जादूगर से पूछो #320

सबसे पहले हमें किसी भी दिए गए हाथ की जीत की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी, जो उन नियमों पर निर्भर करेगी, जो आपके मूल प्रश्न में नहीं बताए गए थे। ब्लैकजैक में भिन्नता पर अपने पृष्ठ पर, मैं "उदार स्ट्रिप नियमों" के तहत शुद्ध जीत, पुश और हार की प्रायिकताएँ देता हूँ, जो इस प्रकार हैं: छह डेक, ब्लैकजैक 3 से 2 का भुगतान करता है, डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा होता है, विभाजन के बाद डबल की अनुमति है, आत्मसमर्पण की अनुमति है, इक्कों को फिर से विभाजित करने की अनुमति है। इन नियमों के तहत, आवश्यक प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:

• जीत: 42.43%
• पुश: 8.48%
• हानि: 49.09%

आपके प्रश्न में यह भी नहीं बताया गया कि पुश को कैसे माना जाए। मैं मान लूँगा कि पुश को एक खेला हुआ हाथ माना जाता है, लेकिन यह आगे नहीं बढ़ता और न ही हार की श्रृंखला को रीसेट करता है। पुश को छोड़कर, एक निश्चित दांव पर जीत और हार की संभावनाएँ इस प्रकार हैं:

• जीत: 46.36%
• हानि: 53.64%

जैसा कि कहा गया है, इस तरह के प्रश्नों के लिए एक बहुत अच्छा अनुमान यह है:

एन × एल × डब्ल्यू ^एम

कहाँ:
n = खेले गए हाथों की संख्या
l = हानि की संभावना
w = जीत की संभावना
m = हारने वाली लकीर में हाथों की न्यूनतम संख्या

इस स्थिति में, अपेक्षित हार की संख्या 100000 × 46.36% × 63.64% ¹⁰ = 91.4 है। दूसरे शब्दों में, औसतन हर 1,094 हाथों में कम से कम 10 हाथों की हार का सिलसिला होगा। एक यादृच्छिक सिमुलेशन इसकी पुष्टि करता है।

इस बिंदु पर, मुझे यकीन है कि मेरे पूर्णतावादी पाठक मार्कोव श्रृंखलाओं पर बौद्धिक प्रहार के साथ मुझे ईमेल करने की तैयारी कर रहे हैं। मैं इस बात पर ज़ोर देना चाहूँगा कि मेरा सूत्र एक अनुमान है और वास्तव में काफी अच्छा है।

आइये कुछ चरों को परिभाषित करके शुरुआत करें:

• s = टैंक में नमक की मात्रा किलोग्राम
• t = नमक को टैंक में डाले जाने के बाद से बीते मिनट

हमें बताया गया है कि प्रति मिनट 10% नमक बह जाता है। इसे गणितीय भाषा में कहें तो:

डीएस/डीटी = (-10/100) × एस

इसे पुनः व्यवस्थित करें:

डीएस = (-10/100) × एस डीटी

-10/s डीएस = डीटी

दोनों पक्षों को एकीकृत करना:

(1) -10×ln(s) = t + c

अब, आइए समाकलन के खतरनाक स्थिरांक का पता लगाएँ। ऐसा करने के लिए, हमें दिया गया है कि t = 0 होने पर s = 10। इसे ऊपर दिए गए सूत्र (1) में डालने पर हमें यह मिलता है:

-10 × ln(10) = 0 + सी

तो c = -10×ln(10)

इसे समीकरण (1) में रखने पर हमें मिलता है:

(2) -10×ln(s) = t -10×ln(10)

प्रश्न यह है कि t=30 पर टैंक में कितना नमक होगा। t=30 पर s का हल:

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10). अब दोनों पक्षों को -10 से भाग दें...

ln(s) = -3 + ln(10)

एस = एक्सप(-3 + एलएन(10))

एस = एक्सप(-3) × एक्सप(ln(10))

एस = एक्सप(-3) × 10

s =~ 0.4979 किलोग्राम नमक.

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

गणित कभी झूठ नहीं बोलता। मेरे ब्लैकजैक परिशिष्ट 1 के अनुसार, यहाँ A,A बनाम 10 खेलने के सभी चार तरीकों के अपेक्षित मान दिए गए हैं, यह मानते हुए कि डेक अनंत हैं, डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा है, और इक्कों को दोबारा विभाजित करने की अनुमति नहीं है।

• स्टैंड = -0.540430
• हिट = -0.070002
• दोगुना = -0.514028
• विभाजन = 0.179689

  तो, यह स्थिति बिलकुल भी नहीं है, शुरुआती दांव का लगभग 11% हिस्सा बाँटना बेहतर है। अगर इक्कों को दोबारा बाँटने की अनुमति हो, तो यह और भी ज़्यादा होगा।

सबसे पहले, आइए इस प्रायिकता का हल निकालें कि किसी भी दिए गए गेम नंबर के 5 में से 3 दिन ठीक उसी संख्या के हों। इसका उत्तर है COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682। यह दूसरे और तीसरे दिन के पहले दिन से मेल खाने की प्रायिकता के 5 गुना में से 3 मेल खाने वाले दिनों को चुनने के तरीकों की संख्या है, जबकि बाकी दो दिन मेल नहीं खाते हैं।

इसलिए, किसी भी दिए गए खेल नंबर के लिए 5 में से 3 दिन का मैच न होने की संभावना 1 - 0.001523682 = 0.9984763 है।

300 दिनों तक ऐसा न होने की संभावना 0.9984763 ³⁰⁰ = 63.29% है।

इस प्रकार, विकल्प की संभावना, कि कम से कम एक ड्राइंग संख्या 5 में से 3 दिनों में एक ही बुल्स आई संख्या से मेल खाती हो, 36.71% है।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।