WOO logo

विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #331

मान लीजिए कि अमेरिकी प्रतिनिधि सभा के सभी 435 मतदान सदस्य एक ही ज़ूम कॉल में शामिल होते हैं, जो सुबह 9 बजे से 10 बजे तक चलने वाली है। हालाँकि, पूरी कॉल में शामिल होना ज़रूरी नहीं है, बस उसके किसी एक हिस्से में शामिल होना ज़रूरी है। प्रत्येक सदस्य उस एक घंटे की सीमा के भीतर कॉल में शामिल होने और बाहर निकलने के लिए यादृच्छिक रूप से एक सटीक समय चुनता है। क्या संभावना है कि कम से कम एक प्रतिनिधि कॉल पर हर दूसरे प्रतिनिधि के साथ ओवरलैप हो? दूसरे शब्दों में, कॉल पर अपने समय के दौरान हर दूसरे सदस्य का चेहरा देखना, ज़रूरी नहीं कि सभी एक ही समय पर हों।

गुमनाम

उत्तर के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।

2/3

यहाँ मेरा समाधान (पीडीएफ) है।

यह समस्या मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछी गई और इस पर चर्चा की गई।

इसे फाइव थर्टी एट पर पहेली, क्या आप विश्व के सबसे बड़े जूम कॉल में शामिल हो सकते हैं? से रूपांतरित किया गया था।

यदि खिलाड़ी पुनः विभाजन सीमा तक पहुंच गया है, तथा इक्कों को विभाजित करने के लिए ड्रॉ की अनुमति है, तो आपके मूल रणनीति चार्ट में यह नहीं बताया गया है कि इक्कों की जोड़ी के साथ क्या करना है।

J.R. से Las Vegas

ऐसा ब्लैकजैक गेम मिलना बेहद मुश्किल है जिसमें ड्रॉ करके इक्कों को विभाजित किया जा सके, इक्कों का एक जोड़ा दिया जा सके और फिर विभाजन सीमा तक पहुँचा जा सके। फिर भी, मैं सबसे अस्पष्ट स्थितियों को संबोधित करने का प्रयास करता हूँ और स्वीकार करता हूँ कि इस प्रश्न के समय मेरी बुनियादी रणनीति तालिकाओं में यह नहीं बताया गया था कि इस स्थिति में क्या करना चाहिए।

इसका उत्तर है हिट करना, डबल को छोड़कर यदि:

  • डीलर के पास छह हैं (किसी भी संख्या में डेक के साथ)
  • डीलर के पास एक या दो डेक के साथ पांच अप है।

यहां विभिन्न परिस्थितियों में इस स्थिति का अपेक्षित मूल्य दिया गया है।

हिटिंग और डबलिंग का अपेक्षित मूल्य सॉफ्ट 12

डेक्स खड़ा होना
सॉफ्ट 17		 डीलर
अप कार्ड		 मार
ईवी		 दोहरा
ईवी		 श्रेष्ठ
खेल
1 खड़ा होना 5 0.182014 0.215727 दोहरा
1 मार 5 0.182058 0.215933 दोहरा
1 खड़ा होना 6 0.199607 0.247914 दोहरा
1 मार 6 0.201887 0.258415 दोहरा
2 खड़ा होना 5 0.169241 0.170637 दोहरा
2 मार 5 0.169339 0.171311 दोहरा
2 खड़ा होना 6 0.192311 0.213109 दोहरा
2 मार 6 0.194397 0.227011 दोहरा
4 खड़ा होना 5 0.162849 0.148228 मार
4 मार 5 0.162955 0.149183 मार
4 खड़ा होना 6 0.18902 0.196249 दोहरा
4 मार 6 0.19074 0.211466 दोहरा

अपेक्षित मान मेरे ब्लैकजैक हाथ कैलकुलेटर से लिया गया है।

आगामी 2020 के राष्ट्रपति चुनाव में, किसी उम्मीदवार को लोकप्रिय वोट का सबसे कम प्रतिशत कितना मिल सकता है और फिर भी वह जीत सकता है? कृपया मान लें कि सभी लोग वोट देते हैं और केवल दो उम्मीदवारों में से एक को।

गुमनाम

इसका उत्तर यह है कि कोई उम्मीदवार 21.69% लोकप्रिय वोट पाकर भी जीत सकता है।

विस्तार से समझने के लिए, निम्न तालिका राज्यवार जनसंख्या और चुनावी वोटों को दर्शाती है। जनसंख्या के आंकड़े 2019 के अनुसार लिए गए हैं और चुनावी वोटों को 2010 में अंतिम बार समायोजित किया गया था। संयुक्त राज्य अमेरिका के बाहर के मेरे पाठकों को याद दिला दूँ कि प्रत्येक राज्य को दो अतिरिक्त चुनावी वोट भी मिलते हैं। इसका परिणाम यह होता है कि कम जनसंख्या वाले राज्यों का चुनावों पर बड़ी जनसंख्या वाले राज्यों की तुलना में कहीं अधिक प्रभाव होता है। 2020 के चुनाव तक, व्योमिंग के मतदाताओं का राष्ट्रपति चुनाव में टेक्सास के मतदाताओं से लगभग चार गुना अधिक प्रभाव है।

नियमों के अनुसार, एक उम्मीदवार टेक्सास, फ्लोरिडा, कैलिफ़ोर्निया, उत्तरी कैरोलिना, न्यूयॉर्क, जॉर्जिया, एरिज़ोना, वर्जीनिया, ओहायो, पेंसिल्वेनिया, न्यू जर्सी और मिसौरी में 100% वोट प्राप्त कर सकता है, साथ ही बाकी सभी राज्यों में आधे वोट (एक कम) प्राप्त करके कुल 257,085,170 लोकप्रिय वोट प्राप्त कर सकता है। वहीं, दूसरे उम्मीदवार को केवल 71,215,374 वोट मिलेंगे, और वह आवश्यक 270 इलेक्टोरल वोटों से जीत जाएगा।

निम्नलिखित तालिका में इसे विस्तृत रूप से बताया गया है। इसे प्रति निर्वाचक वोट दस लाख की जनसंख्या के क्रम में सूचीबद्ध किया गया है (न्यूनतम से अधिकतम तक)।

निर्वाचक मंडल का काल्पनिक परिदृश्य

राज्य जनसंख्या निर्वाचन
वोट		 लाख लोग
प्रति चुनावी वोट		 A के लिए वोट B के लिए वोट
टेक्सास 28,995,881 38 1.311 - 28,995,881
फ्लोरिडा 21,477,737 29 1.350 - 21,477,737
कैलिफोर्निया 39,512,223 55 1.392 - 39,512,223
उत्तरी केरोलिना 10,488,084 15 1.430 - 10,488,084
न्यूयॉर्क 19,453,561 29 1.491 - 19,453,561
जॉर्जिया 10,617,423 16 1.507 - 10,617,423
एरिज़ोना 7,278,717 11 1.511 - 7,278,717
वर्जीनिया 8,535,519 13 1.523 - 8,535,519
ओहियो 11,689,100 18 1.540 - 11,689,100
पेंसिल्वेनिया 12,801,989 20 1.562 - 12,801,989
कोलोराडो 5,758,736 9 1.563 2,879,369 2,879,367
वाशिंगटन 7,614,893 12 1.576 3,807,447 3,807,446
न्यू जर्सी 8,882,190 14 1.576 - 8,882,190
इलिनोइस 12,671,821 20 1.578 6,335,911 6,335,910
मैसाचुसेट्स 6,949,503 11 1.583 3,474,752 3,474,751
मिशिगन 9,986,857 16 1.602 4,993,429 4,993,428
टेनेसी 6,833,174 11 1.610 3,416,588 3,416,586
मिसौरी 6,137,428 10 1.629 - 6,137,428
इंडियाना 6,732,219 11 1.634 3,366,110 3,366,109
मैरीलैंड 6,045,680 10 1.654 3,022,841 3,022,839
ओरेगन 4,217,737 7 1.660 2,108,869 2,108,868
विस्कॉन्सिन 5,822,434 10 1.717 2,911,218 2,911,216
लुइसियाना 4,648,794 8 1.721 2,324,398 2,324,396
दक्षिण कैरोलिना 5,148,714 9 1.748 2,574,358 2,574,356
ओकलाहोमा 3,956,971 7 1.769 1,978,486 1,978,485
मिनेसोटा 5,639,632 10 1.773 2,819,817 2,819,815
केंटकी 4,467,673 8 1.791 2,233,837 2,233,836
अलाबामा 4,903,185 9 1.836 2,451,593 2,451,592
यूटा 3,205,958 6 1.872 1,602,980 1,602,978
आयोवा 3,155,070 6 1.902 1,577,536 1,577,534
नेवादा 3,080,156 6 1.948 1,540,079 1,540,077
कनेक्टिकट 3,565,287 7 1.963 1,782,644 1,782,643
अर्कांसस 3,017,825 6 1.988 1,508,913 1,508,912
मिसिसिपी 2,976,149 6 2.016 1,488,075 1,488,074
कान्सास 2,913,314 6 2.060 1,456,658 1,456,656
इडाहो 1,787,065 4 2.238 893,533 893,532
न्यू मैक्सिको 2,096,829 5 2.385 1,048,415 1,048,414
नेब्रास्का 1,934,408 5 2.585 967,205 967,203
वेस्ट वर्जीनिया 1,792,147 5 2.790 896,074 896,073
MONTANA 1,068,778 3 2.807 534,390 534,388
हवाई 1,415,872 4 2.825 707,937 707,935
न्यू हैम्पशायर 1,359,711 4 2.942 679,856 679,855
मैंने 1,344,212 4 2.976 672,107 672,105
डेलावेयर 973,764 3 3.081 486,883 486,881
दक्षिणी डकोटा 884,659 3 3.391 442,330 442,329
रोड आइलैंड 1,059,361 4 3.776 529,681 529,680
नॉर्थ डकोटा 762,062 3 3.937 381,032 381,030
अलास्का 731,545 3 4.101 365,773 365,772
डीसी 705,749 3 4.251 352,875 352,874
वरमोंट 623,989 3 4.808 311,995 311,994
व्योमिंग 578,759 3 5.184 289,380 289,379
कुल 328,300,544 538 71,215,374 257,085,170

स्रोत:

यह मानते हुए कि सात आउट के कारण फायर बेट नहीं हारी, तो सभी छह बिंदुओं पर जीतने के लिए औसतन कितने रोल की आवश्यकता होगी?

गुमनाम

उत्तर 219.149467 है।

मैं इसे हल करने के दो तरीके सोच सकता हूँ। पहला है मार्कोव श्रृंखला। नीचे दी गई तालिका 128 संभावित अवस्थाओं में से किसी भी अवस्था से अपेक्षित रोल्स को दर्शाती है।

फायर बेट — मार्कोव चेन

बिंदु 4
बनाया		 बिंदु 5
बनाया		 बिंदु 6
बनाया		 बिंदु 8
बनाया		 बिंदु 9
बनाया		 बिंदु 10
बनाया		 अपेक्षित
रोल्स
नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं 219.149467
नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं हाँ 183.610129
नहीं नहीं नहीं नहीं हाँ नहीं 208.636285
नहीं नहीं नहीं नहीं हाँ हाँ 168.484195
नहीं नहीं नहीं हाँ नहीं नहीं 215.452057
नहीं नहीं नहीं हाँ नहीं हाँ 177.801038
नहीं नहीं नहीं हाँ हाँ नहीं 203.975216
नहीं नहीं नहीं हाँ हाँ हाँ 160.639243
नहीं नहीं हाँ नहीं नहीं नहीं 215.452057
नहीं नहीं हाँ नहीं नहीं हाँ 177.801038
नहीं नहीं हाँ नहीं हाँ नहीं 203.975216
नहीं नहीं हाँ नहीं हाँ हाँ 160.639243
नहीं नहीं हाँ हाँ नहीं नहीं 211.272344
नहीं नहीं हाँ हाँ नहीं हाँ 170.911638
नहीं नहीं हाँ हाँ हाँ नहीं 198.520513
नहीं नहीं हाँ हाँ हाँ हाँ 150.740559
नहीं हाँ नहीं नहीं नहीं नहीं 208.636285
नहीं हाँ नहीं नहीं नहीं हाँ 168.484195
नहीं हाँ नहीं नहीं हाँ नहीं 196.113524
नहीं हाँ नहीं नहीं हाँ हाँ 149.383360
नहीं हाँ नहीं हाँ नहीं नहीं 203.975216
नहीं हाँ नहीं हाँ नहीं हाँ 160.639243
नहीं हाँ नहीं हाँ हाँ नहीं 189.938796
नहीं हाँ नहीं हाँ हाँ हाँ 137.865939
नहीं हाँ हाँ नहीं नहीं नहीं 203.975216
नहीं हाँ हाँ नहीं नहीं हाँ 160.639243
नहीं हाँ हाँ नहीं हाँ नहीं 189.938796
नहीं हाँ हाँ नहीं हाँ हाँ 137.865939
नहीं हाँ हाँ हाँ नहीं नहीं 198.520513
नहीं हाँ हाँ हाँ नहीं हाँ 150.740559
नहीं हाँ हाँ हाँ हाँ नहीं 182.290909
नहीं हाँ हाँ हाँ हाँ हाँ 121.527273
हाँ नहीं नहीं नहीं नहीं नहीं 183.610129
हाँ नहीं नहीं नहीं नहीं हाँ 136.890807
हाँ नहीं नहीं नहीं हाँ नहीं 168.484195
हाँ नहीं नहीं नहीं हाँ हाँ 113.177130
हाँ नहीं नहीं हाँ नहीं नहीं 177.801038
हाँ नहीं नहीं हाँ नहीं हाँ 126.849235
हाँ नहीं नहीं हाँ हाँ नहीं 160.639243
हाँ नहीं नहीं हाँ हाँ हाँ 98.046264
हाँ नहीं हाँ नहीं नहीं नहीं 177.801038
हाँ नहीं हाँ नहीं नहीं हाँ 126.849235
हाँ नहीं हाँ नहीं हाँ नहीं 160.639243
हाँ नहीं हाँ नहीं हाँ हाँ 98.046264
हाँ नहीं हाँ हाँ नहीं नहीं 170.911638
हाँ नहीं हाँ हाँ नहीं हाँ 113.931818
हाँ नहीं हाँ हाँ हाँ नहीं 150.740559
हाँ नहीं हाँ हाँ हाँ हाँ 75.954545
हाँ हाँ नहीं नहीं नहीं नहीं 168.484195
हाँ हाँ नहीं नहीं नहीं हाँ 113.177130
हाँ हाँ नहीं नहीं हाँ नहीं 149.383360
हाँ हाँ नहीं नहीं हाँ हाँ 80.208000
हाँ हाँ नहीं हाँ नहीं नहीं 160.639243
हाँ हाँ नहीं हाँ नहीं हाँ 98.046264
हाँ हाँ नहीं हाँ हाँ नहीं 137.865939
हाँ हाँ नहीं हाँ हाँ हाँ 53.472000
हाँ हाँ हाँ नहीं नहीं नहीं 160.639243
हाँ हाँ हाँ नहीं नहीं हाँ 98.046264
हाँ हाँ हाँ नहीं हाँ नहीं 137.865939
हाँ हाँ हाँ नहीं हाँ हाँ 53.472000
हाँ हाँ हाँ हाँ नहीं नहीं 150.740559
हाँ हाँ हाँ हाँ नहीं हाँ 75.954545
हाँ हाँ हाँ हाँ हाँ नहीं 121.527273
हाँ हाँ हाँ हाँ हाँ हाँ 0.000000

संक्षेप में, किसी भी दी गई स्थिति से अपेक्षित रोल, बिंदु बनने या खो जाने तक अपेक्षित रोल (5.063636) के बराबर होता है, साथ ही खिलाड़ी के आगे की स्थिति में आगे बढ़ने पर अपेक्षित रोल की संख्या, जिसे स्थिति में आगे न बढ़ने की संभावना से विभाजित किया जाता है।

दूसरी विधि में इंटीग्रल कैलकुलस का इस्तेमाल किया जाता है। सबसे पहले, प्रत्येक संभावित परिणाम के लिए अपेक्षित रोल की गणना करें। फिर, प्रत्येक घटना की प्रायिकता और औसत रोल का डॉट गुणनफल लेकर, पास लाइन बेट को हल करने के लिए औसत रोल प्राप्त करें, जो निचले दाएँ कोने में 3.375758 = 557/165 दर्शाया गया है।

आग शर्त - अपेक्षित रोल

आयोजन संभावना औसत रोल अपेक्षित रोल
प्वाइंट 4 की जीत 0.027778 5 0.138889
पीटी 5 जीत 0.044444 4.6 0.204444
पीटी 6 जीत 0.063131 4.272727 0.269743
pt 8 जीत 0.063131 4.272727 0.269743
पीटी 9 जीत 0.044444 4.6 0.204444
पीटी 10 जीत 0.027778 5 0.138889
भाग 4 की हार 0.055556 5 0.277778
भाग 5 की हानि 0.066667 4.6 0.306667
भाग 6 की हार 0.075758 4.272727273 0.323691
pt 8 हार 0.075758 4.272727273 0.323691
भाग 9 की हार 0.066667 4.6 0.306667
पीटी 10 की हार 0.055556 5 0.277778
आओ, जीतो, रोल करो 0.222222 1 0.222222
कम आउट रोल हानि 0.111111 1 0.111111
कुल 1.000000 3.375758

वहां से हम किसी भी दिए गए अंक की जीत के बीच अपेक्षित रोल प्राप्त कर सकते हैं:

  • 4 अंक जीतने के बीच रोल = (3/36) * (3/9) * 5 * (557/165) = 6684/55 = लगभग 121.527273।
  • 5 अंक जीतने के बीच रोल = (4/36) * (4/10) * 4.6 * (557/165) = 1671/21 = लगभग 75.954545.
  • 6 अंक के बीच रोल जीतने = (5/36) * (5/11) * (47/11) * (557/165) = 6684/125 = लगभग 53.472.

10, 9 और 8 अंक वाले विजेता के लिए अपेक्षित रोल क्रमशः 4, 5 और 6 के समान ही हैं।

मान लीजिए कि बिंदु-4 विजेता के असतत आधार पर घटित होने के बजाय, यह 6684/55 के माध्य वाले घातांकीय वितरण का अनुसरण करता है। ऐसे यादृच्छिक चर के x इकाई समय तक बिना घटित हुए रहने की प्रायिकता exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684) है।

इसकी संभावना कि यह x इकाई समय के भीतर, कम से कम एक बार, 1-exp(-55x/6684) घटित हुआ है।

यदि हम सभी छह बिंदुओं को सतत चर के रूप में दर्शाते हैं, तो सभी छह के x इकाई समय के भीतर घटित होने की संभावना (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2 है।

छः घटनाओं में से कम से कम एक घटना के x इकाई समय के भीतर न घटित होने की संभावना 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2 है।

हम उपरोक्त को 0 से अनन्त तक एकीकृत करके सभी छह घटनाओं के घटित होने का अपेक्षित समय प्राप्त कर सकते हैं।

इस इंटीग्रल कैलकुलेटर का उपयोग करने पर उत्तर मिलता है 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = लगभग 219.1494672902.

यह क्यों काम करता है, यह समझाना कठिन है, इसलिए कृपया इस भाग को विश्वास पर लें।