जादूगर से पूछो #288

2015 सुपर बाउल पर वायदा दांव के अनुसार, विभिन्न वेगास खेल पुस्तक समूहों में औसत हाउस एज इस प्रकार है।

किसी भी वायदा दांव पर औसत हाउस एज की गणना करने के लिए, कृपया मेरे स्पोर्ट्स फ्यूचर्स कैलकुलेटर का उपयोग करें।

दुर्भाग्य से, ऐसा ही है। जेरीज़ नगेट आखिरी जगह थी जहाँ दो लेग वाले 6-पॉइंट एनएफएल टीज़र पर -110, तीन लेग के लिए +180 और चार लेग के लिए +300 का उदार ऑड्स दिया गया था। वोंग टीज़र (जीत के 3- और 7-पॉइंट के अंतर को पार करके) करके, यह एक ठोस लाभप्रद खेल था।

आप विज़ार्ड ऑफ वेगास डॉट कॉम पर मेरे स्पोर्ट्स बुक सर्वेक्षण में वेगास के आसपास के सभी वर्तमान पार्ले और टीज़र ऑड्स पा सकते हैं।

सामान्य रूप से फुटबॉल टीज़र के बारे में अधिक जानकारी के लिए, कृपया एनएफएल में टीज़र बेट्स पर मेरा पेज देखें।

नहीं, वह सही नहीं है। एंडी की एकल दांव रणनीति की संभावना 1/38 = 2.6316% है।

काफी प्रयास और त्रुटि के बाद, मैंने अपनी "हेल मैरी" रूलेट रणनीति तैयार की, जिससे $30 को $1,000 में बदलने की संभावना 2.8074% तक बढ़ जाएगी।

रूलेट के लिए जादूगर की "हेल मैरी" रणनीति:

यह रणनीति मानती है कि दांव $1 की वृद्धि में होने चाहिए। सभी दांव गणनाओं में, नीचे की ओर पूर्णांकित करें।

होने देना:
b = आपका बैंकरोल
g = आपका लक्ष्य

1. यदि 2*b >=g, तो किसी भी सम राशि वाले दांव पर (gb) दांव लगाएं।
2. अन्यथा, यदि 3*b >=g, तो किसी भी कॉलम पर (gb)/2 का दांव लगाएं।
3. अन्यथा, यदि 6*b >=g, तो किसी भी छह लाइन (छह संख्या) पर (gb)/5 का दांव लगाएं।
4. अन्यथा, यदि 9*b >=g, तो किसी भी कोने (चार संख्या) पर (gb)/8 का दांव लगाएं।
5. अन्यथा, यदि 12*b >=g, तो किसी भी स्ट्रीट (तीन नंबर) पर (gb)/11 का दांव लगाएं।
6. अन्यथा, यदि 18*b >=g, तो किसी भी विभाजन (दो संख्या) पर (gb)/17 का दांव लगाएं।
7. अन्यथा, किसी भी एक नंबर पर (gb)/35 का दांव लगाएं।

दूसरे शब्दों में, अगर हो सके तो हमेशा एक ही दांव लगाकर लक्ष्य तक पहुँचने की कोशिश करें, बिना लक्ष्य से ज़्यादा खर्च किए। अगर ऐसा करने के कई तरीके हैं, तो उस तरीके को चुनें जिसमें जीतने की संभावना सबसे ज़्यादा हो।

आप पूछ सकते हैं कि दूसरे खेलों के बारे में क्या? डिस्कवरी चैनल के वॉयस-ओवर वाले के अनुसार, "हर कोई इस बात पर सहमत है कि कैसीनो में रूलेट सबसे जल्दी अमीर बनने का सबसे अच्छा तरीका है।" खैर, मैं नहीं मानता। आम खेलों और नियमों तक ही सीमित रहकर भी, मुझे क्रेप्स ज़्यादा बेहतर लगता है। खासकर, पास न होने पर दांव लगाना और ऑड्स लगाना।

क्रेप्स के लिए मेरी हेल मैरी रणनीति (नीचे बताई गई है) के अनुसार, $30 के $1,000 में बदलने की संभावना 2.9244% है। यह मानकर चला जाता है कि खिलाड़ी पॉइंट की परवाह किए बिना 6x ऑड्स लगा सकता है (ऐसा तब होता है जब 3x-4x-5x ऑड्स लेने की अनुमति हो)। सफलता की यह संभावना रूलेट के लिए मेरी हेल मैरी रणनीति से 0.117% ज़्यादा और एंडी ब्लॉक रणनीति से 0.2928% ज़्यादा है।

एंडी शायद यह तर्क दे कि मेरा उपरोक्त तर्क न्यूनतम $1 के दांव की धारणा पर आधारित है, जो वेगास में लाइव डीलर गेम में मिलना मुश्किल है। यह उम्मीद करते हुए कि कोई ऐसा कहेगा, मैंने दोनों गेम न्यूनतम $5 के दांव के अनुमान और $5 की वृद्धि में दांव लगाकर खेले। उस स्थिति में, मेरी हेल मैरी रणनीति का उपयोग करके सफलता की संभावना रूलेट में 2.753% और क्रेप्स में 2.891% है। दोनों ही मामलों में, एंडी ब्लोच रणनीति के तहत 2.632% से अधिक है।

सच कहूँ तो, डिस्कवरी चैनल ने कभी भी ऊपर दी गई बेतुकी बातें प्रसारित नहीं की होंगी और निश्चित रूप से कुछ ऐसा सरल तरीका खोज रहा था जो आम जनता को समझ में आए। एंडी निश्चित रूप से उन्हें कुछ ऐसा दे रहे थे जो वे सुनना चाहते थे। उनकी सलाह का मूल आधार यह है कि अगर आप किसी खास लक्ष्य तक पहुँचना चाहते हैं, तो हिट-एंड-रन रणनीति, हाउस एज के कारण कई दांव लगाने से कहीं बेहतर है। यह बिल्कुल सच है और मैं पिछले 17 सालों से इसी बात का प्रचार कर रहा हूँ।

क्रेप्स के लिए जादूगर की "हेल मैरी" रणनीति।

इस रणनीति में यह माना जाता है कि दांव $1 के हिसाब से लगने चाहिए और जीत की राशि को निकटतम डॉलर तक पूर्णांकित किया जाएगा। दांव की गणना करते समय, कभी भी इतना दांव न लगाएँ कि आप लक्ष्य से आगे निकल जाएँ। साथ ही, कभी भी दांव की राशि इतनी न रखें कि आपको गोल में ही जीत मिल जाए।

होने देना:
b = आपका बैंकरोल
g = आपका लक्ष्य

1. पास न होने पर अधिकतम ($1, न्यूनतम(b/7,(gb)/6)) दांव लगाएं।
2. अगर कोई पॉइंट आता है और आपके पास पूरी ऑड्स वाली शर्त के लिए पर्याप्त राशि है, तो पूरी ऑड्स लगाएँ। अन्यथा, जितना हो सके, लगाएँ।

तो, मुझे उम्मीद है कि एंडी और डिस्कवरी चैनल खुश होंगे। मैंने उन्हें ग़लत साबित करने के लिए कई दिन सिमुलेशन चलाए हैं।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

इसे सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास के नाम से जाना जाता है।

यह सच है कि खेल में अपेक्षित जीत ∞ है, जबकि साथ ही संभावना यह भी है कि सिक्का अंततः पट पर गिरेगा, जिससे एक निश्चित धनराशि प्राप्त होगी। अपेक्षित जीत की गणना इस प्रकार है:

अपेक्षित जीत = pr(1 फ़्लिप)×2 + pr(2 फ़्लिप)×4 + pr(3 फ़्लिप)×8 + pr(4 फ़्लिप)×16 + pr(5 फ़्लिप)×32 + pr(6 फ़्लिप)×64 + ... =

(1/2) ¹ × 2 ¹ + (1/2) ² × 2 ² + (1/2) ³ × 2 ³ + (1/2) ⁴ × 2 ⁴ + (1/2) ⁵ × 2 ⁵ + (1/2) ⁶ × 2 ⁶ + ...

= ((1/2)*(2/1)) ¹ + ((1/2)*(2/1)) ² + ((1/2)*(2/1)) ³ + ((1/2)*(2/1)) ⁴ + ((1/2)*(2/1)) ⁵ + ((1/2)*(2/1)) ⁶ + ...

= 1 ¹ + 1 ² + 1 ³ + 1 ⁴ + 1 ⁵ + 1 ⁶ + ...

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = ∞

यहाँ विरोधाभास यह है कि खिलाड़ी को एक निश्चित राशि जीतनी होती है, लेकिन अपेक्षित जीत अनंत होती है। ऐसा कैसे हो सकता है?

यह शायद कोई बहुत संतोषजनक उत्तर न हो, लेकिन ∞ की बात करें तो इसमें कई विरोधाभास हैं। इस वजह से मुझे कुछ गुस्से भरे ईमेल मिल सकते हैं, लेकिन अनंत के इतने विरोधाभासों के बावजूद, जो बात मुझे रातों को सोने देती है, वह यह है कि मेरा मानना है कि ∞ एक गणितीय या दार्शनिक अवधारणा है जिसका वास्तविक भौतिक ब्रह्मांड में अस्तित्व सिद्ध नहीं हुआ है। अनंत की यह अवधारणा या सिद्धांत अपने साथ अंतर्निहित विरोधाभास लेकर चलता है।

जो लोग इससे असहमत हैं, कृपया मुझे ऐसी कोई भी चीज़ बताएँ जिसकी मात्रा या माप अनंत सिद्ध हो। कृपया यह न कहें कि ब्लैक होल का घनत्व अनंत होता है, जब तक कि आपके पास उसके आकार का प्रमाण न हो।

इस खेल को खेलने के लिए कितना भुगतान करना चाहिए, इस शुरुआती सवाल का जवाब देने के लिए, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि खुशी पैसे की मात्रा के अनुपात में नहीं होती। निजी तौर पर, मुझे अर्थशास्त्र की कक्षाओं में पढ़ाया गया था, और मेरा मानना है कि पैसे से मिलने वाली उपयोगिता, या खुशी, पैसे की मात्रा के लघुगणक के समानुपाती होती है। इस धारणा के तहत, यदि आप शून्य प्रारंभिक संपत्ति के अलावा, किन्हीं दो लोगों की संपत्ति में समान प्रतिशत की वृद्धि या कमी करते हैं, तो उन दोनों की खुशी में समान परिवर्तन होगा। उदाहरण के लिए, यदि जिम की संपत्ति अचानक $1,000 से बढ़कर $1,100 हो जाती है और जॉन की संपत्ति अचानक $10,000,000 से बढ़कर $11,000,000 हो जाती है, तो दोनों की खुशी में समान वृद्धि होगी, क्योंकि दोनों ही मामलों में उनकी संपत्ति में 10% की वृद्धि हुई है। यह मानते हुए कि पैसे से मिलने वाली खुशी वास्तव में राशि के लघुगणक के समानुपाती है, तो निम्न तालिका दर्शाती है कि खेलने के लिए भुगतान करने से पहले किसी व्यक्ति को अपनी संपत्ति के अनुसार अधिकतम कितना भुगतान करने को तैयार होना चाहिए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, व्यावहारिक परिस्थितियों में, आपको जो राशि चुकानी चाहिए वह $∞ से बहुत कम है। उदाहरण के लिए, अगर आपकी संपत्ति एक मिलियन डॉलर है, तो आपको $20.88 की लागत पर खेलने में कोई आपत्ति नहीं होनी चाहिए।

यह प्रश्न मेरे फोरम विजार्ड ऑफ वेगास पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।