीति यह है कि अगर सही हो, तो A को पास करने के लिए कम से कम इतना स्कोर हासिल करे और अपना पूरा स्कोर बढ़ाए। इस मामले में, $4,001 और $6,000।

अगर दोनों खिलाड़ी उम्मीद के मुताबिक़ प्रदर्शन करते हैं और इसी रणनीति पर चलते हैं, तो खिलाड़ी B के जीतने का एकमात्र तरीका यही है कि A गलत हो और B सही। इसकी संभावना लगभग 19% है।

स्थिति C

यहां चीजें अधिक जटिल हो जाती हैं और इसमें अधिक खेल सिद्धांत और यादृच्छिकीकरण शामिल होता है।

मान लीजिए A=$10,000 और B=$7,000.

आगे बढ़ने से पहले, फ़ाइनल जेपर्डी क्लू के सही उत्तर दिए जाने की संभावना का अनुमान लगाना ज़रूरी है। सीज़न 30 से 34 के आधार पर, पहले स्थान पर रहने वाला खिलाड़ी 52% बार और दूसरे स्थान पर रहने वाला खिलाड़ी 46% बार सही था। हालाँकि, ये संभावनाएँ सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं। यहाँ सभी चार संभावनाओं का विवरण दिया गया है:

• दोनों सही: 27%
• प्रथम स्थान सही, द्वितीय स्थान गलत: 25%
• प्रथम स्थान गलत, द्वितीय स्थान सही: 19%
• दोनों गलत 29%.

पहले दो खिलाड़ियों के लिए जेपर्डी औसत 49% होने के बावजूद, दोनों के सही होने या दोनों के गलत होने की संभावना 56% है।

बेशक, ये श्रेणी के आधार पर बदल सकते हैं, लेकिन आइए चीजों को सरल रखें और ऊपर दी गई संभावनाओं का उपयोग करें।

इस स्थिति में, खिलाड़ी B को A के गलत और B के सही होने पर निर्भर नहीं रहना पड़ता। वह कम, मान लीजिए $0, दांव लगा सकता है, जिससे A के गलत होने पर उसकी जीत सुनिश्चित हो जाती है। दूसरे शब्दों में, अगर A, B के सही होने पर उसे कवर करने के लिए पर्याप्त दांव लगाता है, तो गलत होने पर और B के $0 दांव लगाने पर उसे B से नीचे गिरने का जोखिम उठाना पड़ेगा।

हालाँकि, अगर A ने अनुमान लगाया कि B कम, मान लीजिए $0, पर दांव लगाएगा, तो A भी $0 का दांव लगाकर जीत पक्की कर सकता है। दोनों खिलाड़ियों के पास मूलतः एक विकल्प होता है, कम या ज़्यादा दांव लगाना। A को B की तरह ही दांव लगाना चाहिए और B को B के विपरीत दांव लगाना चाहिए। अगर दोनों खिलाड़ी पूर्ण तर्कशास्त्री होते, तो वे अपने निर्णय यादृच्छिक रूप से लेते।

इस स्थिति में, A का उच्च दांव 2B-A+1 से AB-1 होना चाहिए, जैसा कि स्थिति B में है। इस स्थिति में $2,999 और $4,001 हैं। A का निम्न दांव $0 होना चाहिए।

B द्वारा लगाया गया उच्च दांव, स्थिति B के समान ही होना चाहिए, और यदि सही हो तो A को पास करने के लिए पर्याप्त दांव होना चाहिए। इस स्थिति में, $3,001 और $7,000। B द्वारा लगाया गया निम्न दांव $0 होना चाहिए।

यदि मैं गणित को छोड़कर सीधे दोनों खिलाड़ियों के लिए यादृच्छिकरण रणनीतियों पर आ जाऊं तो मुझे क्षमा करें।

खिलाड़ी A को 62.3% संभावना के साथ उच्च और 37.7% संभावना के साथ निम्न पर जाना चाहिए।

खिलाड़ी बी की संभावना 61.2% के साथ उच्च और 38.8% के साथ निम्न होनी चाहिए।

यह मानते हुए कि दोनों खिलाड़ी इस यादृच्छिकरण रणनीति का पालन करते हैं और ऊपर बताई गई संभाव्यता जोड़ियों के सही होने की संभावना है, खिलाड़ी A के जीतने की संभावना 65.2% है।

यदि खिलाड़ी A का स्कोर खिलाड़ी B के स्कोर से 2/3 से अधिक होता, तो उसके जीतने की संभावना 81.0% तक बढ़ जाती।

डबल जेपर्डी पर दांव लगाते समय दोनों खिलाड़ियों को 2/3 नियम के महत्व को ध्यान में रखना चाहिए।

इसके लिए मैंने अपने सम्मानित सहकर्मी गैरी कोहलर से संपर्क किया, जो वीडियो पोकर गणित के विशेषज्ञ हैं। उनका उत्तर 15,019,680 है।

जैसा कि मैंने किया, कैलकुलस का उपयोग करते हुए, इसका उत्तर देने के लिए मैं integral-calculator.com/ जैसे इंटीग्रल कैलकुलेटर की अनुशंसा करता हूं।

यहां मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह समस्या (थोड़े अलग शब्दों में) मेरे फोरम विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में पूछी गई है और इस पर चर्चा की गई है।