जादूगर से पूछो #277

सबसे पहले, यह दोहराना ज़रूरी है कि 16 बनाम 10, हिट और स्टैंड के बीच एक बेहद सीमा रेखा वाला हाथ है। अगर आपको सरेंडर करने की अनुमति है, तो यह बुनियादी रणनीति वाले खिलाड़ी के लिए हिट या स्टैंड से कहीं बेहतर है। अन्यथा, औसतन हिट करना थोड़ा बेहतर है। आठ-डेक के जूते से सिर्फ़ एक छोटा पत्ता निकालने से ही स्टैंड के पक्ष में संभावनाएँ बदल जाएँगी, क्योंकि एक छोटा पत्ता कम होने पर ज़्यादा बड़े पत्ते बच जाते हैं, जिससे हिट करना ज़्यादा खतरनाक हो जाता है। इसीलिए मैं कहता हूँ कि अगर आपके 16 में तीन या उससे ज़्यादा पत्ते हैं, तो आपको स्टैंड कर लेना चाहिए, क्योंकि 3-कार्ड वाले 16 में आमतौर पर जूते से कम से कम दो छोटे पत्ते निकल जाते हैं।

दूसरा, शफल के बाद पहले हाथ में, अगर मूल रणनीति और कार्ड गिनने की रणनीति में हाथ खेलने के तरीके को लेकर मतभेद हैं, तो मूल रणनीति ही मान्य होती है। मूल रणनीति को ध्यान से इस तरह बनाया गया है कि देखे गए विशिष्ट कार्डों के आधार पर डेक की सटीक संरचना पर विचार किया जा सके। सूचकांक मानों की तालिका एक अधिक स्पष्ट उपकरण है जो पूरे शू में लागू होता है।

इस विशेष मामले में, कार्ड काउंटर या तो हिट कर सकता है या खड़ा रह सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह सही गिनती को कैसे पूर्णांकित करता है। यदि वह नीचे की ओर पूर्णांकित करता है, तो सही गिनती -1 होगी, जिससे वह हिट करेगा। यदि वह ऊपर की ओर, या निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करता है, तो सही गिनती 0 होगी, जिससे वह खड़ा रहेगा। जहाँ तक मैं इस बात का ज़िक्र कर रहा हूँ, डॉन श्लेसिंगर द्वारा रचित ब्लैकजैक अटैक के अनुसार, पूर्णांकन के लिए पसंदीदा पद्धति "फ़्लोरिंग" या नीचे की ओर पूर्णांकन है, इस मामले में -1 तक, जिससे खिलाड़ी सही ढंग से हिट करता है।

एक और समान स्थिति 15 बनाम 10 की है। 83% मामलों में (10+5 या 8+7 के साथ, लेकिन 9+6 के साथ नहीं), इसका परिणाम यह होता है कि फेरबदल के बाद पहले हाथ में -1 की चलती गिनती होती है, और आत्मसमर्पण करने के लिए सूचकांक संख्या 0 होती है। नीचे की ओर पूर्णांकित करने से खिलाड़ी गलत हिट कर सकता है, जबकि आत्मसमर्पण करना बेहतर होता है।

सार यह है कि कार्डों को फेरबदल करने के बाद, जब दूसरे खिलाड़ियों के पास कोई और कार्ड न हो, तो पहले निर्णय के लिए कार्ड काउंटर को बुनियादी रणनीति अपनानी चाहिए। उसके बाद, इंडेक्स नंबरों का इस्तेमाल फिर से शुरू करें।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

मुझे नहीं पता। मुझे लगता है कि मैं सही कह सकता हूँ कि आज खेले जाने वाले किसी भी खेल के लिए सबसे पहला कैसीनो गेम पेटेंट कैरेबियन स्टड पोकर के लिए है। इससे पहले शायद ऐसे खेलों के लिए भी पेटेंट थे जो सफल नहीं हुए। कैरेबियन स्टड पेटेंट 18 अप्रैल, 1988 को दायर किया गया था और 6 जून, 1989 को जारी किया गया था। पेटेंट संख्या 4,836,553 ।

ऐसा नहीं है कि आपने पूछा था, लेकिन उस समय कैसीनो गेम के पेटेंट जारी होने की तारीख से 17 साल या आवेदन दाखिल करने की तारीख से 20 साल, जो भी ज़्यादा हो, के लिए वैध होते थे। 1995 में इस अवधि को आवेदन दाखिल करने की तारीख से 20 साल तक बढ़ा दिया गया था। कैरेबियन स्टड के मामले में, पेटेंट 2008 में समाप्त हो जाता। हालाँकि, मुझे लगता है कि इसके अभी भी वैध ट्रेडमार्क हैं, यानी कोई कैसीनो बिना रॉयल्टी दिए गेम पेश कर सकता है, लेकिन उसे किसी ऐसे नाम के बारे में सोचना होगा जो ट्रेडमार्क से मुक्त हो।

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हाँ! फ़्लिपर के हाथ में जो पक्ष ऊपर की ओर हो, उस पर दांव लगाएँ। पर्सी डायकोनिस, सुसान होम्स और रिचर्ड मोंटगोमरी द्वारा लिखित अकादमिक शोधपत्र "डायनेमिक बायस इन द कॉइन टॉस" का निष्कर्ष है कि 51% बार सिक्का उसी ओर गिरेगा जिस ओर से वह शुरू हुआ था।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

इस तरह के स्ट्रीक प्रश्नों के लगभग सटीक उत्तर के लिए हमें मैट्रिक्स बीजगणित का उपयोग करना होगा। मैंने 4 जून, 2010 के अपने कॉलम में एक ऐसे ही, लेकिन आसान प्रश्न का उत्तर दिया था। अगर आपका मैट्रिक्स बीजगणित थोड़ा खराब है, तो मैं पहले उसे देखूँगा।

चरण 1: पहले 5,000 हाथों में 0 से 6+ रॉयल्स की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। मान लीजिए कि रॉयल की प्रायिकता 40,000 में 1 है। 5,000 हाथों में अपेक्षित संख्या 5,000/40,000 = 0.125 है। पॉइसन अनुमान का उपयोग करते हुए, ठीक r रॉयल्स की प्रायिकता e ^-0.125 × 0.125 ^r /r! है। ये प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:

चरण 2: मान लीजिए कि शेष 24,995,000 हाथों के लिए सात अवस्थाएँ हैं। प्रत्येक के लिए, पिछले 5,000 हाथों में 0, 1, 2, 3, 4, या 5 रॉयल्स हो सकते हैं, या खिलाड़ी 5,000 हाथों में पहले ही छह रॉयल्स प्राप्त कर चुका हो, ऐसी स्थिति में सफलता प्राप्त हो जाती है, और उसे वापस नहीं लिया जा सकता। प्रत्येक नए हाथ के साथ, खिलाड़ी की अवस्था में तीन में से एक परिवर्तन हो सकता है:

1. एक स्तर नीचे जाएँ: ऐसा तब होता है जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ रॉयल था, और अब वह गिर रहा है, और नया हाथ रॉयल नहीं था।
2. उसी स्तर पर बने रहें। ऐसा आमतौर पर तब होता है जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ रॉयल नहीं था, और नया हाथ भी रॉयल नहीं है। ऐसा तब भी हो सकता है जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ रॉयल था, लेकिन नया हाथ भी रॉयल है।
3. एक स्तर ऊपर जाएँ। ऐसा तब होगा जब 5,000 गेम पहले खेला गया हाथ शाही नहीं था, और नया हाथ शाही है।

चरण 3: खेले गए अतिरिक्त खेल के लिए राज्य के प्रत्येक परिवर्तन की बाधाओं के लिए संक्रमण मैट्रिक्स विकसित करें।

नया हाथ खेले जाने से पहले पहली पंक्ति लेवल 0 के अनुरूप होगी। अगले हाथ में लेवल 1 तक पहुँचने की संभावना 40,000 में से केवल 1 है। लेवल 0 पर बने रहने की संभावना 39,999/40,000 है।

दूसरी पंक्ति नए हाथ के खेले जाने से पहले लेवल 1 के अनुरूप होगी। अगले हाथ में लेवल 2 पर पहुँचने की संभावना, हाथ के छूटने पर रॉयल न हारने और नए हाथ पर रॉयल मिलने की संभावना का गुणनफल है = (4999/5000) × (1/40000) = 0.0000250। लेवल 0 पर वापस जाने की संभावना, मौजूदा खेल में रॉयल छूटने और रॉयल न मिलने की संभावना का गुणनफल है = (1/5000) × (39999/40000) = 0.0002000। समान रहने की संभावना है pr(कोई रॉयल ड्रॉपिंग नहीं) × pr(कोई नया रॉयल नहीं) + pr(रॉयल ड्रॉपिंग) × pr(नया रॉयल) = (4999/5000)×(39999/40000) + (1/5000)×(1/40000) = 0.9997750.

पंक्ति 2 से 6 की प्रायिकताएँ इस बात पर निर्भर करेंगी कि पिछले 5,000 हाथों के इतिहास में कितने रॉयल मौजूद हैं। जितने ज़्यादा होंगे, नए हाथ के आने पर एक रॉयल के छूटने की संभावना उतनी ही ज़्यादा होगी। मान लीजिए कि r पिछले 5,000 हाथों में रॉयल की संख्या है और p एक नया रॉयल मिलने की प्रायिकता है।

Pr(एक स्तर को बढ़ावा देना) = Pr(कोई रॉयल नहीं छोड़ना) × Pr(नया रॉयल) = (1-(r/5000))× p.

Pr(समान स्तर पर बने रहें) = Pr(कोई रॉयल ड्रॉपिंग नहीं) × Pr(कोई नया रॉयल नहीं) + Pr(रॉयल ड्रॉपिंग) × Pr(नया रॉयल) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(एक स्तर घटाएँ) = Pr(शाही हटाना) × Pr(कोई नया शाही नहीं) = (r/5000)× (1-p).

पंक्ति 7, 5,000 हाथों में छह रॉयल्स प्राप्त करने की सफलता की स्थिति को दर्शाती है। एक बार जब आप यह उपलब्धि हासिल कर लेते हैं, तो इसे कभी नहीं छीना जा सकता, इसलिए सफलता की उस स्थिति में बने रहने की संभावना 100% है।

संक्रमण मैट्रिक्स की पंक्तियाँ नए हाथ से पहले के स्तरों के अनुरूप होंगी, जो ऊपरी पंक्ति में स्तर 0 से शुरू होती हैं। स्तंभ नए हाथ के बाद के स्तरों के अनुरूप होंगे, जो बाएँ स्तंभ में स्तर 0 से शुरू होते हैं। मैट्रिक्स में संख्याओं का समूह एक खेल में प्रत्येक पुरानी अवस्था से प्रत्येक नई अवस्था में जाने की संभावनाओं के अनुरूप होगा। आइए इसे T1 = कहते हैं।

यदि हम इस संक्रमण आव्यूह को स्वयं से गुणा करें, तो हमें दो क्रमागत खेलों में अवस्था के प्रत्येक परिवर्तन की प्रायिकताएँ प्राप्त होंगी। आइए इसे दो खेलों में संक्रमण आव्यूह के लिए T2 कहें:

वैसे, एक्सेल में समान आकार के दो मैट्रिसेस को गुणा करने के लिए, पहले उस क्षेत्र का चयन करें जहाँ आप नया मैट्रिक्स रखना चाहते हैं। फिर इस सूत्र का उपयोग करें =MMULT(मैट्रिक्स 1 की श्रेणी, मैट्रिक्स 2 की श्रेणी)। फिर ctrl-shift-enter दबाएँ।

यदि हम T2 को स्वयं से गुणा करें तो हमें चार क्रमागत खेलों में प्रत्येक अवस्था परिवर्तन की प्रायिकताएँ, या T4 प्राप्त होती हैं:

अतः इस दोहरीकरण प्रक्रिया को 24 बार दोहराते रहें जब तक कि हम T-16,777,216 तक न पहुंच जाएं:

अगर हम इसे फिर से दोगुना कर दें, तो हम अपने लक्ष्य T-24,995,500 से आगे निकल जाएँगे। इसलिए अब हमें छोटे संक्रमण आव्यूहों से सावधानीपूर्वक गुणा करना होगा, जिनकी गणना हम पहले ही कर चुके होंगे। आप दो की घातों का उपयोग करके किसी भी संख्या पर पहुँच सकते हैं (द्विआधारी अंकगणित का आनंद!)। इस स्थिति में T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2 ²² × T-2 ²¹ × T-2 ²⁰ × T-2 ¹⁹ × T-2 ¹⁸ × T-2 ¹⁶ × T-2 ¹⁴ × T-2 ¹³ × T-2 ¹⁰ × T-2 ⁷ × T-2 ⁵ × T-2 ⁴ × T-2 ³ =

सच कहूँ तो, सरलता और समय की बचत के लिए, आपको उन आखिरी चार गुणाओं की चिंता करने की ज़रूरत नहीं है। ये केवल आखिरी 56 हाथों के लिए हैं, और इस बात की संभावना नगण्य है कि ये 56 हाथ अंतिम परिणाम में कोई फ़र्क़ डालेंगे। मुझे यकीन है कि मेरे कई पूर्णतावादी पाठक, अगर कर पाते तो, मुझे इस बात के लिए फटकार लगाते।

चरण 4: 5,000 हाथों के बाद प्रारंभिक अवस्था को T-24,995,500 से गुणा करें। मान लीजिए कि चरण 1 से S-0, इस प्रकार है:

तो S-0 × T-24,995,500 =

नीचे वाले खाने में दी गई संख्या 25,000,000 हाथों में से कम से कम एक बार 5,000 हाथों में से छह रॉयल्स हासिल करने की संभावना दर्शाती है। यानी 7,336 में से 1 मौका।

इस प्रश्न पर सहायता के लिए मैं क्रिस्टलमैथ को धन्यवाद देता हूं।