WOO logo

विज़ार्ड अनुशंसा करता है

जादूगर से पूछो #287

पासों के n रोल तक याहत्ज़ी बनने की संभावना क्या है?

गुमनाम

अन्य पाठकों की जानकारी के लिए, याहत्ज़ी पाँच पासों वाला एक ही तरह का पाँच होता है। याहत्ज़ी के खेल में खिलाड़ी अपनी इच्छानुसार कोई भी पासा पकड़ सकता है और बाकी पासों को दोबारा घुमा सकता है। वह ऐसा तीन बार तक कर सकता है।

खिलाड़ी चाहे तो पहले से रखे हुए पासों को दोबारा भी फेंक सकता है। उदाहरण के लिए, अगर खिलाड़ी की पहली बारी 3-3-4-5-6 है और उसके पास तीन हैं और दूसरी बार फेंकने पर उसके पास 3-3-5-5-5 हैं, तो वह पाँचों को अपने पास रख सकता है और तीसरी बार फेंकने पर तीन को दोबारा फेंक सकता है।

निम्नलिखित तालिका 1 से 20 बार घुमाने पर एक ही फलक वाले पासों की अधिकतम संख्या दर्शाती है। तालिका दर्शाती है कि तीन बार घुमाने पर याहत्ज़ी आने की संभावना लगभग 4.6% है।

याहत्ज़ी संभावनाएँ

रोल्स एक ही फलक के अधिकतम पासे
एक दो तीन चार पाँच
1 0.092593 0.694444 0.192901 0.019290 0.000772
2 0.008573 0.450103 0.409022 0.119670 0.012631
3 0.000794 0.256011 0.452402 0.244765 0.046029
4 0.000074 0.142780 0.409140 0.347432 0.100575
5 0.000007 0.079373 0.337020 0.413093 0.170507
6 0.000001 0.044101 0.263441 0.443373 0.249085
7 0.000000 0.024501 0.199279 0.445718 0.330502
8 0.000000 0.013612 0.147462 0.428488 0.410438
9 0.000000 0.007562 0.107446 0.398981 0.486011
10 0.000000 0.004201 0.077416 0.362855 0.555528
11 0.000000 0.002334 0.055317 0.324175 0.618174
12 0.000000 0.001297 0.039279 0.285674 0.673750
13 0.000000 0.000720 0.027757 0.249063 0.722460
14 0.000000 0.000400 0.019543 0.215313 0.764744
15 0.000000 0.000222 0.013720 0.184883 0.801175
16 0.000000 0.000124 0.009610 0.157896 0.832371
17 0.000000 0.000069 0.006719 0.134258 0.858954
18 0.000000 0.000038 0.004692 0.113753 0.881517
19 0.000000 0.000021 0.003272 0.096100 0.900607
20 0.000000 0.000012 0.002280 0.080994 0.916714


यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

कैसीनो को लाभ दिखाने के प्रति आश्वस्त होने के लिए कैसीनो गेम में कितने हाथ खेले जाने चाहिए?

cwwbjr

यह स्वाभाविक रूप से खेल पर निर्भर करता है। हाउस एडवांटेज जितना ज़्यादा होगा और वैरिएंस जितना कम होगा, संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी। यह आत्मविश्वास के स्तर पर भी निर्भर करता है।

निम्नलिखित तालिका दर्शाती है कि कुछ सामान्य खेलों के लिए, कैसीनो को विभिन्न स्तरों पर, आत्मविश्वास से भरे रहने के लिए, समान दांव राशि मानते हुए, कितने दांव लगाने होंगे। उदाहरण के लिए, बैकारेट में बैंकर दांव पर शुद्ध लाभ दिखाने की 95% संभावना के लिए, कैसीनो को 20,791 हाथों का सौदा करना होगा।

विभिन्न विश्वास स्तरों पर शुद्ध लाभ के लिए हाथों की संख्या

खेल शर्त किनारा मानक विचलन। आत्मविश्वास स्तर
90% 95% 97.5% 99%
बैकारेट बैंकर 1.06% 0.93 12621 20791 29520 41588
बैकारेट खिलाड़ी 1.24% 0.95 9741 16046 22783 32097
बैकारेट बाँधना 14.36% 2.64 555 915 1299 1830
डांडा पट्टी नियम 0.28% 1.15 277046 456388 648001 912912
कैसीनो युद्ध 2.88% 2.24 9935 16367 23238 32739
क्रेप्स उत्तीर्ण 1.41% 1.00 8259 13606 19318 27216
क्रेप्स पास न करें 1.36% 0.99 8631 14219 20188 28442
पै गो 1.50% 0.75 4106 6764 9604 13530
पै गो पोकर 1.46% 0.75 4334 7140 10137 14281
तीन कार्ड पोकर पूर्व 3.37% 1.64 3890 6407 9098 12817
तीन कार्ड पोकर पेयरप्लस 7.28% 2.85 2517 4146 5887 8294
जैक्स या बेहतर 9/6 0.46% 4.42 1589830 2649876 3782305 5348060
जैक्स या बेहतर 9/5 1.55% 4.42 142476 243815 350929 500032
जैक्स या बेहतर 8/5 2.70% 4.4 48094 84383 123102 176586
जैक्स या बेहतर 7/5 3.85% 4.38 25100 43688 64109 92533
जैक्स या बेहतर 6/5 5.00% 4.36 13754 26569 39923 58235


यह जैक्स या बेटर को छोड़कर सभी मामलों में सामान्य वितरण पर आधारित है। यदि किसी एक परिणाम की अपेक्षित घटनाओं की संख्या पाँच या उससे कम है, तो यह अनुमान अविश्वसनीय हो जाता है। इसलिए, वीडियो पोकर के लिए, मैंने रॉयल्स के लिए पॉइसन वितरण और अन्यथा सामान्य अनुमान का उपयोग किया।

ब्लैकजैक के लिए नियम हैं: 6 डेक, डीलर सॉफ्ट 17 पर खड़ा होता है, विभाजन के बाद डबल की अनुमति, आत्मसमर्पण की अनुमति, इक्के को पुनः विभाजित करने की अनुमति।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।

वीडियो पोकर में कुल संयोजनों के रूप में 19,933,230,517,200 संख्या इतनी बार क्यों आती है?

rjs357

अन्य पाठकों के लाभ के लिए, यहां 9-6 जैक या बेहतर के लिए रिटर्न तालिका दी गई है।

"9-6" जैक्स या बेहतर

हाथ भुगतान करें युग्म संभावना वापस करना
रॉयल फ़्लश 800 493512264 0.00002476 0.01980661
स्ट्रेट फ्लश 50 2178883296 0.00010931 0.00546545
एक तरह के चार 25 47093167764 0.00236255 0.05906364
पूरा घर 9 229475482596 0.01151221 0.10360987
लालिमा 6 219554786160 0.01101451 0.06608707
सीधा 4 223837565784 0.01122937 0.04491747
तीन हास्य अभिनेता 3 1484003070324 0.07444870 0.22334610
दो जोड़ी 2 2576946164148 0.12927890 0.25855780
जैक्स या बेहतर 1 4277372890968 0.21458503 0.21458503
कुछ नहीं 0 10872274993896 0.54543467 0
कुल 19933230517200 1 0.99543904


52-कार्ड गेम के लिए मेरे ज़्यादातर वीडियो पोकर रिटर्न टेबल में संयोजनों की संख्या 19933230517200 के बराबर है। सवाल यह है कि क्यों?

सबसे पहले, 52 में से पांच कार्ड चुनने के लिए संयुक्त (52,5) = 2,598,960 तरीके हैं।

दूसरा, ड्रॉ में combin(47,5) = 1,533,939 तक संयोजन होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि खिलाड़ी कितने कार्ड त्यागता है। नीचे दी गई तालिका त्यागे गए कार्डों की संख्या के अनुसार दूसरे कॉलम में ड्रॉ संयोजनों की संख्या दर्शाती है।

संयोजन बनाएं

खारिज करना युग्म वज़न उत्पाद
0 1 7,669,695 7,669,695
1 47 163,185 7,669,695
2 1,081 7,095 7,669,695
3 16,215 473 7,669,695
4 178,365 43 7,669,695
5 1,533,939 5 7,669,695


दूसरे कॉलम में संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 7,669,695 है। इस संख्या को 5×combin(47,5) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। डील के प्रत्येक हाथ के लिए संयोजनों की कुल संख्या समान रखने के लिए, मैं ड्रॉ संयोजनों को इस प्रकार भारित करता हूँ कि ड्रॉ पर कुल संयोजन 7,669,695 हों।

तो, 19,933,230,517,200 = संयोजन (52,5) × संयोजन (47,5) × 5। मेरे कुछ 52-कार्ड वीडियो पोकर टेबल में संयोजनों की संख्या कम होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कभी-कभी अंतिम रिटर्न टेबल में प्रत्येक हाथ के लिए संयोजनों की कुल संख्या का महत्तम समापवर्तक एक से अधिक होता है। ऐसे में, मैं कभी-कभी प्रत्येक योग को महत्तम समापवर्तक से भाग देता हूँ। मेरा वीडियो पोकर विश्लेषक यह काम स्वचालित रूप से करता है।

यह प्रश्न मेरे विज़ार्ड ऑफ वेगास फोरम पर उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

दो खिलाड़ियों को (0,1) में से प्रत्येक को एक यादृच्छिक संख्या दी जाती है। पहला खिलाड़ी या तो स्थिर रहने का फैसला करता है या त्यागकर एक नई संख्या निकालता है। फिर दूसरा खिलाड़ी भी यही करता है। सबसे ज़्यादा संख्या जीतने वाला खिलाड़ी जीतता है। प्रत्येक खिलाड़ी के लिए इष्टतम रणनीति क्या है? इष्टतम रणनीति मानते हुए, प्रत्येक खिलाड़ी के जीतने की क्या संभावना है?

Joe Shipman से New Jersey

अच्छा सवाल! ये रहा मेरा जवाब और सरसरी तौर पर समाधान । मेरा समाधान PDF फॉर्मेट में भी देखें।

मैं एक भारतीय कसीनो में पाई गौ पोकर खेल रहा था और मुझे राजा और रानी का हाथ मिला और मैं मन ही मन अपनी जीत गिन रहा था। तभी डीलर ने TTTJK*A (*=वाइल्ड) को पलट दिया, जिसमें फ्लश की कोई संभावना नहीं थी। उसने अपना हाथ TTTKJ, A* पर सेट कर दिया। मैंने हाउस वे देखने के लिए कहा क्योंकि मुझे लगा कि TJ*KA, TT एक बेहतर दांव होगा और मुझे नतीजे में आर्थिक रूप से दिलचस्पी थी।

उन्होंने मुझे हाउस का तरीका बताया, लेकिन उसमें इस हैंड के बारे में कुछ खास नहीं बताया गया। आखिरकार उन्होंने मेरे पैसे ले लिए और मुझे मेरे दांव का दोगुना नॉन-नेगोशिएबल चिप्स दे दिए ताकि खेल जारी रहे, जो ठीक था। पिट में 4+ सूट्स के साथ हैंड सेट करने के तरीके पर एक चर्चा हुई और यह आधे घंटे से भी ज़्यादा समय तक चली। आखिरकार उन्होंने तय किया कि TTTJK/A* इसे सेट करने का सही तरीका है और हाउस का तरीका बदल दिया जाएगा।

मेरा प्रश्न यह है कि इस हाथ के लिए हाउस वे क्या है और आप इस तरह के भ्रमित हाथों के लिए हाउस वे की व्याख्या कैसे करते हैं?

bigfoot66

पै गो पोकर पहले दिन से ही एक ख़राब डिज़ाइन वाला खेल था और दशकों बाद भी किसी ने इसे सुधारने की ज़हमत नहीं उठाई। पै गो पोकर की कुछ खामियाँ इस प्रकार हैं:

  • एक अत्यधिक भ्रामक और जटिल घर तरीका.
  • हास्यास्पद नियम यह है कि A2345 सीधी रेखा दूसरी सबसे ऊंची है।
  • खिलाड़ी बैंकिंग और सह-बैंकिंग का विकल्प, जिसका उपयोग मेरे अलावा लगभग कोई भी नहीं करता।

जब मैंने कुछ समय के लिए एक बड़े स्ट्रिप कैसीनो में काम किया था, जिसका नाम मैं नहीं बताऊँगा, तो मैंने एक ऐसा हाउस वे बनाने का प्रस्ताव रखा जो छोटा, ज़्यादा शक्तिशाली और हर संभावित स्थिति को स्पष्ट रूप से कवर करता। सिर्फ़ पाई गो पोकर के लिए ही नहीं, बल्कि टाइल्स के लिए भी। बेशक, उस सुझाव को बिना किसी टिप्पणी के खारिज कर दिया गया।

अब जब मेरी शिकायत खत्म हो गई है, तो मैं आपके सवाल का जवाब देने की कोशिश करूँगा। हालाँकि एक हाउस वे से दूसरे हाउस वे में कुछ अंतर होते हैं, लेकिन वे सभी कमोबेश एक जैसे ही व्यवस्थित होते हैं। फॉक्सवुड्स हाउस वे विशिष्ट है। आपके हाथ को उदाहरण के तौर पर लेते हुए, यह स्पष्ट नहीं है कि इसे स्ट्रेट हैंड मानकर AKQJT/TT की तरह खेलें या फुल हाउस हैंड मानकर TTTJK/AA की तरह खेलें।

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा था, लेकिन आइए देखें कि घर के लिए गणितीय रूप से बेहतर खेल क्या होगा। मेरे पै गो पोकर परिशिष्ट 1 का उपयोग करके, यह मानते हुए कि डीलर बैंकिंग कर रहा है, हमें निम्नलिखित मिलता है:

तालिका शीर्षक विस्तृत करें

उच्च
हाथ		 कम
 सम्भवतः
उच्च
जीत		 सम्भवतः
कम
जीत		 सम्भवतः
जाल
जीतना		 सम्भवतः
जाल
धकेलना		 सम्भवतः
जाल
नुकसान		 अपेक्षित
कीमत
एक्यूकेजेटी टीटी 0.966111 0.952117 0.966111 0.032266 0.001623 0.964569
टीटीटीकेजे आ 0.874877 1.000000 0.874877 0.125123 0.000000 0.874877


स्ट्रेट के रूप में खेलकर डीलर 96.46% धनराशि जीतने की उम्मीद कर सकता है, जबकि फुल हाउस में 87.49% जीतने की उम्मीद होती है। इसलिए, स्ट्रेट नियम से खेलना काफी बेहतर है।

व्यक्तिगत रूप से, मैं पै गो पोकर को जिस तरह से कोड करता हूँ, वह है सबसे ऊँची रैंक वाले हाथ (पाँच इक्के) से शुरुआत करना और फिर if/else if/else if/else if/end लूप में पेज पर ऊपर की ओर बढ़ना। दूसरे शब्दों में, मैं हाथ को सबसे ज़्यादा संभव पाँच पत्तों वाले हाथ के अनुसार वर्गीकृत करता हूँ और फिर उन नियमों का पालन करता हूँ।

मुझे लगता है कि हाउस वे की व्याख्या इसी तरह की जानी चाहिए। इसके प्रमाण के लिए, कैंटरबरी पार्क हाउस वे पर विचार करें। खासकर फ्लश हैंड के नियम, जो इस प्रकार हैं।

 छह और सात कार्ड फ्लश में लो हैंड में संभवत: सबसे अधिक दो कार्ड खेले जाते हैं।
 (अपवाद: यदि दो जोड़ी फ्लश के साथ हैं, तो दो जोड़ी नियम लागू होगा।)


अन्य सभी हाउस तरीकों की तरह, सबसे कम कीमत वाले हाथों को पहले सूचीबद्ध किया जाता है। अगर हाथ को पहले मिले नियमों के अनुसार खेला जाना था, तो वे वैसे भी दो जोड़ी नियम का पालन करते। दो जोड़ी नियम का पालन करने के लिए स्पष्ट रूप से कोई अपवाद बनाने का कोई कारण नहीं होगा, क्योंकि यह फ्लश नियम से पहले सूचीबद्ध किया गया था।

व्यावहारिक रूप से, मैंने दो डीलरों से पूछा कि वे इस हाथ को कैसे संभालेंगे। दोनों ने लगभग यही कहा कि लिखित हाउस तरीका सिर्फ़ एक दिशानिर्देश है और अगर कोई उलझन भरा हाथ हो, तो लोगों से पूछें कि क्या करना है, और फिर बिना कारण पूछे जैसा कहा जाए वैसा ही करें। एक डीलर ने कहा कि एक अलिखित नीति यह है कि उस नियम का पालन करें जो उस स्थिति के लिए सबसे उपयुक्त लगे। फॉक्सवुड्स के मामले में, एक तरह के तीन वाले सीधे हाथों के लिए एक नियम है। चूँकि यह उस हाथ का सबसे सटीक वर्णन करता है, इसलिए इस नियम का पालन करें, भले ही फुल हाउस नियम भी इसी पर लागू होता हो।

संक्षेप में कहें तो, मैंने अब तक किसी भी कैसीनो हाउस का तरीका नहीं देखा है, चाहे वह पै गो पोकर हो या पै गो टाइल्स, जो हर संभव हाथ को खेलने का तरीका स्पष्ट रूप से बताता हो। ये नियम विरोधाभासी नियमों से भरे हुए हैं। जब तक कोई इसके बारे में कुछ करने की परवाह नहीं करता, आपको उस व्यक्ति की व्याख्या के अनुसार ही चलना होगा जो खेल रहा है। मेरे अनुभव में, ऐसे भ्रामक मामलों में आमतौर पर खिलाड़ी के खिलाफ फैसला सुनाया जाता है।

मुझे आशा है कि किसी दिन कोई खिलाड़ी इससे तंग आ जाएगा और अगली बार जब कोई अस्पष्ट हाथ डीलर के पक्ष में सेट किया जाएगा तो वह उचित गेमिंग प्राधिकरण से शिकायत करेगा।

यह प्रश्न विज़ार्ड ऑफ़ वेगास में मेरे मंच पर उठाया गया है और इस पर चर्चा की गई है।