जादूगर से पूछो #321

इस तरह की समस्याओं की कुंजी उन्हें व्यवस्थित करने में है। मेरा सुझाव है कि समस्या को यथासंभव कम अज्ञात मानों तक सीमित रखने का प्रयास करें। इस स्थिति में, हम वर्ग पर अज्ञात दूरियों को केवल तीन में व्यक्त कर सकते हैं, इस प्रकार:

त्रिभुजों की तुलना में आयतों से निपटना आसान होता है। चूँकि हमें तीन त्रिभुजों का क्षेत्रफल पता है, इसलिए हम उनका आकार और क्षेत्रफल दोगुना कर सकते हैं। इससे हमें मिलता है:

• अब=10
• एसी=16
• (एबी)(एसी)=14

आइए (ab)(ac) का गुणनखंड करें:

a ² - ab- ac + bc = 14

a ² - 10 - 16 + bc = 14

(1) a ² + bc = 40

आइए b और c को a के रूप में व्यक्त करें, ताकि इसे एकल चर में लाया जा सके:

बी = 10/ए

सी = 16/ए

समीकरण (1) में b और c के लिए उन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

ए ² + (10/ए)*(16/ए) = 40

a ² + 160/a ² = 18

अब, आइए सभी चीजों को ² से गुणा करके हर में से ² को हटा दें।

ए ⁴ + 160 = 40*ए ²

ए ⁴ - 40*ए ² + 160 = 0

आइए एक नया चर y = a ² परिभाषित करें

y ² - 18y + 32 = 0

अब, आइए द्विघात सूत्र का उपयोग करके y का हल निकालें:

y = (40 +/- sqrt(1600-640))/2

y = (40 +/- sqrt(960))/2

y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2

y = 20 +/- 4*sqrt(15)

पूरे वर्ग का क्षेत्रफल a ² है, जो सुविधाजनक रूप से y के बराबर है। उपरोक्त समीकरण से, यदि +/- ऋणात्मक है, तो y = लगभग 4.5081 है, जो स्पष्ट रूप से गलत है, क्योंकि हम जानते हैं कि क्षेत्रफल कम से कम 20 है, जिसमें x भी शामिल नहीं है। इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल 20 + 4*sqrt(15) होना चाहिए।

हमें दिए गए तीन त्रिभुजों का क्षेत्रफल 5+7+8=20 है। इसे वर्ग के कुल क्षेत्रफल से घटाने पर हमें x का क्षेत्रफल प्राप्त होता है: 20 + 4*sqrt(15) - 20 = 4*sqrt(15) = लगभग 15.4919।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

इस तस्वीर में मेरी टी-शर्ट देखिये। जब मैं "अनकट जेम्स" देखने गया था, तो सिनेमाघर के कैशियर ने इसकी तारीफ़ की थी। मैंने उसे इस समस्या से परेशान करके धन्यवाद दिया, सिर्फ़ क्षेत्रफल 2, 3 और 4 के त्रिभुजों से। फिल्म के बाद, मैंने उससे पूछा कि उसने अभी तक इसे हल नहीं किया था, लेकिन ऐसा लग रहा था कि वह कोशिश कर रही है। इसलिए मैंने सनकोस्ट बार में उसके लिए यह हल लिखा। उसे वाकई यह पसंद आया। मुझे लगता है कि वह युवती ज़िंदगी में बहुत आगे जाएगी।

मैं सभी गणित में नहीं जाऊंगा, लेकिन यहां जैकपॉट बिंदु हैं जहां एक से अधिक विजेताओं की संभावना एक के बराबर है:

• पावरबॉल: $975 मिलियन
• मेगा मिलियन्स: 1.65 बिलियन डॉलर

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा था, लेकिन यहां कुछ जैकपॉट हैं जहां कम से कम एक विजेता की संभावना किसी के न जीतने की संभावना (50%) के बराबर है।

• पावरबॉल: 704 मिलियन डॉलर
• मेगा मिलियन्स: $867 मिलियन

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ वेगास में मेरे मंच पर चर्चा में उठाया गया है।

[स्पॉइलर=समाधान]

सीक्रेट सांता गेम की तरह, इसमें भी एक नंबर से दूसरे नंबर तक जाने वाले लूप होंगे। 12 कैदियों के साथ, 1 से 12 लूप हो सकते हैं। अगर कोई भी लूप छह से ज़्यादा लंबा नहीं है, तो हर कैदी आखिरकार अपना नंबर ढूंढ ही लेगा। बड़ा सवाल यह है कि छह से बड़ा कोई लूप न होने की प्रायिकता क्या है? आइए इसे उलट दें और 7 या उससे ज़्यादा आकार वाले लूप के संयोजनों की संख्या ज्ञात करें।

निम्नलिखित तालिका उपरोक्त तालिका में दिए गए संयोजनों के सूत्र दर्शाती है।

पहली तालिका के निचले दाएँ कक्ष में, 312,888,960 असफल संयोजन हैं। संख्याओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या 12! = 479,001,600 है। इस प्रकार, असफलता की संभावना 312,888,960 / 479,001,600 = 65.32% है। इसलिए, सफलता की संभावना 100% - 65.32% = 34.68% है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

एक त्वरित उत्तर यह है कि आप अधिकतम कितना दांव लगा सकते हैं। बस 22 का इंतज़ार करें और फिर दांव लगाएँ, जिससे आप एक अतिरिक्त यूनिट लेकर टेबल से बाहर निकल जाएँगे।

एक अधिक कठोर उत्तर में उस 22 के लिए प्रतीक्षा करने की लागत पर विचार किया जाना चाहिए। यह ऐसी बात है जिसके बारे में मुझे ठीक-ठीक जानकारी नहीं है, लेकिन मैं इसका अनुमान लगा सकता हूँ।

डीलर-पुश-22 नियम के तहत खिलाड़ी को 6.91% का नुकसान होगा। हालाँकि, डीलर इससे 22 ज़्यादा अंक हासिल करेगा, क्योंकि खिलाड़ी को इस बात से कोई फ़र्क़ नहीं पड़ेगा कि वह पहले बस्ट हुआ है या नहीं। नियमों के अनुसार, खिलाड़ी लगभग 15.7% बार बस्ट होगा। अगर हम मान लें कि यह डीलर के बस्ट होने की संभावना से असंबंधित है (जो कि ऐसा नहीं है), तो डीलर के बस्ट होने की संभावना 6.91%/(1.0-0.157) = 8.2% है।

मुझे पता है कि यह थोड़ा मुश्किल है, लेकिन मान लेते हैं कि खिलाड़ी की 22 की संभावना भी वही है। मुझे पता है कि डीलर खिलाड़ी से ज़्यादा बार बस्ट होगा, लेकिन स्प्लिट के बाद यह कूपन भी नहीं गिना जाता, तो मान लेते हैं कि ये कारक ऑफसेट हो जाते हैं। तो, अगर खिलाड़ी को 8.2% हाथों में 22 मिलता है, तो उसे हर 1/0.082 = औसतन 12.2 हाथों में एक बार 22 मिलेगा।

मान लीजिए कि बेस गेम में हाउस एज 0.75% है। उस हाउस एज पर 12.2 हैंड खेलने की लागत 12.2*0.0075 = 0.0915 है। तो, इसे एक यूनिट वैल्यू से घटाएँ और आपको कूपन का मूल्य 1.0 - 0.0915 मिलेगा, जो अंकित मूल्य का लगभग 91% है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।