जादूगर से पूछो #278

4 से 6 अंक के लिए: ((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

8 से 10 अंक के लिए: ((p-7)/(19-p))*(1/(1+o))

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

ऐतिहासिक अनुभव के आधार पर, प्रति खेल कम से कम एक सुरक्षा की संभावना 5.77% है।

प्रति गेम अपेक्षित सेफ्टी की संख्या -ln(1-0.0577) = 0.0594 होगी।

प्रति टीम प्रति तिमाही अपेक्षित संख्या 0.0594/8 = 0.0074 होगी।

एक ही क्वार्टर में एक ही टीम द्वारा ठीक दो सेफ्टी की संभावना e ^-0.0074 ×0.0074 ² /fact(2) = 36,505 में 1 होगी।

एक एनएफएल सीज़न में 267 खेल होते हैं, और 267×8=2,136 टीम क्वार्टर होते हैं। तो, मेरे अनुमान के अनुसार, यह औसतन हर 36,505/2,136 = 17.1 वर्षों में एक बार होगा।

इसे सिर्फ़ एक मोटा अनुमान ही माना जाना चाहिए। खेल में कुछ ऐसे कारक भी हैं जिन पर मैं सरलता के लिए ध्यान नहीं दे रहा हूँ।

इसे वैध रोल कहा जाए या नहीं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप कहाँ हैं। न्यू जर्सी गेमिंग विनियमन 19:47-1.9(a) में कहा गया है:

जब भी कोई एक या दोनों पासे मेज से बाहर चले जाएं या जब भी एक पासा दूसरे के ऊपर आ जाए तो पासे का फेंकना अमान्य हो जाएगा। -- NJ 19:47-1.9(a)

पेंसिल्वेनिया में भी ठीक यही विनियमन है, धारा 537.9(ए) :

जब भी कोई एक या दोनों पासे टेबल से बाहर चले जाएं या जब भी एक पासा दूसरे के ऊपर आ जाए तो पासे का फेंकना अमान्य हो जाएगा। - पीए 537.9(ए)

मैंने लास वेगास के एक पासा विक्रेता से पूछा, तो उसने बताया कि अगर यह सही थ्रो होता, तो इसे यहाँ वैध रोल कहा जाता। हालाँकि उसने ऐसा होते कभी नहीं देखा, लेकिन उसने बताया कि अगर ऐसा होता, तो डीलर बस ऊपर वाले पासे को हिलाकर देखते कि नीचे वाला पासा किस नंबर पर आता है। हालाँकि, ऊपर वाले पासे को छुए या देखे बिना भी नीचे वाले पासे का परिणाम पता किया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, यह यहाँ बताया गया है। सबसे पहले, चारों तरफ़ देखकर आप ऊपर की संभावनाओं को दो तक सीमित कर सकते हैं। तीन संभावनाओं के आधार पर कैसे पता लगाया जाए, यह यहाँ बताया गया है।

• 1 या 6: 3 को देखें। अगर सबसे ऊँचा बिंदु 5 के किनारे पर है, तो 1 सबसे ऊपर है। अगर वह 2 के किनारे पर है, तो 6 सबसे ऊपर है।
• 2 या 5: 3 को देखें। अगर सबसे ऊँचा बिंदु 6 के किनारे पर है, तो 2 सबसे ऊपर है। अगर वह 1 के किनारे पर है, तो 5 सबसे ऊपर है।
• 3 या 4: 2 को देखें। अगर सबसे ऊँचा बिंदु 6 के किनारे पर है, तो 3 सबसे ऊपर है। अगर वह 1 के किनारे पर है, तो 4 सबसे ऊपर है।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

यह प्रश्न TwoPlusTwo.com पर पूछा गया था और BruceZ ने इसका सही उत्तर दिया था। निम्नलिखित समाधान BruceZ के समाधान जैसा ही है, जो इसके लिए पूरी तरह से श्रेय के पात्र हैं। यह एक कठिन उत्तर है, इसलिए ध्यान दें।

1. सबसे पहले, कुल दो प्राप्त करने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या पर विचार करें। दो की संभावना 1/36 है, इसलिए पहले 2 प्राप्त करने के लिए औसतन 36 रोल लगेंगे।

2. इसके बाद, दो और तीन दोनों प्राप्त करने के लिए पासों की अपेक्षित संख्या पर विचार करें। हम पहले से ही जानते हैं कि दो प्राप्त करने के लिए औसतन 36 पासे फेंकने होंगे। यदि दो का इंतज़ार करते हुए तीन प्राप्त हो जाता है, तो 3 के लिए अतिरिक्त पासों की आवश्यकता नहीं होगी। हालाँकि, यदि ऐसा नहीं होता है, तो तीन प्राप्त करने के लिए पासों को और अधिक बार फेंकना होगा।

   तीन आने की प्रायिकता 1/18 है, इसलिए अगर दो पहले आए तो तीन आने के लिए औसतन 18 अतिरिक्त रोल लगेंगे। यह देखते हुए कि दो आने का एक तरीका है और तीन आने के दो तरीके हैं, दो आने की प्रायिकता 1/(1+2) = 1/3 है।

   तो, 1/3 संभावना है कि हमें तीन पाने के लिए अतिरिक्त 18 रोल की ज़रूरत पड़ेगी। इस प्रकार, दो और तीन दोनों पाने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या 36+(1/3)×18 = 42 है।

3. इसके बाद, विचार करें कि चार आने के लिए आपको कितनी बार और पासे फेंकने होंगे। जब तक आप दो और तीन फेंकते हैं, अगर आपको चार नहीं मिला है, तो आपको एक आने के लिए औसतन 12 बार और पासे फेंकने होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि चार आने की संभावना 1/12 है।

   दो और तीन प्राप्त करने से पहले चार प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? सबसे पहले, आइए प्रायिकता के एक सामान्य नियम की समीक्षा करें जब A और B परस्पर अनन्य न हों:

   पीआर(ए या बी) = पीआर(ए) + पीआर(बी) - पीआर(ए और बी)

   आप pr(A और B) घटाते हैं क्योंकि वह आकस्मिकता pr(A) + pr(B) में दोगुनी गिनी जाती है। इसलिए,

   pr(2 या 3 से पहले 4) = pr(2 से पहले 4) + pr(3 से पहले 4) - pr(2 और 3 से पहले 4) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85.

   दो और तीन तक पहुँचने के दौरान चार न आने की संभावना 1.0 - 0.85 = 0.15 है। इसलिए, अतिरिक्त 12 रोल की आवश्यकता पड़ने की संभावना 15% है। इस प्रकार, दो, तीन और चार आने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या 42 + 0.15*12 = 43.8 है।

4. इसके बाद, विचार करें कि पाँच आने के लिए आपको कितनी बार और पासे फेंकने होंगे। जब तक आप दो से चार तक पासे फेंकते हैं, अगर आपको अभी तक पाँच नहीं मिला है, तो आपको एक पासा पाने के लिए औसतन 9 बार और पासे फेंकने होंगे, क्योंकि पाँच आने की संभावना 4/36 = 1/9 है।

   दो, तीन या चार तक पहुँचने से पहले पाँच आने की संभावना क्या है? सामान्य नियम यह है:

   pr (A या B या C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A और B) - pr(A और C) - pr(B और C) + pr(A और B और C)

   तो, pr(2 या 3 या 4 से पहले 5) = pr(2 से पहले 5)+pr(3 से पहले 5)+pr(4 से पहले 5)-pr(2 और 3 से पहले 5)-pr(2 और 4 से पहले 5)-pr(3 और 4 से पहले 5)+pr(2, 3 और 4 से पहले 5) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90। दो से चार तक पहुँचने के दौरान चार न आने की प्रायिकता 1 - 83/90 = 7/90 है। इसलिए, अतिरिक्त 7.2 रोल की आवश्यकता होने की 7.78% संभावना है। इस प्रकार, दो, तीन, चार और पाँच पाने के लिए रोल की अपेक्षित संख्या 43.8 + (7/90)*9 = 44.5 है।

5. छह से बारह तक के योग के लिए इसी तर्क का पालन करें। अगली संख्या आने से पहले उसकी प्रायिकता ज्ञात करने के लिए आवश्यक गणनाओं की संख्या, क्योंकि पिछली संख्या हर बार लगभग दोगुनी हो जाती है। बारह तक पहुँचने तक, आपको 1,023 गणनाएँ करनी होंगी।

   यहाँ pr(A या B या C या ... या Z) के लिए सामान्य नियम दिया गया है

   pr(A या B या C या ... या Z) =
   पीआर(ए) + पीआर(बी) + ... + पीआर(जेड)
   - pr (A और B) - pr(A और C) - ... - pr(Y और Z) दो घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की संभावना घटाएँ
   + pr (A और B और C) + pr(A और B और D) + ... + pr(X और Y और Z) तीन घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की संभावना जोड़ें
   - pr (A और B और C और D) - pr(A और B और C और E) - ... - pr(W और X और Y और Z) चार घटनाओं के प्रत्येक संयोजन की संभावना घटाएँ

   फिर दोहराते रहें, याद रखें कि विषम संख्या वाली घटनाओं के लिए प्रायिकताएँ जोड़ें और सम संख्या वाली घटनाओं के लिए प्रायिकताएँ घटाएँ। संभावित घटनाओं की बड़ी संख्या के लिए यह स्पष्ट रूप से थकाऊ हो जाता है, जिसके लिए व्यावहारिक रूप से स्प्रेडशीट या कंप्यूटर प्रोग्राम की आवश्यकता होती है।

निम्न तालिका रास्ते में प्रत्येक चरण के लिए अपेक्षित संख्या दर्शाती है। उदाहरण के लिए, दो प्राप्त करने के लिए 36, दो और तीन प्राप्त करने के लिए 42। निचले दाएँ कक्ष में सभी 11 योग प्राप्त करने के लिए अपेक्षित रोल की संख्या 61.217385 दर्शाई गई है।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।