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जादूगर से पूछो #324
औसतन, प्रत्येक फलक को कम से कम दो बार घुमाने के लिए एक निष्पक्ष पासे को कितनी बार घुमाना पड़ता है?
उत्तर के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।
मेरा समाधान यहां है (पीडीएफ)
यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।
1 गुणा 1 विमाओं वाला एक वर्गाकार डार्टबोर्ड है। इस पर एक डार्ट इस प्रकार फेंका जाता है कि वह समान संभावना के साथ कहीं भी गिरे। मान लीजिए कि जहाँ वह गिरेगा उसके निर्देशांक (x,y) हैं, जहाँ x और y दोनों 0 से 1 तक समान रूप से और स्वतंत्र रूप से वितरित हैं।
मान लीजिए z = round(x/y)। दूसरे शब्दों में, z = x/y, निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित। इसकी क्या प्रायिकता है कि z सम हो?
निम्नलिखित संकेत में अनंत श्रृंखला को जानना बहुत उपयोगी होगा।
[स्पॉइलर=संकेत]π के लिए लाइबनिज़ सूत्र कहता है:
1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
[/बिगाड़ने वाला]केवल उत्तर के लिए, निम्नलिखित बटन पर क्लिक करें।
[स्पॉइलर=उत्तर](5 - π)/4 = लगभग। 0.464601836602552। [/बिगाड़ने वाला]समाधान के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।
[स्पॉइलर=समाधान]
यदि x/y < 0.5 है, तो अनुपात n को 0 तक पूर्णांकित करेगा, और सम संख्या भी। डार्टबोर्ड पर (0,0) और (0.5) से बनी रेखा के बाईं ओर स्थित कोई भी बिंदु 0 तक पूर्णांकित होगा। वह क्षेत्र 1 और 1/2 भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज है। याद रखें कि त्रिभुज का क्षेत्रफल (1/2)*आधार*ऊँचाई होता है। इस प्रकार, 0 तक पूर्णांकित करने पर उन बिंदुओं का क्षेत्रफल (1/2)*(1/2) = 1/4 होगा।
ग्राफ़ पर अगला क्षेत्र जो अगली सम संख्या, 2, तक पूर्णांकित होगा, वह तब होगा जब 1.5 < x/y < 2.5 हो। यह क्षेत्र एक त्रिभुज होगा जिसका आधार 2/3 - 2/5 और ऊँचाई 1 होगी। ध्यान दें कि ये x/y की सीमाओं के व्युत्क्रम हैं, क्योंकि x बराबर 1 है, इसलिए हमें y को उलटना होगा। इसलिए, 2 तक पूर्णांकित होने वाला क्षेत्र (1/2)*(2/3 - 2/5) होगा।
ग्राफ़ पर अगला क्षेत्र जो अगली सम संख्या, 4, तक पूर्णांकित होगा, वह तब होगा जब 3.5 < x/y < 4.5 हो। यह क्षेत्र एक त्रिभुज होगा जिसका आधार 2/7 - 2/9 और ऊँचाई 1 होगी। इसलिए, 2 तक पूर्णांकित होने वाला क्षेत्र (1/2)*(2/7 - 2/9) होगा।
ग्राफ़ पर अगला क्षेत्र जो अगली सम संख्या, 6, तक पूर्णांकित होगा, वह तब होगा जब 5.5 < x/y < 6.5 होगा। यह क्षेत्र एक त्रिभुज होगा जिसका आधार 2/11 - 2/13 और ऊँचाई 1 होगी। इसलिए, 2 तक पूर्णांकित होने वाला क्षेत्र (1/2)*(2/11 - 2/13) होगा।
क्या आपको कोई पैटर्न नज़र आने लगा है? यह इस प्रकार है:
1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =
1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
आइए उन कोष्ठकों के अंदर -1 ले जाएं।
5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =
5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =
अब, ऊपर दिए गए हमारे संकेत को याद करें:
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11
अब हम अपने प्रश्न पर वापस आते हैं...
5/4 - π/4 =
(5 - π) / 4 = लगभग. 0.464601836602552.
यह दिलचस्प है कि कैसे π और e गणित में हर जगह दिखाई देते हैं।
[/बिगाड़ने वाला]यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।
मान लीजिए 9 x + 12 x = 16 x
X क्या है?
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[स्पॉइलर=समाधान]
9 x + 12 x = 16 x =
दोनों पक्षों को 9 x से विभाजित करें
1 + (12/9) x = (16/9) x
1 + (4/3) x = ((4/3) x ) 2
(1) मान लीजिए u = (4/3) x
1 + यू = यू 2
द्विघात सूत्र द्वारा...
u = (1+sqrt(5)) / 2 (स्वर्ण अनुपात)
इसे समीकरण (1) में वापस रखते हुए:
(4/3) x = (1+sqrt(5)) / 2
दोनों पक्षों का लघुगणक लें:
x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]
x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)
x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = लगभग 1.67272093446233. [/spoiler]
यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।
आभार: मुझे इस समस्या का एक भिन्न रूप माइंड योर डिसीजन्स के प्रेश तलवलकर से मिला।
मान लीजिए कि एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे को तब तक उछाला जाता है जब तक कि 1, 2, 3, या 6 न आ जाए। अगर खेल के अंत में आने वाली इन संख्याओं में से पहली संख्या 1, 2, या 3 आती है, तो आप कुछ भी नहीं जीतेंगे। अगर खेल के अंत में आने वाली इन संख्याओं में से पहली संख्या 6 आती है, तो आप पासे के हर बार लुढ़कने पर $1 जीतेंगे। इस खेल में औसत जीत कितनी है?
कुछ अनंत श्रेणी सूत्रों के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें जो आपके लिए उपयोगी हो सकते हैं।
[स्पॉइलर=संकेत]
संकेत 1: i = 0 से n के ∞ तक का योग i = 1 / (1-n)
संकेत 2: i = 0 से i × n के ∞ तक का योग i = n / (1-n) 2
[/बिगाड़ने वाला]उत्तर के लिए नीचे दिए गए बटन पर क्लिक करें।
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[स्पॉइलर=समाधान]
मान लीजिए कि एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासे को तब तक उछाला जाता है जब तक कि 1, 2, 3, या 6 न आ जाए। अगर खेल के अंत में आने वाली इन संख्याओं में से पहली संख्या 1, 2, या 3 आती है, तो आप कुछ भी नहीं जीतेंगे। अगर खेल के अंत में आने वाली इन संख्याओं में से पहली संख्या 6 आती है, तो आप पासे के हर बार लुढ़कने पर $1 जीतेंगे। इस खेल में औसत जीत कितनी है?
संकेत 1: i = 0 से n के ∞ तक का योग i = 1 / (1-n)
संकेत 2: i = 0 से i × n के ∞ तक का योग i = n / (1-n) 2
अपेक्षित जीत को i = 0 से ∞ तक (1 + i) * (1/3) i * (1/6) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
(1/6) * i = 0 से ∞ तक (1/3) i का योग + (1/6) * i = 0 से ∞ तक (i * (1/3) i ) का योग।
आइये एक-एक करके इनका मूल्यांकन करें।
i = 0 से ∞ (1/3) i = का योग
1 / (1 - (1/3)) =
1 / (2/3) =
3/2
i = 0 से ∞ तक का योग (i * (1/3) i ) =
(1/3) / (1 - (1/3)) 2 =
(1/3) / (4/9) =
(1/3) * (9/4) =
3/4
इन सबको एक साथ रखकर उत्तर यह है
(1/6) * (3/2) + (1/6)*(3/4) =
(1/4) + (1/8) =
3/8
[/बिगाड़ने वाला]यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।