जादूगर से पूछो #339

अच्छा सवाल! सौभाग्य से, NFL स्कोरिगामी है जो हमें NFL के इतिहास में हर स्कोर संयोजन की गिनती बताती है।

मुझे यकीन है कि बारम्बारतावादी लोग मेरे उत्तर से नफरत करेंगे, लेकिन मुझे एक ऐसी घटना की संभावना जानने के लिए कुछ धारणाएं बनानी पड़ीं जो कभी घटित ही नहीं हुई।

सबसे पहले, व्यक्तिगत टीम स्कोर जानने के लिए, मैंने ऐतिहासिक NFL खेलों को देखा। खास तौर पर, 1994 और 2018 के बीच के खेलों को। मैंने 1994 इसलिए चुना क्योंकि उसी साल दो-पॉइंट कन्वर्ज़न नियम लागू हुआ था, जिससे व्यक्तिगत टीम स्कोर वितरण थोड़ा सा संतुलित हो गया। मैंने 2018 पर ही काम पूरा किया क्योंकि मेरे पास उपलब्ध डेटा का ऊपरी छोर यही था। यह रहा वह वितरण।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, लेकिन औसत टीम स्कोर 21.60165 है।

दूसरा, हर उस स्कोर xy के लिए, जो कभी नहीं हुआ, मैंने प्रायिकता की गणना 2×prob(x)×prob(y) के रूप में की। दो से गुणा क्यों करें? क्योंकि xy का स्कोर दो तरह से हो सकता है। उदाहरण के लिए, सुपर बाउल 55 का परिणाम कैनसस सिटी x -- टैम्पा बे y, या कैनसस सिटी y -- टैम्पा बे x हो सकता है। सुपर बाउल का परिणाम बराबरी पर नहीं भी हो सकता, इसलिए हमें xx स्कोर की चिंता करने की ज़रूरत नहीं है। अगर होती, तो हमें 2 से गुणा नहीं करना पड़ता।

उदाहरण के लिए, 11-15 का स्कोर कभी नहीं हुआ है। मैंने 11 की प्रायिकता 0.002539 और 15 की प्रायिकता 0.010157 रखी है। इससे 11-15 के स्कोर की प्रायिकता 2×0.002539×0.010157 = 0.0000515835 हो जाएगी।

हर उस स्कोर के लिए ऐसा करने पर जो कभी हुआ ही नहीं, कुल प्रायिकता 0.0179251 होती है। इस पर दांव लगाने के लिए उचित रेखा +5479, यानी लगभग 55 से 1 होगी। इसलिए सिर्फ़ 11 से 1 लगाना ही एक बेहतरीन दांव है! काश मुझे इसकी सुविधा मिलती।

मैं मानता हूँ कि इससे किसी भी टीम के एक अंक पाने की संभावना शून्य हो जाती है, जो पहले कभी नहीं हुआ, लेकिन हो सकता है। हाँ, एक अंक की सुरक्षा जैसी कोई चीज़ होती है। मुझे लगता है कि किसी भी टीम के एक अंक पाने की संभावना बेहद नगण्य है।

असल में, सुपर बाउल 55 में ओवर/अंडर 56.5 था। इतने ज़्यादा स्कोर वाले खेल में स्कोरिगामी की संभावना बढ़ जाती है। अगर मुझे अनुमान लगाने के लिए मजबूर किया जाए, तो मैं इसे 2% मानूँगा, यानी 49 से 1 का उचित अनुपात।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

[स्पॉइलर=समाधान]

स्प्रेडशीट में ऐसे उत्तर पाने का एक आसान तरीका है। उदाहरण के लिए, एक वैकल्पिक प्रश्न पर विचार करें, आठ पासों से कुल 20 आने की प्रायिकता क्या है?

"1 पासा" कॉलम के लिए 1 से 6 तक प्रत्येक कुल को रोल करने का स्पष्ट रूप से एक तरीका है।

दो या उससे ज़्यादा पासों वाले हर सेल के लिए, बाईं ओर एक सेल जाएँ और फिर उस सेल के ऊपर के छह सेल जोड़ें। यह स्पष्ट हो जाएगा कि यह क्यों काम करता है। आठ पासों और कुल 20 पासों वाले सेल में इस फ़ॉर्मूले को कॉपी और पेस्ट करें।

आप देख सकते हैं कि उस सेल में कुल 36,688 हैं। आठ छह-पक्षीय पासों को फेंकने के 8 ⁶ = 262,144 तरीके हैं। इस प्रकार, आठ पासों के साथ कुल 20 की प्रायिकता का उत्तर 36688 / 262,144 = 0.139954 है।

इसी तर्क का उपयोग करते हुए, 20 पासों के साथ कुल 53 की संभावना 0.059511 है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

[स्पॉइलर=समाधान]

होने देना:
t = रॉकेट ईंधन समाप्त होने के बाद का समय।
r = रॉकेट ईंधन का समय।

मैं त्वरण को ऊपर की दिशा में व्यक्त करूँगा। तो, रॉकेट ईंधन के जलने के बाद त्वरण -9.8 है।

याद दिला दें कि त्वरण का समाकल वेग है और वेग का समाकल स्थान है। आइए स्थान को ज़मीन के सापेक्ष बनाएँ।

जब रॉकेट को पहली बार प्रक्षेपित किया गया तो हमें बताया गया कि त्वरण 4 है।

समाकलन लेते हुए, r सेकण्ड के बाद रॉकेट का वेग 4r के बराबर होता है।

वेग का समाकल लेने पर हमें 2r ² के r सेकंड के बाद रॉकेट का स्थान मिलता है।

अब आइए देखें कि रॉकेट ईंधन के जलने के बाद क्या होता है।

हमें दिया गया है कि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण -9.8 है।

समय t पर गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग -9.8t है। हालाँकि, रॉकेट से ऊपर की ओर इसका वेग भी 4r है।

मान लीजिए v(t) = समय t पर वेग

वी(टी) = -9.8टी + 4आर

रॉकेट अधिकतम ऊंचाई तब प्राप्त करेगा जब v(t) = 0 होगा। आइये इसका हल निकालें।

v(t) = 0 = -9.8t + 4r
4आर = 9.8टी
टी = 40/98 आर = 20आर/49.

दूसरे शब्दों में, रॉकेट ईंधन जितना भी समय तक चला, रॉकेट उस समय के 20/49 भाग तक ऊपर की ओर यात्रा करता रहेगा।

हमें यह भी बताया गया है कि अधिकतम ऊंचाई पर तय की गई दूरी 138 है।

आइए, तय की गई दूरी का सूत्र प्राप्त करने के लिए v(t) का समाकल लें, जिसे हम d(t) कहेंगे।

d(t) = -4.9t ² + 4rt + c, जहाँ c एकीकरण का स्थिरांक है।

जैसा कि हम पहले ही दिखा चुके हैं, ईंधन के जलने तक रॉकेट 2r ² की दूरी तय कर चुका था, इसलिए यह समाकलन का स्थिरांक होना चाहिए। इससे हमें यह मिलता है:

डी(टी) = -4.9 ^{टी 2} + 4आरटी + 2आर ²

हम जानते हैं कि 138 की अधिकतम ऊंचाई 20r/49 समय पर पहुंची थी, तो आइए r को हल करने के लिए समीकरण में t=20r/49 डालें:

d((20r/49) = -4.9((20r/49) ² + 4r(20r/49) + 2r ² = 138

आर ² *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138

आर ² = 49

आर = 7

इस प्रकार, रॉकेट ईंधन सात सेकंड तक चला।

हम पहले से ही जानते हैं कि रॉकेट उस समय के 20/49 भाग तक ऊपर जाता रहा, जो कि 140/49 = लगभग 2.8571 सेकंड है।

इस प्रकार, प्रक्षेपण से अधिकतम वेग तक का समय 7 + 140/49 = 483/49 = लगभग 9.8571 सेकंड है

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।