जादूगर से पूछो #345

यदि मुझे ताश के पत्तों के एक मिश्रित (अनुमानित यादृच्छिक) डेक से 13 पत्ते बांटने हों, तो मुझे कितने अलग-अलग रैंक देखने की उम्मीद करनी चाहिए?

Suited89

उत्तर 9.05037214885954 रैंक है।

[स्पॉइलर=समाधान]

यदि कभी कोई मार्कोव श्रृंखला जैसी समस्या थी तो यह वही है।

निम्नलिखित तालिका 1 से 52 तक बांटे गए सभी कार्डों के लिए 0 से 4 कार्डों के साथ अपेक्षित रैंकों की संख्या दर्शाती है।

बांटे गए कार्डों के आधार पर अपेक्षित रैंक

कार्ड	0 रैंक	1 रैंक	2 रैंक	3 रैंक	4 रैंक	अपेक्षित रैंक
1	12.000000	1.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000
2	11.058824	1.882353	0.058824	0.000000	0.000000	1.941176
3	10.174118	2.654118	0.169412	0.002353	0.000000	2.825882
4	9.343577	3.322161	0.324994	0.009220	0.000048	3.656423
5	8.564946	3.893157	0.519088	0.022569	0.000240	4.435054
6	7.836014	4.373589	0.745498	0.044178	0.000720	5.163986
7	7.154622	4.769748	0.998319	0.075630	0.001681	5.845378
8	6.518655	5.087731	1.271933	0.118319	0.003361	6.481345
9	5.926050	5.333445	1.561008	0.173445	0.006050	7.073950
10	5.374790	5.512605	1.860504	0.242017	0.010084	7.625210
11	4.862905	5.630732	2.165666	0.324850	0.015846	8.137095
12	4.388475	5.693157	2.472029	0.422569	0.023770	8.611525
13	3.949628	5.705018	2.775414	0.535606	0.034334	9.050372
14	3.544538	5.671261	3.071933	0.664202	0.048067	9.455462
15	3.171429	5.596639	3.357983	0.808403	0.065546	9.828571
16	2.828571	5.485714	3.630252	0.968067	0.087395	10.171429
17	2.514286	5.342857	3.885714	1.142857	0.114286	10.485714
18	2.226939	5.172245	4.121633	1.332245	0.146939	10.773061
19	1.964946	4.977863	4.335558	1.535510	0.186122	11.035054
20	1.726771	4.763505	4.525330	1.751741	0.232653	11.273229
21	1.510924	4.532773	4.689076	1.979832	0.287395	11.489076
22	1.315966	4.289076	4.825210	2.218487	0.351261	11.684034
23	1.140504	4.035630	4.932437	2.466218	0.425210	11.859496
24	0.983193	3.775462	5.009748	2.721345	0.510252	12.016807
25	0.842737	3.511405	5.056423	2.981993	0.607443	12.157263
26	0.717887	3.246098	5.072029	3.246098	0.717887	12.282113
27	0.607443	2.981993	5.056423	3.511405	0.842737	12.392557
28	0.510252	2.721345	5.009748	3.775462	0.983193	12.489748
29	0.425210	2.466218	4.932437	4.035630	1.140504	12.574790
30	0.351261	2.218487	4.825210	4.289076	1.315966	12.648739
31	0.287395	1.979832	4.689076	4.532773	1.510924	12.712605
32	0.232653	1.751741	4.525330	4.763505	1.726771	12.767347
33	0.186122	1.535510	4.335558	4.977863	1.964946	12.813878
34	0.146939	1.332245	4.121633	5.172245	2.226939	12.853061
35	0.114286	1.142857	3.885714	5.342857	2.514286	12.885714
36	0.087395	0.968067	3.630252	5.485714	2.828571	12.912605
37	0.065546	0.808403	3.357983	5.596639	3.171429	12.934454
38	0.048067	0.664202	3.071933	5.671261	3.544538	12.951933
39	0.034334	0.535606	2.775414	5.705018	3.949628	12.965666
40	0.023770	0.422569	2.472029	5.693157	4.388475	12.976230
41	0.015846	0.324850	2.165666	5.630732	4.862905	12.984154
42	0.010084	0.242017	1.860504	5.512605	5.374790	12.989916
43	0.006050	0.173445	1.561008	5.333445	5.926050	12.993950
44	0.003361	0.118319	1.271933	5.087731	6.518655	12.996639
45	0.001681	0.075630	0.998319	4.769748	7.154622	12.998319
46	0.000720	0.044178	0.745498	4.373589	7.836014	12.999280
47	0.000240	0.022569	0.519088	3.893157	8.564946	12.999760
48	0.000048	0.009220	0.324994	3.322161	9.343577	12.999952
49	0.000000	0.002353	0.169412	2.654118	10.174118	13.000000
50	0.000000	0.000000	0.058824	1.882353	11.058824	13.000000
51	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000	12.000000	13.000000
52	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	13.000000	13.000000

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

अपने वीडियो पोकर प्रोग्रामिंग टिप्स में, आप बताते हैं कि यद्यपि वीडियो पोकर में 2,598,960 संभावित शुरुआती हाथ हैं, 52-कार्ड डेक के साथ, विश्लेषण करने के लिए केवल 134,459 वर्गों के हाथ आवश्यक हैं।

मेरा प्रश्न यह है कि दो से छह डेक वाले कार्डों की कितनी श्रेणियां हैं?

गुमनाम

इसके लिए, मैंने अपने सम्मानित सहयोगी गैरी कोहलर से संपर्क किया, जो वीडियो पोकर गणित के विशेषज्ञ हैं। डेक की संख्या के अनुसार, उनके उत्तर इस प्रकार हैं:

वीडियो पोकर हाथों की कक्षाएं

डेक्स	युग्म	कक्षाओं
1	2,598,960	134,459
2	91,962,520	202,735
3	721,656,936	208,143
4	3,091,033,296	208,468
5	9,525,431,552	208,481
6	23,856,384,552	208,481

पाँच लाल और पाँच नीले पासे फेंके गए हैं। क्या संभावना है कि क्रम की परवाह किए बिना, दोनों पासों के एक जैसे ही पासे फेंके जाएँ? उदाहरण के लिए, दोनों पासे 1-2-3-3-6 हैं।

गुमनाम

3,557 / 559,872 = 0.006353238, या लगभग 1 / 157.

[स्पॉइलर=समाधान]

किसी भी प्रकार के रोल के लिए निम्नलिखित तालिका दर्शाई गई है:

इस रोल को प्राप्त करने के कई अलग-अलग तरीके हैं। उदाहरण के लिए, एक फुल हाउस के लिए, तीन एक जैसे के लिए छह संयोजन होते हैं और जोड़ी के लिए पाँच, यानी कुल 30 अलग-अलग फुल हाउस।
आदेशों की संख्या। उदाहरण के लिए, फुल हाउस के लिए, तीन एक जैसे पासों के लिए पाँच में से तीन पासों को चुनने के लिए combin(5,3)=10 तरीके हैं। बाकी दो के पास जोड़ी होनी चाहिए।
दिए गए हाथ को रोल करने के तरीकों की संख्या। यह पहले दो स्तंभों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, फुल हाउस रोल करने के 30 * 10 = 300 तरीके हैं।
हाथ की संभावना। उदाहरण के लिए, फुल हाउस के लिए संभावना 300/6 ⁵ = 0.038580 है।
दोनों रोल के एक जैसे होने और दिए गए हाथ के होने की प्रायिकता। यह चौथे वर्ग के कॉलम से प्राप्त प्रायिकता को दूसरे कॉलम से भाग देने पर प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दोनों रोल के फुल हाउस होने की प्रायिकता 0.038580 ² है। हालाँकि, दोनों रोल के एक ही फुल हाउस होने की प्रायिकता 1/30 है। इसलिए, दोनों रोल के एक ही फुल हाउस होने की प्रायिकता 0.038580 ² /30 = 0.00004961 है।

निचले दाएं सेल में दोनों रोल के समान होने की कुल संभावना 0.00635324 दर्शाई गई है।

मिलान रोल

प्रकार रोल का	अलग प्रकार	आदेश	कुल युग्म	संभावना एक रोल	संभावना दो रोल
एक तरह के पाँच	6	1	6	0.00077160	0.00000010
एक तरह के चार	30	5	150	0.01929012	0.00001240
पूरा घर	30	10	300	0.03858025	0.00004961
तीन हास्य अभिनेता	60	20	1,200	0.15432099	0.00039692
दो जोड़ी	60	30	1,800	0.23148148	0.00089306
जोड़ा	60	60	3,600	0.46296296	0.00357225
पाँच एकल	6	120	720	0.09259259	0.00142890
कुल			7,776	1.00000000	0.00635324