WOO logo

विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #333

अनगिनत बल्ब हैं, सभी बंद। बल्बों के जलने के बीच का समय एक घातांकीय वितरण* का होता है जिसका माध्य एक दिन होता है। एक बार बल्ब जलने के बाद, उसकी जीवन प्रत्याशा भी एक घातांकीय वितरण का अनुसरण करती है जिसका माध्य एक दिन होता है।

पहला प्रकाश बल्ब जलने तक का औसत समय क्या है?

*: घातांकीय वितरण का पालन करने वाली यादृच्छिक घटनाओं में स्मृति-रहित गुण होता है, अर्थात अतीत का कोई महत्व नहीं होता। दूसरे शब्दों में, कोई भी घटना कभी भी अतिदेय नहीं होती और उसके घटित होने की संभावना हमेशा समान रहती है।

Ace2

उत्तर है e - 1 = लगभग 1.7182818...

[स्पॉइलर=समाधान]

औसतन, पहला प्रकाश बल्ब जलने में एक दिन लगेगा।

उसके बाद, अगली महत्वपूर्ण घटना, या तो नया बल्ब जलेगा या पहला बल्ब जल जाएगा, तक औसतन आधा दिन लगेगा। हम उस घटना तक प्रतीक्षा समय में आधा दिन जोड़ देते हैं। तो, अब हमारे पास 1 + (1/2) = 1.5 दिन हैं।

दूसरी घटना में दूसरा बल्ब जलने की आधी संभावना है। उस स्थिति में, अगली महत्वपूर्ण घटना (या तो पहले दो बल्बों में से एक का जलना या एक नया बल्ब जलना) होने तक 1/3 दिन का प्रतीक्षा समय है। इसलिए, प्रतीक्षा समय में 1/2 (इतनी दूर तक पहुँचने की संभावना) और 1/3 का गुणनफल, जो 1/6 के बराबर है, जोड़ें। तो, हम 1.5 + 1/6 = 5/3 = 1.66667 दिन पर नहीं हैं।

तीसरी महत्वपूर्ण घटना के तीसरे बल्ब के जलने की (1/2)*(1/3) = 1/6 संभावना है। उस स्थिति में, अगली महत्वपूर्ण घटना (या तो पहले तीन बल्बों में से एक का जलना या एक नया बल्ब जलना) होने तक 1/4 दिन का प्रतीक्षा समय है। इसलिए, प्रतीक्षा समय में 1/6 (इतनी दूर तक पहुँचने की संभावना) और 1/4 का गुणनफल, जो 1/24 के बराबर है, जोड़ें। तो, हम 5/3 + 1/24 = 41/24 = 1.7083 दिन पर नहीं हैं।

इस पैटर्न का अनुसरण करते हुए, उत्तर है (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

यह सामान्य ज्ञान होना चाहिए कि e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

अंतर सिर्फ़ इतना है कि हमारे उत्तर में 1/0! कारक नहीं है। इसलिए, उत्तर है e - 1/0! = e - 1 = लगभग 1.7182818...

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

औसतन, एक व्यक्ति को अपने हाथ में सभी 52 कार्ड देखने के लिए हार्ट्स* के कितने खेल खेलने होंगे?

*: हार्ट्स 52 पत्तों वाले एक डेक से खेला जाता है। प्रत्येक हाथ में 13 पत्ते होते हैं।

गुमनाम

सभी 52 कार्ड देखने के लिए आवश्यक हाथों की औसत संख्या लगभग 16.41217418 है।

[स्पॉइलर=समाधान]

मैंने इस समस्या को हल करने के लिए एक्सेल में मार्कोव श्रृंखला का उपयोग किया। निम्न तालिका 4 से 100 हाथों में सभी 52 पत्ते देखने की प्रायिकता दर्शाती है। बायाँ स्तंभ हाथों की संख्या दर्शाता है। मध्य स्तंभ इस प्रायिकता को दर्शाता है कि खिलाड़ी इतने हाथों में 52वाँ पत्ता ठीक-ठीक देख पाता है। दायाँ स्तंभ इस प्रायिकता को दर्शाता है कि खिलाड़ी इतने हाथों या उससे कम में सभी 52 पत्ते ठीक-ठीक देख पाता है। उदाहरण के लिए, ठीक 20 हाथ लगने की प्रायिकता 4.64% है और 20 या उससे कम हाथ लगने की प्रायिकता 84.63% है।

दिल का सवाल

हाथ संभावना
एकदम सही
संख्या		 संभावना
इस के द्वारा
संख्या
4 0.0000000000 0.0000000000
5 0.0000000002 0.0000000002
6 0.0000007599 0.0000007601
7 0.0000746722 0.0000754323
8 0.0012814367 0.0013568690
9 0.0078648712 0.0092217402
10 0.0250926475 0.0343143878
11 0.0519205664 0.0862349541
12 0.0800617820 0.1662967361
13 0.1007166199 0.2670133561
14 0.1098088628 0.3768222189
15 0.1081357062 0.4849579251
16 0.0989810156 0.5839389408
17 0.0859323992 0.6698713400
18 0.0717845305 0.7416558705
19 0.0582992717 0.7999551422
20 0.0463771514 0.8463322937
21 0.0363346393 0.8826669329
22 0.0281478762 0.9108148092
23 0.0216247308 0.9324395399
24 0.0165110023 0.9489505422
25 0.0125489118 0.9614994539
26 0.0095051901 0.9710046441
27 0.0071815343 0.9781861784
28 0.0054157295 0.9836019079
29 0.0040783935 0.9876803013
30 0.0030680973 0.9907483986
31 0.0023062828 0.9930546814
32 0.0017326282 0.9947873096
33 0.0013011028 0.9960884124
34 0.0009767397 0.9970651521
35 0.0007330651 0.9977982171
36 0.0005500841 0.9983483012
37 0.0004127226 0.9987610238
38 0.0003096311 0.9990706549
39 0.0002322731 0.9993029280
40 0.0001742327 0.9994771607
41 0.0001306901 0.9996078508
42 0.0000980263 0.9997058771
43 0.0000735246 0.9997794017
44 0.0000551461 0.9998345478
45 0.0000413611 0.9998759089
46 0.0000310217 0.9999069306
47 0.0000232667 0.9999301974
48 0.0000174503 0.9999476477
49 0.0000130879 0.9999607356
50 0.0000098160 0.9999705516
51 0.0000073620 0.9999779136
52 0.0000055216 0.9999834352
53 0.0000041412 0.9999875764
54 0.0000031059 0.9999906823
55 0.0000023294 0.9999930117
56 0.0000017471 0.9999947588
57 0.0000013103 0.9999960691
58 0.0000009827 0.9999970518
59 0.0000007370 0.9999977889
60 0.0000005528 0.9999983416
61 0.0000004146 0.9999987562
62 0.0000003109 0.9999990672
63 0.0000002332 0.9999993004
64 0.0000001749 0.9999994753
65 0.0000001312 0.9999996065
66 0.0000000984 0.9999997048
67 0.0000000738 0.9999997786
68 0.0000000553 0.9999998340
69 0.0000000415 0.9999998755
70 0.0000000311 0.9999999066
71 0.0000000233 0.9999999300
72 0.0000000175 0.9999999475
73 0.0000000131 0.9999999606
74 0.0000000098 0.9999999705
75 0.0000000074 0.9999999778
76 0.0000000055 0.9999999834
77 0.0000000042 0.9999999875
78 0.0000000031 0.9999999907
79 0.0000000023 0.9999999930
80 0.0000000018 0.9999999947
81 0.0000000013 0.9999999961
82 0.0000000010 0.9999999970
83 0.0000000007 0.9999999978
84 0.0000000006 0.9999999983
85 0.0000000004 0.9999999988
86 0.0000000003 0.9999999991
87 0.0000000002 0.9999999993
88 0.0000000002 0.9999999995
89 0.0000000001 0.9999999996
90 0.0000000001 0.9999999997
91 0.0000000001 0.9999999998
92 0.0000000001 0.9999999998
93 0.0000000000 0.9999999999
94 0.0000000000 0.9999999999
95 0.0000000000 0.9999999999
96 0.0000000000 0.9999999999
97 0.0000000000 1.0000000000
98 0.0000000000 1.0000000000
99 0.0000000000 1.0000000000
100 0.0000000000 1.0000000000
[/बिगाड़ने वाला]

कैल नेव एरी के कैसीनो में निम्नलिखित नियमों वाला एक पुराना इलेक्ट्रॉनिक ब्लैकजैक गेम है:

  • जीत, ब्लैकजैक को छोड़कर, 2 के लिए 3 (या 1 से 2) का भुगतान करती है
  • ब्लैकजैक में 1 के बदले 6 (या 5 से 1) का भुगतान होता है
  • एकल डेक
  • डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है
  • किसी भी प्रारंभिक दो कार्ड पर दोगुना
  • विभाजन की अनुमति है
  • विभाजन के बाद डबल करें
  • पुनः विभाजन नहीं
  • कोई आत्मसमर्पण नहीं

wizardofodds.com /wizfiles/img/2013/cal-nev-ari.jpeg">

Rosebud

दिलचस्प बात है। मेरा मानना है कि अगर खिलाड़ी दांव दोगुना कर देता है और जीत जाता है, तब भी उसे कुल दांव राशि पर केवल 1 से 2 का भुगतान किया जाएगा।

सबसे पहले, इन नियमों के लिए बुनियादी रणनीति इस प्रकार है:

  • हार्ड हैंड: कभी भी डबल न करें। अन्यथा, पारंपरिक बुनियादी रणनीति की तरह खेलें, सिवाय इसके कि 12 बनाम 3 और 16 बनाम 10 पर खड़े रहें।
  • सॉफ्ट हैंड्स: कभी भी डबल न करें। सॉफ्ट 17 या उससे कम और सॉफ्ट 18 बनाम 9 पर हिट करें। अन्यथा, खड़े रहें।
  • जोड़े: 6 से 8 के विरुद्ध केवल 8 को विभाजित करें। हमेशा दो इक्के लगाएँ। अन्यथा, हार्ड टोटल के लिए रणनीति का पालन करें।

इन नियमों और रणनीति के तहत, मुझे 7.88% का हाउस एज मिलता है।

यदि खिलाड़ी को क्रेप्स में पास लाइन बेट जीतने के लिए सात लाने से पहले दो बार अंक प्राप्त करना पड़े, तो इससे हाउस एज में कितनी वृद्धि होगी?

Gary

इस भयानक नियम से हाउस एज 1.41% से बढ़कर 33.26% हो जाएगा।