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विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #332

1, 5, 10, 25, 50 सेंट और $1 के मानक अमेरिकी सिक्कों का उपयोग करके, $1 के लिए कितने तरीकों से बदलाव किया जा सकता है?

Gialmere

उत्तर 293 है।

[स्पॉइलर=समाधान]

मान लें कि a(x) = केवल पेनी और निकल का उपयोग करके x सेंट बनाने के तरीकों की संख्या, जहां x, 5 से विभाज्य है।

ए(एक्स) = 1+(एक्स/5)

दूसरे शब्दों में, तरीकों की संख्या परिवर्तन में संभावित निकल्स की संख्या है, जो 0 से x/5 तक होगी।

मान लें कि b(x) = केवल पेनी, निकल और डाइम का उपयोग करके x सेंट बनाने के तरीकों की संख्या, जहां x, 5 से विभाज्य है।

बी(0)=1
बी(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10), जहाँ x>=10.

सरल अंग्रेजी में, x सेंट बनाने के तरीकों की संख्या, (1) b(x-10) = प्रत्येक तरीके में एक डाइम जोड़कर x-10 सेंट के लिए तरीकों की संख्या और (2) a(x) = बिना डाइम का उपयोग किए तरीकों की संख्या का योग है।

मान लें कि c(x) = x सेंट बनाने के तरीकों की संख्या, केवल पेनी, निकल, डाइम और क्वार्टर का उपयोग करके, जहां x, 25 से विभाज्य है।

सी(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25), जहाँ x>=25.

सरल अंग्रेजी में, x सेंट बनाने के तरीकों की संख्या, (1) c(x-25) = प्रत्येक तरीके में एक चौथाई जोड़कर x-25 सेंट के लिए तरीकों की संख्या और (2) b(x) = बिना किसी चौथाई का उपयोग किए तरीकों की संख्या का योग है।

मान लें कि d(x) = x सेंट बनाने के तरीकों की संख्या, केवल पेनी, निकल, डाइम, क्वार्टर और आधे डॉलर का उपयोग करके, जहां x 50 से विभाज्य है।

डी(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50), जहाँ x>=50.

सरल अंग्रेजी में, x सेंट बनाने के तरीकों की संख्या, (1) d(x-50) = प्रत्येक तरीके में आधा डॉलर जोड़कर x-50 सेंट के तरीकों की संख्या और (2) c(x) = बिना आधे डॉलर का उपयोग किए तरीकों की संख्या का योग है।

नीचे दी गई तालिका x = 5 से 100 तक के लिए इन मानों को दर्शाती है।

बदलाव लाने के तरीके

एक्स ए(एक्स) बी(एक्स) सी(एक्स) डी(एक्स)
0 1 1 1
5 2 2 0
10 3 4 0
15 4 6 0
20 5 9 0
25 6 12 13
30 7 16 0
35 8 20 0
40 9 25 0
45 10 30 0
50 11 36 49 50
55 12 42 0
60 13 49 0
65 14 56 0
70 15 64 0
75 16 72 121
80 17 81 0
85 18 90 0
90 19 100 0
95 20 110 0
100 21 121 242 292

अंत में, $1 के सिक्के के लिए एक जोड़ें और उत्तर 292+1 = 293 होगा।

[/बिगाड़ने वाला]

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

मैंने डबल-ज़ीरो रूलेट में 3,000 बार स्पिन किए क्योंकि पहले दर्जन नंबर दूसरे दो दर्जन के मुकाबले कम आए। 3,000 स्पिन में, 1 से 12 तक की संख्याएँ 742 बार आईं। इसकी संभावना क्या है?

गुमनाम

आप उम्मीद करेंगे कि 1 से 12 तक गेंद कितनी बार गिरेगी, 3000*(12/38) = 947.37 होगी।

आपके परिणामों और अपेक्षाओं के बीच का अंतर 947.37 - 742 = 205.37 है।

विचरण 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20 है।

मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है = sqrt(648.20) = 25.46.

आपके परिणाम 205.37/25.46 = 11.75 मानक विचलन हैं जो अपेक्षाओं से कम हैं।

p मान, या 11.75 मानक विचलन या उससे अधिक से दूर होने की संभावना 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000 में 1 है।

मुझे यह जानने में दिलचस्पी होगी कि पहिया कहां है।

मुझे एक ब्लैकजैक गेम मिला है जिसमें अगर खिलाड़ी दहाई या इक्के बांटने के बाद ब्लैकजैक जीतता है तो उसे 6 से 5 अंक मिलते हैं। इक्के को दोबारा बांटने की अनुमति नहीं है। डीलर का ब्लैकजैक किसी भी हाथ को हरा देता है, सिवाय इसके कि वह स्वाभाविक खिलाड़ी के ब्लैकजैक के खिलाफ पुश करे। अगर डीलर 21 अंक तक ड्रॉ करता है, तो इक्का और दहाई बांटने के बाद जीतने वाला खिलाड़ी जीत जाता है।

Scrooge

आइए दहाई को विभाजित करने की बात को नजरअंदाज करें, क्योंकि इस नियम के साथ भी, खिलाड़ी को किसी भी चीज के खिलाफ 20 पर खड़ा होना चाहिए।

छह डेक मानते हुए, इक्कों की एक जोड़ी की संभावना संयोजन (24,2) / संयोजन (312,2) = 276/48,516 = 0.5689% है।

ब्लैकजैक में विकसित होने वाले दो इक्कों की अपेक्षित संख्या 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355 है।

डीलर के पास ब्लैकजैक न होने की संभावना 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95.590354% है।

डीलर के 21 पॉइंट तक ड्रॉ करने की संभावना 7.7981% है। इसका गणित इतना जटिल है कि उसे समझाना मुश्किल है।

नियम के उपयोगी होने की संभावना 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044% है।

प्रति घटना लाभ = Pr(डीलर 21 अंक तक नहीं पहुंचता) * (0.2) + Pr(डीलर 21 अंक तक पहुंचता है) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778.

नियम का समग्र लाभ इस बात का गुणनफल है कि स्थिति कितनी बार घटित होती है और जब घटित होती है तो लाभ = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%।

आपके पास दो पासे हैं। आप दोनों पासों के प्रत्येक पक्ष को अपनी इच्छानुसार संख्या दे सकते हैं, बशर्ते कि प्रत्येक पक्ष एक पूर्णांक हो और एक से बड़ा या बराबर हो। आप एक ही पासे पर एक ही संख्या दोहरा सकते हैं और अपनी इच्छानुसार ऊपर जा सकते हैं। मानक पासे बनाने के अलावा, आप उन्हें कैसे संख्या दे सकते हैं ताकि किसी भी दिए गए योग की प्रायिकता मानक पासों के समान हो?

गुमनाम

[स्पॉइलर=उत्तर]

पासा 1 = 1,2,2,3,3,4.
पासा 2 = 1,3,4,5,6,8.

मुझे डर है कि इस समस्या का मेरा समाधान काफी हद तक परीक्षण और त्रुटि पर आधारित था।

[/बिगाड़ने वाला]

यदि मैं इलिनोइस ड्यूसेस में नॉट सो अग्ली डक्स के लिए इष्टतम रणनीति खेलता हूं तो खिलाड़ी की गलतियों की लागत क्या है?

गुमनाम

याद दिलाने के लिए, यहां वेतन तालिकाएं दी गई हैं:

इतने बदसूरत बत्तख नहीं: 1-2-3-4-4-10-16-25-200-800.
इलिनोइस ड्यूस: 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

इसके बाद, यहां नॉट सो अग्ली डक्स के लिए रिटर्न तालिका दी गई है, जो उस खेल के लिए इष्टतम रणनीति का अनुसरण करती है।

इतने बदसूरत बत्तख नहीं - सही रणनीति

आयोजन भुगतान करता है युग्म संभावना वापस करना
प्राकृतिक रॉयल फ्लश 800 458,696,304 0.000023 0.018409
चार ड्यूस 200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
जंगली रॉयल फ्लश 25 38,006,962,464 0.001907 0.047668
एक तरह के पाँच 16 61,961,233,656 0.003108 0.049735
स्ट्रेट फ्लश 10 102,392,435,976 0.005137 0.051368
एक तरह के चार 4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
पूरा घर 4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
लालिमा 3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
सीधा 2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
तीन हास्य अभिनेता 1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
कुछ नहीं 0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
कुल 19,933,230,517,200 1.000000 0.997283

इसके बाद, यहाँ इलिनॉय ड्यूसेस के लिए रिटर्न तालिका दी गई है, जिसमें उस भुगतान तालिका के लिए सही रणनीति का उपयोग किया गया है। निचले दाएँ सेल में 0.989131 का रिटर्न दिखाया गया है।

इलिनोइस ड्यूसेस - सही रणनीति

आयोजन भुगतान करता है युग्म संभावना वापस करना
प्राकृतिक रॉयल फ्लश 800 459,049,128 0.000023 0.018423
चार ड्यूस 200 3,727,422,492 0.000187 0.037399
जंगली रॉयल फ्लश 25 38,117,987,136 0.001912 0.047807
एक तरह के पाँच 15 62,201,557,608 0.003120 0.046807
स्ट्रेट फ्लश 9 98,365,859,016 0.004935 0.044413
एक तरह के चार 4 1,221,942,888,444 0.061302 0.245207
पूरा घर 4 522,030,131,520 0.026189 0.104756
लालिमा 3 407,586,633,720 0.020448 0.061343
सीधा 2 1,145,767,137,120 0.057480 0.114961
तीन हास्य अभिनेता 1 5,342,397,992,292 0.268015 0.268015
कुछ नहीं 0 11,090,633,858,724 0.556389 0.000000
कुल 19,933,230,517,200 1.000000 0.989131

अगली तालिका इलिनोइस ड्यूसेस के लिए भुगतान तालिका पर नॉट सो अग्ली डक्स के संयोजनों और प्रायिकता का उपयोग करके रिटर्न तालिका दिखाती है। निचले दाएँ कक्ष में 0.989131 का रिटर्न दिखाया गया है।

इलिनोइस ड्यूसेस - एनएसयूडी रणनीति

आयोजन भुगतान करता है युग्म संभावना वापस करना
प्राकृतिक रॉयल फ्लश 800 458,696,304 0.000023 0.018409
चार ड्यूस 200 3,721,737,204 0.000187 0.037342
जंगली रॉयल फ्लश 25 38,006,962,464 0.001907 0.047668
एक तरह के पाँच 15 61,961,233,656 0.003108 0.046627
स्ट्रेट फ्लश 9 102,392,435,976 0.005137 0.046231
एक तरह के चार 4 1,216,681,289,508 0.061038 0.244151
पूरा घर 4 520,566,943,104 0.026116 0.104462
लालिमा 3 413,870,908,056 0.020763 0.062289
सीधा 2 1,142,885,476,800 0.057336 0.114671
तीन हास्य अभिनेता 1 5,325,911,611,716 0.267188 0.267188
कुछ नहीं 0 11,106,773,222,412 0.557199 0.000000
कुल 19,933,230,517,200 1.000000 0.989038

त्रुटियों की लागत इलिनोइस ड्यूसेस (दूसरी तालिका) के लिए इष्टतम रिटर्न से NSUD रणनीति (तीसरी तालिका) का उपयोग करते हुए इलिनोइस ड्यूसेस के लिए रिटर्न घटाकर प्राप्त की गई है = 0.989131 - 0.989038 = 0.000093।