जादूगर से पूछो #330

[spoiler=Wizard solution]

सबसे पहले, 90% काउबॉय के पैर में गोली मारो।

इसके बाद, बाँह में बचे हुए 10% हिस्से पर गोली चलाएँ। आपके पास बाँह में गोली मारने के लिए 75% और हैं, इसलिए उन्हें पहले से पैर में लगी गोली से निकाल लें।

तो, अब हम यहां हैं:

पैर केवल 15% (90% - 75%)
केवल 10% आर्म
दोनों 75%
न तो 0%

कुल पैर: 90%
कुल भुजा: 85%

अब, आइए पेट की चोटों (80%) पर आते हैं। 25% लोगों को सिर्फ़ एक बार पेट में चोट लगने पर गोली मारें। हमारे पास 80%-25% = 55% ज़्यादा लोग हैं जिन्हें गोली मारनी है। हम उन 55% लोगों को गोली मारेंगे जिन्हें दोनों चोटें लगी हैं। तो अब हम यहाँ हैं:

पैर और आंत 15%
बांह और आंत 10%
पैर और हाथ 20% (75% - 55%)
तीनों 55%
एक चोट 0%
शून्य चोटें 0%

अंत में, सिर में चोट लगने वाले 75% लोगों पर विचार करें। सबसे पहले, केवल दो चोटों वाले 45% लोगों को हटाएँ। हमारे पास 30% और हैं, इसलिए उन्हें तीनों चोटों वाले 55% लोगों से हटाएँ। इससे बचता है:

सिर, पैर और आंत 15%
सिर, बांह और आंत 10%
सिर, पैर और हाथ 20%
पैर, हाथ और आंत: 25% (55% - 30%)
सभी चार 30%
शून्य चोटें 0%
एक चोट 0%
दो चोटें 0%

[स्पॉइलर=चार्लीपैट्रिक समाधान]

मान लीजिए 20 काउबॉय हैं। हमने यह संख्या इसलिए चुनी है क्योंकि इसमें शामिल सभी संभावनाएँ 5% से समान रूप से विभाज्य हैं और 20 का 5% 1 है।

उन्हें एक पंक्ति में लगाएँ। फिर, बाएँ से शुरू करते हुए, उनमें से 90%, यानी 18, पैर में गोली मारें। फिर ऊपर वाली पंक्ति में काउबॉय संख्या और बाएँ कॉलम में प्रत्येक को हुई कुल चोटों का एक आरेख बनाएँ, जैसा कि नीचे दिया गया है।

इसके बाद, आपको 85%, यानी 17 शॉट हाथ में लगाने होंगे। शुरुआत उन दो काउबॉय से करें जिनके पैर में गोली नहीं लगी है। आपके पास 15 शॉट और बचे हैं। बाईं ओर वाले काउबॉय के पास वापस जाएँ और पंक्ति में नीचे की ओर बढ़ते हुए, कुल 15 शॉट पैर में लगाएँ। आपका चोट कार्ड इस तरह दिखना चाहिए:

इसके बाद, आपको 80%, यानी 16 काउबॉयज़ को पेट में गोली मारनी होगी। शुरुआत उन पाँच काउबॉयज़ से करें जिन्हें सिर्फ़ एक चोट लगी है। आपके पास 11 और बचे हैं। बाईं ओर वाले काउबॉय के पास वापस जाएँ और पंक्ति में नीचे की ओर बढ़ते हुए, कुल 11 काउबॉयज़ को दो बार गोली मारें। आपका चोट कार्ड इस तरह दिखना चाहिए:

इसके बाद, आपको 75%, यानी 15, सिर पर गोली चलानी होगी। शुरुआत उन नौ काउबॉय से करें जिन्हें सिर्फ़ दो बार गोली मारी गई है। आपके पास 6 और बचे हैं। बाईं ओर वाले काउबॉय के पास वापस जाएँ और पंक्ति में नीचे जाएँ, कुल 6 काउबॉय को तीन बार गोली मारते हुए। आपका इंजरी कार्ड इस तरह दिखना चाहिए:

जैसा कि आप देख सकते हैं, 6 काउबॉय को चार बार और 14 को तीन बार गोली मारी गई है। इस प्रकार, केवल तीन बार घायल होने वाले का अधिकतम प्रतिशत 14/20 = 70% है।

सामान्य स्थिति के लिए, यदि चार संभावनाएँ a, b, c, और d हैं, तो अधिकतम अनुपात जो जीवित रह सकता है वह 1-(a+b+c+d) है, जब तक कि a+b+c+d >=3 और a+b+c+d <=4 हो।

मैं इस समाधान के लिए विज़ार्ड ऑफ वेगास फोरम के सदस्य चार्लीपैट्रिक को धन्यवाद देना चाहता हूँ।

यह प्रश्न मेरे मंच पर पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है, जिसकी शुरुआत इस पोस्ट से हुई है।

[स्पॉइलर=समाधान]

एक समय में एक ही खिलाड़ी को बाँटें। पहले खिलाड़ी को प्रत्येक रैंक में से एक मिलने की प्रायिकता 4^3/combin(12,3) = 64/220 है।

मान लीजिए कि पहले खिलाड़ी को एक सीधी रेखा मिली है, तो प्रत्येक रैंक के तीन-तीन खाली कार्ड बचे हैं। दूसरे खिलाड़ी को प्रत्येक रैंक का एक कार्ड मिलने की प्रायिकता 3^3/combin(9,3) = 27/84 है।

मान लीजिए कि पहले दो खिलाड़ियों को एक स्ट्रेट मिला है, तो प्रत्येक रैंक के दो-दो खाली कार्ड बचे हैं। तीसरे खिलाड़ी को प्रत्येक रैंक का एक कार्ड मिलने की संभावना 2^3/combin(6,3) = 8/20 है।

मान लीजिए कि पहले तीन खिलाड़ियों को एक स्ट्रेट मिला है, तो हर रैंक के एक-एक कार्ड का डेक खाली हो जाता है। ये तीन कार्ड ज़ाहिर तौर पर एक स्ट्रेट बनाते हैं।

इस प्रकार, सभी चार खिलाड़ियों को सीधा मिलने की संभावना (64/220) * (27/84) * (8/20) * 1 = 216/5775 = 72/1925 = 3.74% है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है, जिसकी शुरुआत इस पोस्ट से होती है।

मान लीजिए कि हम हर सिस्टम को बैकारेट में खिलाड़ी के दांव पर आधारित कर रहे हैं। मान लीजिए कि हमारे पास ऑस्कर ग्राइंड और लैबोचेरे के साथ हमारे बैंकरोल का 50 गुना बैंकरोल है। आइए इसे फिबोनाची के लिए 53 गुना कर दें, जो कि फिबोनाची संख्याओं 1,2,3,5,8,13 और 21 का योग है।

प्रत्येक की सफलता की संभावना इस प्रकार है:

• लैबोचेरे: 97.53%
• ऑस्कर ग्राइंड: 97.69%
• फिबोनाची: 97.93%

अगर मैं बार-बार कहता रहूँ कि "सभी सट्टेबाजी प्रणालियाँ समान रूप से बेकार हैं," तो आप सोच रहे होंगे कि ये अलग क्यों हैं। इसकी वजह यह है कि मैं इस कथन को "कुल दांव पर लगाई गई कुल राशि से हारे हुए कुल धन के आधार पर" मापता हूँ। फिबोनाची में सफलता की संभावना सबसे ज़्यादा होती है क्योंकि खिलाड़ी औसतन कम दांव लगाता है। बाकी दो में औसत राशि का दांव ज़्यादा होता है, जिससे खिलाड़ी के बैंकरोल को कम करने का ज़्यादा मौका मिलता है। लैबोचेरे में, जिसकी सफलता की संभावना सबसे कम होती है, सबसे ज़्यादा राशि का दांव होता है, जिससे खिलाड़ी लंबे समय तक इस अनुभव का आनंद ले पाता है। कुल मिलाकर, यहाँ प्रत्येक के लिए औसत दांव और जीत के लक्ष्य का अनुपात दिया गया है:

• लैबोचेरे: 20.95
• ऑस्कर ग्राइंड: 14.56
• फिबोनाची: 9.59

कुल मिलाकर, आपकी सट्टेबाजी प्रणाली का चुनाव इस बात पर निर्भर होना चाहिए कि आप क्यों खेल रहे हैं। अगर आप अपनी सफलता की संभावना को अधिकतम करना चाहते हैं, तो फिबोनाची पर दांव लगाएँ। अगर आप ज़्यादा देर तक खेलना चाहते हैं और ज़्यादा दांव लगाना चाहते हैं, तो लोबुचेरे सबसे अच्छा है।

चूंकि वे सभी एक ही दांव पर आधारित हैं, इसलिए दांव पर लगाई गई धनराशि के मुकाबले खोई धनराशि का अनुपात हमेशा 1.235% के करीब होगा, खिलाड़ी के दांव पर हाउस एज, जितना अधिक आप खेलेंगे, चाहे आप किसी भी प्रणाली का उपयोग करें।

[स्पॉइलर=समाधान]

1. अगर मेंढक को सिर्फ़ एक फ़ुट ही कूदना है, तो ज़ाहिर है कि उसके पास सिर्फ़ एक ही रास्ता है। याद रखें, मेंढक अपने लक्ष्य से आगे नहीं बढ़ सकता।
2. यदि मेंढक को दो फीट कूदने की जरूरत है, तो ऐसा करने के दो तरीके हैं - (1) 1 फीट और 1 फीट, या (2) 2 फीट।

अगर मेंढक को तीन फ़ीट कूदना है, तो वह अंतिम छलांग से पहले एक फ़ीट या दो फ़ीट दूर हो सकता है। दो फ़ीट दूर होने का एक तरीका है, जैसा कि चरण 1 में दिखाया गया है, और एक फ़ीट दूर होने के दो तरीके हैं, जैसा कि चरण 2 में दिखाया गया है। इस प्रकार, तीन फ़ीट दूर कूदने के तीन तरीके हैं। इसे (1) 1+1+1, (2) 1+2, (3) 2+1 से भी आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

अगर मेंढक को चार फ़ीट कूदना है, तो वह अंतिम छलांग से पहले दो फ़ीट या तीन फ़ीट दूर हो सकता है। 2 फ़ीट दूर होने के दो तरीके हैं, जैसा कि चरण 2 में दिखाया गया है, और 1 फ़ीट दूर होने के तीन तरीके हैं, जैसा कि चरण 3 में दिखाया गया है। इस प्रकार, चार फ़ीट दूर कूदने के पाँच तरीके हैं। इसे भी आसानी से सत्यापित किया जा सकता है: (1) 1+1+1+1, (2) 1+1+2, (3) 1+2+1, (4) 2+1+1, (5) 2+2।

अगर मेंढक को 5 फ़ीट कूदना है, तो वह अंतिम छलांग से पहले 3 फ़ीट या 4 फ़ीट दूर हो सकता है। 2 फ़ीट दूर होने के 3 तरीके हैं, जैसा कि चरण 3 में दिखाया गया है, और 1 फ़ीट दूर होने के 5 तरीके हैं, जैसा कि चरण 4 में दिखाया गया है। इस प्रकार, पाँच फ़ीट दूर कूदने के 3+5=8 तरीके हैं। इसे इस प्रकार भी आसानी से सत्यापित किया जा सकता है: (1) 1+1+1+1+1, (2) 1+1+1+2, (3) 1+1+2+1, (4) 1+2+1+1, (5) 2+1+1+1, (6) 2+2+1, (7) 2+1+2, (8) 1+2+2।

क्या आपको कोई पैटर्न नज़र आने लगा है? यह फ़िबोनाची अनुक्रम है। इसी तर्क के आधार पर, मेंढक कुल 10 फ़ीट की छलांग लगाने के 89 तरीके हैं। [/बिगाड़ने वाला]