जादूगर से पूछो #325

[स्पॉइलर=समाधान]

एक किसान सेब के 5 बीज बोता है। हर दिन, प्रत्येक बीज के अंकुरित होने की संभावना 1/3 होती है। सभी पाँच पेड़ों के अंकुरित होने में औसतन कितना समय लगता है?

आइए पीछे की ओर से गणना करें। अगर एक बीज बचा है जो अंकुरित नहीं हुआ है, तो उसे अंकुरित होने में औसतन 1/p दिन लगेंगे, जहाँ p किसी भी दिन अंकुरित होने की संभावना है। चूँकि p = 1/3 है, इसलिए अंकुरित होने में औसतन 3 दिन लगेंगे। इसे t ₁ = 3 मान लेते हैं।

अगर दो बीज बचे हों तो क्या होगा? अगले दिन दोनों के अंकुरित होने की संभावना ap ² = 1/9 है और हमारा काम हो गया। अगले दिन एक बीज के अंकुरित होने की संभावना 2×p×q है, जहाँ q अंकुरित न होने की संभावना है। इस प्रकार, एक बीज के अंकुरित होने की संभावना 2×(1/3)(2/3) = 4/9 है। किसी भी बीज के अंकुरित न होने की संभावना q ² = (2/3) ² = 4/9 है। आइए दो बीजों के साथ अपेक्षित दिनों की संख्या को t ₂ कहें।

टी ₂ = 1 + (4/9)×टी ₁ + (4/9)टी ₂

टी ₂ = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×टी ₁

टी ₂ = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))

टी ₂ = (21/9) / (5/9)

टी ₂ = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4.2

अगर तीन बीज बचे रहें तो क्या होगा? अगले दिन सभी के अंकुरित होने की ap ³ = 1/27 संभावना है और हमारा काम पूरा हो जाएगा। अगले दिन एक बीज के अंकुरित होने की संभावना 3×p ×q ² = 3×(1/3)(2/3) ² = 12/27 है। अगले दिन दो बीजों के अंकुरित होने की संभावना 3×p ² ×q = 3×(1/3) ² ×(2/3) = 6/27 है। किसी भी बीज के अंकुरित न होने की संभावना q ³ = (2/3) ³ = 8/27 है। आइए तीन बीजों वाले दिनों की अपेक्षित संख्या को t ₃ कहें।

टी ₃ = 1 + (6/27)टी ₁ + (12/27)×टी ₂ + (8/27)×टी ₃

टी ₃ = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×टी ₃

टी ₃ × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

टी ₃ = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = लगभग 5.02105263

अगर चार बीज बचे रहें तो क्या होगा? अगले दिन चारों के अंकुरित होने की ap ⁴ = 1/81 संभावना है और हमारा काम पूरा हो जाएगा। अगले दिन एक के अंकुरित होने की संभावना 4×p×q ³ = 4×(1/3)(2/3) ³ = 32/81 है। अगले दिन दो के अंकुरित होने की संभावना combin(4,2)×p ² ×q ² = 6×(1/3) ² ×(2/3) ² = 24/81 है। अगले दिन तीन के अंकुरित होने की संभावना combin(4,3)×p ³ ×q = 4×(1/3) ³ ×(2/3) = 8/81 है। कोई भी बीज अंकुरित न होने की संभावना q ⁴ = (2/3) ⁴ = 16/81 है। आइए तीन बीजों के साथ अपेक्षित दिनों की संख्या को t ₄ कहें।

टी ₄ = 1 + (8/81)×टी ₁ + (24/81)×टी ₂ + (32/81)×टी ₃ + (16/81)×टी ₄

टी ₄ = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)×टी ₄

टी ₄ = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))

टी ₄ = लगभग 5.638056680161943319838056680.

अगर सभी पाँच बीज बचे रहें तो क्या होगा? अगले दिन सभी पाँचों के अंकुरित होने की संभावना ap ⁵ = 1/243 है और हमारा काम पूरा हो जाएगा। अगले दिन एक के अंकुरित होने की संभावना 5×p×q ⁴ = 5×(1/3)(2/3) ⁴ = 80/243 है। अगले दिन दो के अंकुरित होने की संभावना combin(5,2)×p ² ×q ³ = 10×(1/3) ² ×(2/3) ³ = 80/243 है। अगले दिन तीन के अंकुरित होने की संभावना combin(5,3)×p ³ ×q = 10×(1/3) ³ ×(2/3) ² = 40/243 है। अगले दिन चार बीजों के अंकुरित होने की संभावना है: (5,4)×p ⁴ ×q = 5×(1/3) ⁴ ×(2/3) = 10/243। किसी भी बीज के अंकुरित न होने की संभावना है: q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243। आइए तीन बीजों वाले दिनों की अपेक्षित संख्या को t ₅ कहें।

टी ₅ = 1 + (10/243)×टी ₁ + (40/243)×टी ₂ + (80/81)×टी ₃ + (80/243)×टी ₄ + (32/243)×टी ₅

टी ₅ = (1 + (10/243)×टी ₁ + (40/243)×टी ₂ + (80/81)×टी ₃ + (80/243)×टी ₄ ) / (1 - (32/243))

टी ₅ = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))

टी ₅ = लगभग 6.131415853.

यह समस्या माइंड योर डिसीजन्स के प्रेश तलवलकर द्वारा दी गई इसी प्रकार की समस्या से अनुकूलित है।

[स्पॉइलर=उत्तर]

1. रस्सी की न्यूनतम लंबाई कितनी होनी चाहिए? उत्तर: sqrt(2)*4 = लगभग 5.6569.
2. यह मानते हुए कि न्यूनतम दूरी का उपयोग किया गया है, रस्सी पर कोई भी बिंदु नोक के कितने करीब आता है? उत्तर: 2*sqrt(2) = लगभग 2.828427125.

[स्पॉइलर=समाधान]

मान लीजिए कि टीपी का निचला हिस्सा नंगी ज़मीन है। दूसरे शब्दों में, टीपी सिर्फ़ दीवारें हैं, आधार नहीं। चूँकि त्रिज्या 1 थी, इसलिए टीपी के आधार का व्यास 2*π है।

टीपी को आधार से सिरे तक किसी भी बिंदु से काटें और सामग्री को समतल रखें।

इस स्लाइस स्पेस का घुमावदार भाग अभी भी 2*π होगा। चूँकि तिरछी ऊँचाई 4 थी, अगर इस स्लाइस को एक पूर्ण वृत्त तक बढ़ाया जाए, तो त्रिज्या 8*π होगी। इस प्रकार, यह स्लाइस एक वृत्त का 1/4 है।

4 भुजाओं और 90 डिग्री के कोण के साथ, तीनों बिंदुओं के बीच त्रिभुज के कर्ण की लंबाई sqrt(2)*4 = लगभग 5.6569 है। अगर आप टीपी को फिर से जोड़ते हैं, तो यह दूरी रस्सी की लंबाई होगी।

पाइथागोरस सूत्र का उपयोग करते हुए, स्लाइस को पुनः समतल रखने पर, यह देखना आसान है कि कर्ण से टिपी के सिरे तक का निकटतम बिंदु 2*sqrt(2) = लगभग 2.828427125 है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

एक जोड़ी के एक तरह के चार में सुधार होने की संभावना 45/COMBIN(47,3) = लगभग 0.002775208 है।

दस में से दस हाथों में ऐसा होने की संभावना (0.002775208) ¹⁰ = लगभग 36,901,531,632,979,700,000,000,000 में 1 है।

यह संभावना तीन स्वतंत्र और यादृच्छिक पावरबॉल टिकट खरीदने और उन तीनों पर जीतने के समान है।

इसका कारण यह है कि यह कोई सामान्य वीडियो पोकर गेम नहीं है, जिसमें प्राकृतिक संभावनाएँ होती हैं, और डेक में बचे हुए पत्तों में से हर पत्ते के निकलने की बराबर संभावना होती है। नहीं, इसे "वीएलटी" या वीडियो लॉटरी टर्मिनल कहते हैं। ऐसे खेलों में, परिणाम पहले से तय होता है, चाहे खिलाड़ी अपनी बाजी कैसे भी लगाए। यह स्क्रैच कार्ड लॉटरी टिकट जैसा है, लेकिन परिणाम खिलाड़ी को वीडियो पोकर गेम की तरह दिखाया जाता है। आप पूछ सकते हैं कि अगर खिलाड़ी के पास सभी पाँच पत्ते होते तो क्या होता। तब कोई जिन्न आकर कुछ पत्ते बदल देता या खिलाड़ी बोनस जीत जाता जिससे उसकी अंतिम जीत 2,500 क्रेडिट तक पहुँच जाती।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।