जादूगर से पूछो #319

निम्न तालिका प्रत्येक खेल के लिए दोनों टीमों कीवेगास इनसाइडर मनी लाइन दर्शाती है। सड़क पर फेयर मनी लाइन का कॉलम दोनों टीमों के बीच जूस को आधा-आधा बाँटता है। प्रायिकता कॉलम उस फेयर लाइन के आधार पर सड़क पर आने वाली टीम के आने की संभावना दर्शाता है।

प्रत्येक खेल में जीतने वाली सड़क टीम की संभावना का गुणनफल लेने पर, हमें 0.00422 प्राप्त होता है, जो 237 में 1 के बराबर होता है।

यदि घरेलू टीम मार्टिंगेल को 100 डॉलर जीतती तो उसे 28,081.06 डॉलर का नुकसान होता।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।

सबसे पहले, मैं क्रमपरिवर्तनों की संख्या पर चर्चा करूँगा। इसका मतलब है कि न केवल संख्याएँ मायने रखती हैं, बल्कि कार्ड पर उनका क्रम भी मायने रखता है। B, I, G, और O स्तंभों के लिए क्रमपरिवर्तन (15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360,360 संभावित क्रमपरिवर्तन हैं। N स्तंभ के लिए, क्रमपरिवर्तनों की संख्या क्रमपरिवर्तन (14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32,760 है। इस प्रकार, बिंगो कार्डों के क्रमपरिवर्तनों की कुल संख्या 360,360 ⁴ × 32,760 = 552446474061128648601600000 है।

दूसरा, मैं संयोजनों की संख्या पर चर्चा करूँगा। इसका मतलब है कि संख्याएँ मायने रखती हैं, लेकिन कार्ड पर उनका क्रम मायने नहीं रखता। B, I, G, और O स्तंभों के लिए संयोजन(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3,003 संभावित संयोजन हैं। N स्तंभ के लिए, क्रमपरिवर्तनों की संख्या संयोजन(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1,365 है। इस प्रकार, बिंगो कार्डों के क्रमपरिवर्तनों की कुल संख्या 3,003 ⁴ × 1,365 = 111007923832370565 है।

शो में, शेल्डन खुद से पूछता है कि इतने अनोखे बिंगो कार्ड कैसे होते हैं। बाद में दिए गए गलत सूत्रों के आधार पर, मुझे लगता है कि उसका मतलब क्रमपरिवर्तन से है। दूसरे शब्दों में, एक ही संख्या वाले लेकिन अलग-अलग स्थानों पर स्थित दो कार्ड, दोनों ही अनोखे होंगे।

ऊपर दी गई छवि B, I, G, और O स्तंभों के लिए शेल्डन के सूत्र को दर्शाती है। शुरुआत में वह सूत्र 5! × combin(15,5) पर सही है। हालाँकि, वह इसे गलत तरीके से सरल करके 15!/(15!-5)! कर देता है। दूसरा विस्मयादिबोधक चिह्न वहाँ नहीं होना चाहिए। इसे 15!/(15-10)! पढ़ना चाहिए। हालाँकि, वह फिर 360,360 पर सही उत्तर पर पहुँच जाता है।

N कॉलम के साथ भी हमें बिल्कुल यही समस्या है। सूत्र 15!/(15-4)! होना चाहिए, न कि 15!/(15!-4)!। दूसरा विस्मयादिबोधक चिह्न इसे बिगाड़ देता है।

विडंबना यह है कि एपिसोड में आगे चलकर शेल्डन को लॉर्ड ऑफ द रिंग्स के कालक्रम में त्रुटियों का जुनून सवार हो जाता है, ठीक उसी तरह जैसे मुझे इस पर जुनून सवार है।

सबसे पहले, आइए खिलाड़ी और बोर्ड कार्ड के उन संयोजनों की संख्या निर्धारित करें जहाँ ऐसा हो सकता है। स्पष्टतः चार सूट हैं। फिर, दिए गए सूट के 13 में से चार कार्ड चुनने के लिए संयोजन(13,4)=715 तरीके हैं।

दूसरा, ऐसा होने का एक तरीका यह है कि खिलाड़ियों के पास बोर्ड पर एक ही सूट के तीन पत्ते हों और बाकी दो पत्ते बाकी 39 पत्तों में से हों। कॉम्बिन(9,3)=84 तरीके हैं जिनसे बोर्ड पर चुने हुए सूट के बचे हुए 9 पत्तों में से तीन पत्ते निकल सकते हैं। फिर, कॉम्बिन(39,2)=741 तरीके हैं जिनसे बाकी तीन सूट के 39 पत्तों में से दो और पत्ते निकल सकते हैं। इस तरह, बोर्ड पर एक ही सूट के तीन पत्ते होने पर 84*741=62,244 तरीके हैं।

तीसरा, ऐसा एक और तरीके से हो सकता है जब खिलाड़ियों के पास बोर्ड पर एक ही सूट के चार कार्ड हों और दूसरा 39 अन्य कार्डों में से एक हो। बोर्ड पर चुने हुए सूट के बचे हुए 9 कार्डों में से चार को रखने के लिए कॉम्बिन(9,4)=126 तरीके हैं। फिर अन्य तीन सूटों के 39 में से एक और कार्ड चुनने के 39 तरीके हैं। हालांकि, इनमें से सभी का परिणाम यह नहीं होगा कि दोनों खिलाड़ी दोनों होल कार्ड का उपयोग करें। उस शर्त को पूरा करने के लिए, संबंधित सूट का सबसे छोटा कार्ड बोर्ड पर होना चाहिए। खेल में उस सूट के 8 कार्डों में से इसकी संभावना 4/8 = 1/2 है। तो, बोर्ड पर संबंधित सूट के चार के साथ 126*39*(1/2)=2,457 तरीके हैं।

चौथा, ऐसा होने का आखिरी तरीका है बोर्ड पर खिलाड़ियों के पास मौजूद एक ही सूट के पाँच कार्ड। बोर्ड पर चुने हुए सूट के बचे हुए 9 कार्डों में से पाँच कार्ड रखने के लिए कॉम्बिन (9,5) = 126 तरीके हैं। हालाँकि, इन सभी तरीकों से दोनों खिलाड़ी दोनों होल कार्ड का इस्तेमाल नहीं करेंगे। इस शर्त को पूरा करने के लिए, संबंधित सूट के सबसे निचले दो कार्ड बोर्ड पर होने चाहिए। खेल में मौजूद उस सूट के 9 कार्डों में से, इसकी प्रायिकता कॉम्बिन (5,2)/कॉम्बिन (9,2) = 10/36 = 5/18 है। तो, बोर्ड पर संबंधित सूट के चार कार्ड रखने के लिए 126*(5/18) = 35 तरीके हैं।

तो, ऐसे संयोजनों की संख्या जहां ऐसा होगा 715*(62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240 है।

खिलाड़ी के होल कार्ड के लिए 52 में से चार कार्ड चुनने तथा फिर बोर्ड पर बचे 48 में से 5 और कार्ड चुनने के तरीकों के संयोजनों की कुल संख्या है कॉम्बिन (52,4) * कॉम्बिन (48,5) = 463,563,500,400.

इस प्रकार, संभावना 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 2,504 में 1 है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर पूछा गया और इस पर चर्चा की गई।

इस तरह के दांव का विश्लेषण करने के लिए, मैं सबसे पहले प्रत्येक टीम द्वारा बनाए जाने वाले अंकों की संख्या का अनुमान लगाऊँगा। मैं यह पॉइंट स्प्रेड और ओवर/अंडर के साथ सरल बीजगणित का उपयोग करके करता हूँ। उदाहरण के लिए, बंगाल्स और रेवेन्स के बीच पहले मैच पर विचार करें। रेवेन्स को 12 का लाभ है और ओवर/अंडर 48 है। मान लीजिए:

b = बंगाल्स द्वारा बनाए गए अंक
r = रेवेन्स द्वारा बनाए गए अंक

बी+12=आर
बी+आर=48

पहले समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए: b-4=-12। फिर उस समीकरण को b+r=48 में जोड़ें और आपको 2b=36 मिलेगा, यानी b=18। अगर बंगाल्स के 18 अंक बनाने की उम्मीद है, तो रेवेन्स के 18+12=30 अंक बनाने की उम्मीद है।

एक बार जब हम कुल अंकों का अनुमान लगा लेते हैं, तो हम अनुमानित टचडाउन तक पहुँच सकते हैं। मैं ऐसा प्रत्येक टीम से छह फ़ील्ड गोल अंक घटाकर और फिर शेष को 7 से भाग देकर करता हूँ।

इन टीमों के बीच होने वाले कुल टचडाउन की संख्या 29.57 है। इसके बाद, प्रत्येक टीम के अनुमानित टचडाउन को उस कुल से भाग दें। इससे उस टीम द्वारा पहला टचडाउन बनाने की अनुमानित संभावना प्राप्त होगी। फिर उस संभावना के आधार पर अपेक्षित मान और दांव पर लगने वाले भुगतान का पता लगाएँ।

जैसा कि आप तालिका में देख सकते हैं, मुझे केवल दो टीमों पर ही सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाई देता है। रेडस्किन्स (हाँ, मैं उन्हें यही कहता हूँ) 0.48% की बढ़त पर और बंगाल्स 21.7% की बढ़त पर। रेडस्किन्स की बढ़त बहुत कम है, लेकिन मैं निश्चित रूप से बंगाल्स पर दांव लगाऊँगा।

पी.एस. बंगाल्स ने उस दिन पहला टचडाउन स्कोर किया!

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास में पूछा गया है और इस पर चर्चा की गई है।