यादृच्छिक संख्या Poker समाधान

नियम

1. दो खिलाड़ियों को 0 से 1 तक के एक समान वितरण से एक यादृच्छिक संख्या दी जाती है।
2. खिलाड़ी 1 अपना नंबर रख सकता है या उसे किसी नए यादृच्छिक नंबर से बदल सकता है।
3. खिलाड़ी 2, खिलाड़ी 1 के निर्णय को जानते हुए, अपना मूल नंबर बदल सकता है या उसी पर कायम रह सकता है।
4. अंत में जो संख्या अधिक होगी, वही जीतेगी।

प्रश्न

1. प्रत्येक खिलाड़ी के लिए सर्वोत्तम रणनीति क्या है?
2. यह मानते हुए कि दोनों खिलाड़ी इष्टतम रणनीति का पालन करते हैं, प्रत्येक खिलाड़ी के जीतने की संभावना क्या है?

जवाब

• खिलाड़ी 1 को 0.567364 से कम के साथ स्विच करना चाहिए, अन्यथा खड़े रहें।
• यदि खिलाड़ी 1 स्विच करता है, तो खिलाड़ी 2 को 0.5 से कम के साथ स्विच करना चाहिए, अन्यथा खड़ा रहना चाहिए।
• यदि खिलाड़ी 1 खड़ा रहता है, तो खिलाड़ी 2 को 0.660951 से कम के साथ स्विच करना चाहिए, अन्यथा खड़ा रहना चाहिए।
• खिलाड़ी 1 की जीत की Probability = 0.494333.
• खिलाड़ी 2 की जीत की Probability = 0.505667.
• यह मानते हुए कि प्रत्येक खिलाड़ी एक संख्या दांव पर लगाता है, तो खिलाड़ी 1 का अपेक्षित मूल्य = -0.011333.

समाधान

यह स्पष्ट है कि यदि खिलाड़ी 1 स्विच करता है तो खिलाड़ी 2 को 0.5 से कम के साथ स्विच करना चाहिए और अन्यथा खड़ा होना चाहिए।

Other , अगर खिलाड़ी 1 का मूल नंबर किसी निश्चित संख्या से ऊपर है, तो उसे खड़ा होना चाहिए। मान लीजिए उस संख्या को x कहते हैं।

अगर खिलाड़ी 1 खड़ा रहता है, तो खिलाड़ी 2 यह मान सकता है कि खिलाड़ी 1 के पास एक अच्छा नंबर है। खिलाड़ी 2 को उसे हराने के लिए आक्रामक होना होगा। अगर खिलाड़ी 1 खड़ा रहता है, तो उसकी रणनीति एक निश्चित संख्या, मान लीजिए इसे y कहते हैं, से ऊपर स्विच करने की होनी चाहिए।

इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए आपको इन उदासीनता बिंदुओं, x और y, का हल निकालना होगा। ऐसा करने के लिए आपको खड़े होने और स्विच करने के अपेक्षित मान को बराबर करना होगा।

इस समाधान के शेष भाग के लिए, मैं खिलाड़ी 1 के दृष्टिकोण से अपेक्षित मूल्य की गणना करूंगा, यह मानते हुए कि दोनों खिलाड़ी एक-एक इकाई दांव पर लगाते हैं।

आइये पहले x का हल निकालें।

खड़े होकर अपेक्षित मान = y*(2x-1) - (1-y)

हिट करने पर अपेक्षित मान = 0.5 * 0 + 0.25 * 0 + 0.25 * -1 = -0.25.

इसके बाद, इन अपेक्षित मानों को एक दूसरे के बराबर सेट करें:

y*(2x-1) - (1-y) = -0.25
2xy - y - 1 + y =-0.25
2xy - 1 = -0.25
2xy = 0.75
xy = 3/8

अब, आइए अपेक्षित मान ज्ञात करें यदि खिलाड़ी 2 के पास y है और वह खिलाड़ी 1 के खड़े होने के बाद खड़ा होता है:

(yx)/(1-x) + (1-y)/(1-x) * -1 = (x-2y+1) / (x-1)
अब, आइए अपेक्षित मान ज्ञात करें यदि खिलाड़ी 2 के पास y है और वह खिलाड़ी 1 के खड़े होने के बाद हिट करता है:

(1 / (1-x)) * [(1-x)^2 * 0 + x * (1-x) * -1] =
(1 / (1-x)) * [x^2 - x] =
एक्स * (एक्स-1) / -(एक्स-1) =
-एक्स

इसके बाद, इन अपेक्षित मानों को एक दूसरे के बराबर सेट करें:

(x-2y+a) / (x-1) = -x
x^2 - 2y + 1 = 0
x^3 - 2xy + x = 0

इसके बाद, xy के स्थान पर 3/8 प्रतिस्थापित करें।

x^3 + x - 0.75 = 0
4x^3 + 4x - 3 = 0.

आप इस बिंदु पर x = 0.567364 प्राप्त करने के लिए घन समीकरण सॉल्वर का उपयोग कर सकते हैं।

xy = 3/8 जानते हुए, आप उपरोक्त मान को x के स्थान पर प्रतिस्थापित कर सकते हैं जिससे y = 0.660951 प्राप्त होगा।

फिर, दो से चार संख्याओं के गिरने के सभी तरीकों पर विचार करके प्रत्येक खिलाड़ी की जीत की प्रायिकता ज्ञात की जाती है। यह ज्यामिति या कैलकुलस से किया जा सकता है। अगर मैं यह हिस्सा पाठक पर छोड़ दूँ तो क्षमा करें। उत्तर ये रहे:

खिलाड़ी 1 की जीत की Probability = 0.494333.
खिलाड़ी 2 की जीत की Probability = 0.505667.
यह मानते हुए कि प्रत्येक खिलाड़ी एक संख्या दांव पर लगाता है, तो खिलाड़ी 1 का अपेक्षित मूल्य = -0.011333.

आपमें से जिन लोगों को उत्तर की सटीक अभिव्यक्ति चाहिए, उनके लिए:

मान लीजिए z = (3/8 + (307/1728)^(1/2))^(1/3) ~ 0.926962
तब x = z - 1/(3z) ~ 0.567364
तब y = 3/(8x) ~ 0.660951
तो खिलाड़ी 1 का अपेक्षित मान = 3x/8 + y(y-1) ~ -0.011333

इस समस्या के लिए जो शिपमैन को धन्यवाद।