जादूगर से पूछो #315

पहले एक बात स्पष्ट कर दूँ। निम्नलिखित विश्लेषण सांख्यिकीय औसत पर आधारित है। एक वास्तविक खिलाड़ी को यह मानसिक रूप से समायोजित करना चाहिए कि वह फ़ाइनल जेपर्डी श्रेणी को कितनी अच्छी तरह जानता है और साथ ही प्रतिद्वंद्वी के सही अनुमान लगाने की संभावनाओं का भी अनुमान लगाना चाहिए।

आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मैंने सबसे पहले जेपर्डी आर्काइव से चार सत्रों के डेटा को देखा, ताकि पहले (अग्रणी) और दूसरे स्थान (पीछा करने वाले) खिलाड़ी के फाइनल जेपर्डी को सही और गलत करने के चार संभावित संयोजनों को देखा जा सके।

आगे बढ़ने से पहले, आइए कुछ चर परिभाषित करें:

x = सम्भावना अग्रणी खिलाड़ी उच्च जाता है।
y = संभावना है कि पीछा करने वाला खिलाड़ी ऊंचा हो।
f(x,y) = उच्च खिलाड़ी के जीतने की संभावना.

आइए ऊपर दी गई तालिका से f(x,y) को x और y के संदर्भ में व्यक्त करें:

f(x,y) = 0.823xy + 0.545x(1-y) + 0.468(1-x)y + (1-x)(1-y)
f(x,y) = 0.810 xy - 0.455x - 0.532y + 1

x और y के लिए इष्टतम मान ज्ञात करने के लिए, आइए x और y दोनों के संबंध में f(x,y) का व्युत्पन्न लें।

f(x,y) d/dx = -0.455 + 0.810y = 0
इस प्रकार y = 0.455/0.810 = 0.562

f(x,y) d/dy = -0.532 + 0.810x = 0
इस प्रकार x = 0.523/0.810 = 0.657

इसलिए, उच्च खिलाड़ी को 65.7% संभावना के साथ उच्च दांव लगाना चाहिए और निम्न खिलाड़ी को 56.2% संभावना के साथ उच्च दांव लगाना चाहिए।

देखने के आधार पर, मुझे लगता है कि उच्च खिलाड़ी 65.7% से अधिक समय में उच्च दांव लगाता है, इसलिए यदि मैं दूसरे स्थान पर होता, तो मैं कम दांव लगाता।

यदि दोनों खिलाड़ी इस यादृच्छिक रणनीति का पालन करते हैं, तो अग्रणी खिलाड़ी की जीत की संभावना 70.1% है।

सारे सिद्धांत एक तरफ़ रख दें, अगर आप आगे चल रहे हैं, तो भविष्यवाणी करें कि पीछा करने वाला खिलाड़ी क्या करेगा और वैसा ही करें। अगर आप पीछा कर रहे हैं, तो आगे चल रहे खिलाड़ी की कार्रवाई का अनुमान लगाएँ और उसके विपरीत करें। यह रणनीति ऐसे सभी टूर्नामेंटों के लिए लागू होती है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

अन्य पाठकों की सुविधा के लिए, 11 मई, 2019 के ग्रैंड स्लैम के लिए यहाँ पंक्तियाँ दी गई हैं। कॉलम के शीर्षकों में "हाँ" और "नहीं" लिखा होना चाहिए, न कि "घर" और "बाहर"।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मैंने 2011 से 2018 सीज़न तक के हर MLB गेम का अवलोकन किया। उन आठ सीज़न में, 19,440 खेलों में 858 ग्रैंड स्लैम हुए। इस प्रकार, प्रति गेम ग्रैंड स्लैम की औसत संख्या 0.0441 है। यह किसी भी दिए गए गेम में ग्रैंड स्लैम होने की संभावना के समान नहीं है, क्योंकि एक गेम में एक से अधिक ग्रैंड स्लैम हो सकते हैं। पॉइसन वितरण का उपयोग करते हुए, किसी भी दिए गए गेम में कम से कम एक ग्रैंड स्लैम होने की संभावना 4.3176% है।

इस संभावना के साथ, खेलों की संख्या के आधार पर कम से कम एक ग्रैंड स्लैम के लिए संभावना और उचित रेखा को दर्शाने वाली निम्नलिखित तालिका बनाना आसान है।

मुझे एक चेतावनी ज़रूर जोड़नी चाहिए कि मेरा जवाब एमएलबी औसत पर आधारित है। किसी भी दिन, खिलाड़ी को खेले जा रहे विशिष्ट मैचों को ध्यान में रखना चाहिए। खासकर, ओवर/अंडर लाइन जितनी ज़्यादा होगी, ग्रैंड स्लैम जीतने की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी।

उस लाभ और खेले गए हाथों के आधार पर, अपेक्षित जीत 2015 इकाई है। प्रति हाथ 1.1 का मानक विचलन मानते हुए, पूरे खेल में मानक विचलन 1,561 है। आपकी वास्तविक जीत और अपेक्षित जीत के बीच का अंतर 3,490 है। यानी 3,490/1,561 = 2.24 मानक विचलन। इतने बुरे या उससे भी बदतर परिणाम की संभावना 1.27% है।

रॉयल फ्लश जीतने की संभावना 32,487 में से 1 है। हर बार ऐसा होने पर आपको $20,000, यानी 400 एंटे बेट्स का नुकसान होता है। यानी एंटे पर लगाए गए कुल दांव का 400/32,487 = 1.23%। इससे हाउस एज (एंटे बेट के सापेक्ष मापा गया) 2.185% से बढ़कर 3.416% हो जाता है।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर चर्चा में पूछा गया है।