जादूगर से पूछो #293

हाँ! जोकर पोकर में, गार्बेज हैंड के मामले में, सामान्य नियम के अनुसार, बीच के पत्तों में से एक को रखना सबसे अच्छा होता है जिससे ड्रॉ पर स्ट्रेट या फ्लश बनने की सबसे अच्छी संभावना हो। हालाँकि, कभी-कभी करीबी मुकाबला हो, या बराबरी भी हो, तो सबसे अच्छा कार्ड यही होता है कि उसे पकड़ कर रखें।

उदाहरण के लिए, दो जोड़ी जोकर पोकर और ड्रॉ पर Qh, 10d, 5d, 7c, और 2c के लिए 97.19% भुगतान तालिका में, सबसे अच्छा दांव केवल 10d, 5d, और 7c रखने के बीच का टाई है, और तीनों के लिए अपेक्षित मान 0.240703 है। इसे मेरे वीडियो पोकर हैंड एनालाइज़र का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है।

यहां उसी जोकर पोकर भुगतान तालिका के लिए अन्य ऐसे खेल हैं:

• क्यूसी 10एस 5डी 7एच 2सी
• क्यूएच 10डी 5डी 7एच 2सी
• केएच 10डी 5डी 8सी 3सी
• केसी 10एस 5डी 8एच 3सी
• केएच 10डी 5डी 8एच 3सी

इस प्रश्न पर सहायता के लिए गैरी कोहलर को मेरा धन्यवाद।

अन्य पाठकों के लाभ के लिए, मेरी तरकीबों में एक चीज़ है, हाफ-पॉइंट पार्ले कार्ड्स पर 3 और 7 के पॉइंट स्प्रेड से अतिरिक्त हाफ पॉइंट्स का फ़ायदा उठाना। मैंने यह साबित कर दिया है कि यह एक विश्वसनीय, हालाँकि बहुत अस्थिर, फ़ायदे का खेल है।

नया नियम अतिरिक्त किक को 15-यार्ड लाइन पर वापस ले जाता है। इससे किक की सफलता की संभावना कम हो जाएगी और दो-पॉइंट रूपांतरण के ज़्यादा प्रयास होंगे। दो-पॉइंट रूपांतरण के ज़्यादा प्रयासों के साथ, चाहे वे सफल हों या नहीं, तीन या सात अंकों से ज़्यादा गेम नहीं तय होने चाहिए, जिससे आधे पॉइंट वाले पार्ले कार्ड पर इन महत्वपूर्ण अंकों से अतिरिक्त आधा पॉइंट पाने का महत्व कम हो जाएगा। क्या हमें चिंतित होना चाहिए? देखते हैं।

सबसे पहले, हमें चिंता करनी चाहिए, लेकिन ज़रूरी नहीं कि इसी वजह से। नियमों में हुए दूसरे बदलावों ने डिफेंस की आक्रामकता को कम किया है, जिससे ज़्यादा स्कोरिंग मैच हुए हैं। नीचे दिया गया ग्राफ़ 1994 से 2014 तक हर सीज़न में हर मैच में बनाए गए औसत अंकों को दर्शाता है।



जैसा कि ग्राफ़ में दिखाया गया है, 2006 तक प्रत्येक खेल में औसत अंक लगभग 42 थे। हालाँकि, 2007 से, यह औसत हर साल लगभग आधा अंक बढ़ रहा है। इससे यह सवाल उठता है कि क्या औसत अंकों में यह वृद्धि जीत के अंतर के वितरण को, खासकर 3 और 7 के जादुई अंकों के लिए, समतल कर देती है। अगला ग्राफ़ वर्ष दर वर्ष जीत के अंतर के तीन और सात अंकों की संभावना दर्शाता है।



जैसा कि आप देख सकते हैं, सात अंकों के अंतर से जीत की संभावना 9.1% पर स्थिर बनी हुई है। हालाँकि, तीन अंकों के अंतर से जीत की संभावना लगातार कम होती जा रही है, खासकर 2004 के बाद से। यह बुरा है क्योंकि NFL में तीन अंकों का अंतर बहुत ज़्यादा है।

जीत के कम तीन-पॉइंट अंतर का कारण चाहे जो भी हो, आधे पॉइंट वाले पार्ले कार्डों का मूल्य घट रहा है। क्या नए अतिरिक्त पॉइंट नियम के साथ यह और भी बदतर हो जाएगा?

मेरा जवाब है कि इससे नुकसान तो होना चाहिए, लेकिन ज़्यादा नहीं। नियम बदलने से पहले, मेरा अनुमान है कि लगभग 4.8% टचडाउन के बाद दो-पॉइंट रूपांतरण का प्रयास किया गया था। जब मैं यह लिख रहा हूँ, नियम बदलने के बाद से केवल दो हफ़्ते ही खेल खेले गए हैं। 2015 सीज़न के पहले दो हफ़्तों में, 167 टचडाउन हुए और 15 टचडाउन के बाद दो-पॉइंट रूपांतरण का प्रयास किया गया, यानी प्रयास दर 9.0% रही।

गणितीय रूप से कहें तो, मुझे लगता है कि दो-पॉइंट रूपांतरण का इस्तेमाल ज़्यादा आम होना चाहिए, खासकर विचरण चाहने वाली कमज़ोर टीमों के लिए, और मुझे समझ नहीं आता कि ऐसा क्यों नहीं है। आपने यह नहीं पूछा था, लेकिन मुझे बस अपनी बात कहनी थी।

अच्छा सवाल है। 11 से 10 पर आपका लाभ 3.09% है और पार्ले पर 10.22%। यह पार्ले के लिए एक अच्छा मामला लगता है।

हालाँकि, याद रखें कि किसी भी लाभप्रद खेल में बैंकरोल वृद्धि के लिए सर्वोत्तम रणनीति केली मानदंड का उपयोग करना है। केली के अनुसार, सर्वोत्तम दांव का आकार वह है जो दांव के बाद बैंकरोल के अपेक्षित लॉग को अधिकतम करता है। केवल दो संभावित परिणामों वाले दांवों के लिए, सर्वोत्तम दांव का आकार, लाभ को दांव द्वारा प्राप्त राशि से "एक" के आधार पर विभाजित करने पर प्राप्त होने वाले लाभ के बराबर होता है।

स्ट्रेट बेट्स पर 10 से 11 का भुगतान होता है। इससे इष्टतम बेट का आकार 0.030909/(10/11) = 0.034000 होगा। 3.09% के खिलाड़ी लाभ पर, आप प्रति गेम स्ट्रेट बेटिंग पर अपने बैंकरोल का 0.001051 गुना जीतने की उम्मीद कर सकते हैं।

पार्ले पर इष्टतम दांव का आकार 0.102248/6 = 0.017041 है। 0.102248 के खिलाड़ी लाभ पर, आप प्रति गेम सीधे दांव पर अपने बैंकरोल का 0.001742 गुना जीतने की उम्मीद कर सकते हैं।

हालाँकि, सीधी सट्टेबाजी बेहतर है क्योंकि आप तीन बार दांव लगा सकते हैं। इसलिए, फ्लैट सट्टेबाजी के प्रति दांव पर अपेक्षित लाभ को तीन से गुणा करें, जिससे 3 × 0.001051 = 0.003153 प्राप्त होगा। यह पार्ले सट्टेबाजी के बैंकरोल वृद्धि से 81% अधिक है।

यदि आपका बैंकरोल इतना बड़ा है कि आप अधिकतम दांव सीमा से टकरा जाते हैं, तो आपको संभवतः पहले पार्ले दांव लगाना चाहिए, जो लाइनों को स्थानांतरित नहीं करता है, और फिर अपने सीधे दांव लगाएं।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

यह एक सीमांत निर्णय है, और मुझे लगता है कि NFL ने नियम बदलते समय यही सोचा था। निर्णय लेते समय जिन बातों पर विचार किया जाना चाहिए, वे हैं:

• किक मारने से सफलता की संभावना.
• दो-बिंदु रूपांतरण के लिए जाने पर सफलता की संभावना।
• प्रत्येक टीम की जीतने की समग्र संभावनाएँ।

खेल के अंतिम क्षणों में, महत्वपूर्ण संख्याओं पर विचार करना भी महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, अगर खेल का अंतिम समय हो चुका है और आपने अभी-अभी टचडाउन बनाकर अपनी टीम को तीन अंकों से आगे कर दिया है, तो आपको किक मारनी चाहिए। अगर आप टचडाउन बना लेते हैं, तो आप चार अंकों से आगे हो जाएँगे और दूसरी टीम को जीतने के लिए टचडाउन बनाने पर मजबूर कर देंगे। अगर आप दो अंक बनाने की कोशिश करते हैं और चूक जाते हैं, तो दूसरी टीम केवल एक फील्ड गोल से बराबरी कर सकती है। इसलिए, मैं अपनी चर्चा खेल के शुरुआती क्षणों तक ही सीमित रखूँगा, जब महत्वपूर्ण संख्याएँ कोई बड़ा कारक नहीं होतीं।

आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मैंने एक सिमुलेशन प्रोग्राम लिखा है। हालाँकि यह थोड़ा कच्चा है, मुझे लगता है कि यह फ़ील्ड गोल, टचडाउन और टर्नओवर के संदर्भ में NFL की प्रकृति को दर्शाने में काफी सटीक है।

केविन रूडी द्वारा लिखे गए लेख "15 यार्ड लाइन पर अतिरिक्त पॉइंट ले जाने से क्या प्रभाव पड़ेगा?" के अनुसार, 15 यार्ड लाइन से अतिरिक्त पॉइंट बनाने की संभावना 94.2% है। मैंने अपने प्रोग्राम में 94% की संभावना रखी है, ताकि संख्याएँ अच्छी और गोल रहें।

दो-बिंदु रूपांतरण की संभावना पर ज़्यादा मतभेद हैं। ज़ाहिर है, यह भी विशिष्ट रक्षा और आक्रमण के अनुसार काफ़ी भिन्न होगा। मैंने 1% के समूहों में, 46% से 50% की दो-बिंदु रूपांतरण सफलता पर सिमुलेशन चलाया।

हर सिमुलेशन में, मैंने एक टीम को हमेशा किक करने और विरोधी टीम को सफलता की हर संभावना पर कन्वर्ज़न के लिए प्रयास करने को कहा। मैंने ऐसे सिमुलेशन भी चलाए जहाँ दोनों टीमें हमेशा किक करती थीं, ताकि दो-पॉइंट कन्वर्ज़न के परिणामों की तुलना करने के लिए कुछ हो।

नीचे दी गई तालिका 1 दो समान रूप से कुशल टीमों के परिणाम दर्शाती है। टीम A हमेशा टचडाउन के बाद किक करती है। तालिका टीम B के जीतने की संभावना और प्रति गेम बनाए गए औसत अतिरिक्त अंकों को दर्शाती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि टीम B किक करती है या दो-पॉइंट रूपांतरण (2PC) अपनाती है और उसकी सफलता की संभावना क्या है।



ध्यान दें कि सफलता की 47% संभावना के साथ, किक करने या दो अंक प्राप्त करने की कोशिश करने पर अपेक्षित अतिरिक्त अंक 0.94 हैं। हालाँकि, दो अंक प्राप्त करने की कोशिश में जीतने की संभावना 0.1% कम है। मेरा अनुमान है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि अगर आप चूक जाते हैं, तो दूसरी टीम के पास दो फील्ड गोल के साथ बराबरी करने का मौका होता है। यह ध्यान देने योग्य है कि यह महत्वपूर्ण संख्यात्मक प्रभाव काफी छोटा है, लेकिन अन्य सभी चीजें समान होने पर, रूढ़िवादी होने और किक करने के पक्ष में है। सार यह है कि दो बराबर टीमों के साथ, दो-पॉइंट रूपांतरण में सफलता की संभावना कम से कम 49% होनी चाहिए।

नीचे दी गई तालिका 2 दो असमान टीमों के परिणाम दिखाती है, जहाँ टीम A ज़्यादा मज़बूत है। टीम A हमेशा टचडाउन के बाद किक करती है। इसमें ऊपर दी गई तालिका 1 के समान आँकड़े दिखाई देते हैं।

तालिका 2 दर्शाती है कि कमज़ोर टीम को सफलता की सभी सूचीबद्ध संभावनाओं पर दो-अंकीय रूपांतरण का विकल्प चुनना चाहिए। यहाँ तक कि 45% पर भी, जहाँ कुल अंकों की अपेक्षित संख्या कम है। आप पूछ सकते हैं कि ऐसा क्यों है? ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी खेल में, कमज़ोर टीम को भिन्नता की तलाश करनी चाहिए और मज़बूत टीम को इससे घृणा करनी चाहिए।

नीचे दी गई तालिका 3 दो असमान टीमों के परिणाम दिखाती है, जहाँ टीम B ज़्यादा मज़बूत है। टीम A हमेशा टचडाउन के बाद किक करती है। इसमें ऊपर दी गई तालिका 1 और 2 के समान आँकड़े दिखाई देते हैं।

ध्यान दें कि तालिका 3 में टीम B के किक मारकर जीतने की संभावना 71.17% के बराबर दिखाई गई है। यह दिखाई गई सफलता की सभी संभावनाओं के लिए इससे कम है, भले ही अपेक्षित अंकों की संख्या 49% या 50% की सफलता की संभावना पर अधिक हो। इसका कारण, फिर से, यह है कि कमज़ोर टीमों को भिन्नता की तलाश करनी चाहिए और मज़बूत टीमों को इससे बचना चाहिए। दो-बिंदु रूपांतरण का प्रयास खेल में अस्थिरता लाता है, यही कारण है कि कमज़ोर टीमों को, अन्य सभी चीज़ें समान होने पर, मज़बूत टीमों की तुलना में, इसे आज़माने के लिए अधिक इच्छुक होना चाहिए।