जादूगर से पूछो #258

क्या आपको लगता है कि लॉटरी टिकटों के अपेक्षित मूल्य की गणना में जैकपॉट के बंटवारे की संभावना को भी शामिल किया जाना चाहिए? अगर हाँ, तो वह संभावना क्या है?

rdw4potus

मुझे सचमुच लगता है कि लॉटरी टिकट खरीदने के फ़ैसले में इस पहलू पर विचार किया जाना चाहिए, हालाँकि यह कुछ हद तक मामूली ही है। आपके सवाल का जवाब देने के लिए, मैंने lottoreport.com पर उपलब्ध जैकपॉट राशि और बिक्री के आँकड़ों का इस्तेमाल किया। मैंने जनवरी 2008 से पावरबॉल को देखा, क्योंकि उस वेबसाइट पर इतने ही पुराने आँकड़े उपलब्ध हैं। मैंने जून 2005 से मेगा मिलियंस को भी देखा, जब नियमों में बदलाव हुआ था। नीचे दी गई तालिका मेरे परिणामों का सारांश प्रस्तुत करती है।

पावरबॉल और मेगा मिलियंस में जैकपॉट बाँटें

वस्तु	पावरबॉल	मेगा मिलियन्स
जैकपॉट जीतने की संभावना	195,249,054 में 1	175,711,536 में 1
औसत जैकपॉट की पेशकश	$73,569,853	$65,792,976
प्रति ड्रॉ औसत बिक्री	$23,051,548	$25,933,833
प्रति ड्रॉ औसत अपेक्षित विजेता	0.118	0.148
प्रति ड्रॉ विभाजित जैकपॉट की औसत संभावना	0.74%	1.29%
साझा जैकपॉट के कारण प्रतिफल में हानि (असमायोजित)	4.01%	6.59%
साझा जैकपॉट के कारण प्रतिफल में हानि (समायोजित)	1.41%	2.31%

तो पावरबॉल में जैकपॉट के बंटवारे की औसत संभावना 0.74% और मेगा मिलियंस में 1.29% है। जैसे-जैसे जैकपॉट बढ़ता है और बिक्री बढ़ती है, जैकपॉट के बंटवारे की संभावना भी बढ़ती है। मेगा मिलियंस में जैकपॉट के बंटवारे की संभावना इसलिए ज़्यादा होती है क्योंकि जीतने की संभावना ज़्यादा होती है और दूसरे खिलाड़ियों से प्रतिस्पर्धा भी ज़्यादा होती है।

कुल मिलाकर, मैंने दिखाया है कि पावरबॉल में जैकपॉट शेयरिंग के कारण 4.01% और मेगा मिलियंस में 6.59% का नुकसान होता है। हालाँकि, इन आँकड़ों में टैक्स शामिल नहीं है, या जैकपॉट का भुगतान वार्षिकी के रूप में किया जाता है। इसे समायोजित करने के लिए, मैंने मान लिया है कि खिलाड़ी को इसका केवल आधा हिस्सा ही मिलेगा, या तो एकमुश्त विकल्प चुनकर या वार्षिकी चुनने से मूल्य में होने वाली हानि से। मैंने यह भी मान लिया है कि शेष राशि का 30% टैक्स में जाता है, इसलिए विजेता दोनों कारकों के बाद 35% प्राप्त करने की उम्मीद कर सकता है। इस समायोजन के बाद, मैंने पावरबॉल में जैकपॉट शेयरिंग के कारण 1.20% और मेगा मिलियंस में 1.98% का नुकसान दिखाया है।

यह प्रश्न मेरी सहयोगी साइट विज़ार्ड ऑफ़ वेगास के फोरम में उठाया गया और इस पर चर्चा की गई।

पै गो पोकर में आगे, पीछे और एक ही समय में दोनों तरफ टाई हाथ की संभावना क्या है?

Cary L.

7.7 अरब हाथों के सिमुलेशन के आधार पर, यह मानते हुए कि खिलाड़ी हाउस वे का पालन करता है, आगे (कम) हाथ में बराबरी की संभावना 2.55%, या 39.24 में से 1 है। पीछे (उच्च) हाथ में बराबरी की संभावना 0.038%, या 2,637 में से 1 है। डबल टाई की संभावना लगभग 78,200 में से 1 है।

72 का नियम कहता है कि आप वार्षिक रिटर्न दर को 72 से भाग दें, और इससे आपको अपने पैसे को दोगुना होने में लगने वाले वर्षों की संख्या पता चल जाएगी। उदाहरण के लिए, एक निवेश जो सालाना 10% रिटर्न देता है, उसका मूल्य दोगुना होने में 72/10 = 7.2 वर्ष लगेंगे। मेरा थोड़ा बेकार सा सवाल है, 72 क्यों?

mkl654321

सबसे पहले, "72 का नियम" आपके पैसे को दोगुना करने में लगने वाले समय का एक अनुमान है, न कि कोई सटीक उत्तर। नीचे दी गई तालिका विभिन्न वार्षिक ब्याज दरों के लिए "72 के नियम" के मान और वर्षों की सटीक संख्या दर्शाती है।

72 का नियम - पैसा दोगुना करने में लगने वाले वर्ष

ब्याज दर	72 का नियम	एकदम सही	अंतर
0.01	72.00	69.66	2.34
0.02	36.00	35.00	1.00
0.03	24.00	23.45	0.55
0.04	18.00	17.67	0.33
0.05	14.40	14.21	0.19
0.06	12.00	11.90	0.10
0.07	10.29	10.24	0.04
0.08	9.00	9.01	-0.01
0.09	8.00	8.04	-0.04
0.10	7.20	7.27	-0.07
0.11	6.55	6.64	-0.10
0.12	6.00	6.12	-0.12
0.13	5.54	5.67	-0.13
0.14	5.14	5.29	-0.15
0.15	4.80	4.96	-0.16
0.16	4.50	4.67	-0.17
0.17	4.24	4.41	-0.18
0.18	4.00	4.19	-0.19
0.19	3.79	3.98	-0.20
0.20	3.60	3.80	-0.20

72 क्यों? यह बिल्कुल 72 होना ज़रूरी नहीं है। यह बस वह संख्या है जो किसी निवेश पर मिलने वाली वास्तविक ब्याज दरों के लिए उपयुक्त है। यह लगभग 7.8469% की ब्याज दर के लिए सटीक है। 72 में कुछ खास नहीं है, जैसे π या e में है। कोई भी संख्या क्यों काम करती है? अगर ब्याज दर i है, तो आइए निवेश को दोगुना करने में लगने वाले वर्षों (y) की संख्या ज्ञात करें।

2 = (1+i) ^y
ln(2)= ln(1+i) ^y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)

यह शायद मेरा अब तक का सबसे अच्छा उत्तर नहीं है, लेकिन इस तर्क का पालन करने का प्रयास करें: मान लें y=ln(x).
dy/dx=1/x.
1/x =~ x, x के मान 1 के करीब होने पर।
अतः dy/dx = ~ 1, x के मान 1 के करीब होने पर।
अतः x के मान 1 के निकट होने पर ln(x) का ढलान 1 के निकट होगा।
अतः x के मान 0 के निकट होने पर ln(1+x) का ढलान 1 के निकट होगा।
"72 का नियम" कह रहा है कि .72/i =~ .6931/ln(1+i).
हमने यह स्थापित किया है कि i और ln(1+i) 0 के निकट i के मानों के लिए समान हैं।
अतः 0 के निकट i के मानों के लिए 1/i और 1/ln(1+i) समान हैं।
69.31 के स्थान पर 72 का उपयोग करने से i और ln(1+i) के बीच अंतर के लिए i के मान लगभग 8% समायोजित हो जाते हैं।

मुझे उम्मीद है कि आपको कुछ समझ में आया होगा। मेरी गणना थोड़ी ज़ंग खा गई है; मुझे खुद को यह समझाने में घंटों लग गए।

एक आदमी को पैसों से भरे दो लिफाफे दिए जाते हैं। एक लिफाफे में दूसरे लिफाफे से दोगुनी रकम है। जब वह अपना लिफाफा चुन लेता है, उसे खोलकर गिन लेता है, तो उसे दूसरा लिफाफा बदलने का विकल्प दिया जाता है। सवाल यह है कि क्या लिफाफा बदलने से उस आदमी को कोई फायदा होगा?

ऐसा प्रतीत होता है कि लिफ़ाफ़े में बदलाव करने से, अगर शुरुआती लिफ़ाफ़े में कम राशि हो, तो उस व्यक्ति के पैसे दोगुने होने की संभावना 50% होगी और अगर शुरुआती लिफ़ाफ़े में ज़्यादा राशि हो, तो पैसे आधे होने की संभावना 50% होगी। इस प्रकार, मान लीजिए कि शुरुआती लिफ़ाफ़े में रखी राशि x है और लिफ़ाफ़े को बदलने का मान y है:

y = 0.5×(x/2) + 0.5×(2x) = 1.25x

मान लीजिए कि पहले लिफाफे में $100 थे। तो 50% संभावना है कि दूसरे लिफाफे में 2 × $100 = $200 हों और 50% संभावना है कि दूसरे लिफाफे में (1/2) × $100 = $50 हों। ऐसी स्थिति में, लिफाफे का मूल्य है:

0.5×($100/2) + 0.5×(2×$100) = $125

इसका मतलब यह है कि वह आदमी, सिर्फ़ लिफ़ाफ़े बदलकर, अपनी संपत्ति में औसतन 25% की बढ़ोतरी कर लेगा! ऐसा कैसे हो सकता है?

DorothyGale

यह एक गणितीय विरोधाभास प्रतीत होता है, लेकिन वास्तव में यह अपेक्षित मूल्य सूत्र का दुरुपयोग मात्र है। जैसा कि आपने प्रश्न में उल्लेख किया है, ऐसा लगता है कि दूसरे लिफाफे में आपके द्वारा चुने गए लिफाफे से 25% अधिक होना चाहिए। हालाँकि, यदि आप उसे खरीदते हैं, तो आप शुरुआत में दूसरा लिफाफा चुन सकते हैं। इसके अलावा, यदि आपको बदलने का निर्णय लेने से पहले लिफाफे खोलने का मौका नहीं मिलता है, तो आप इस तर्क का उपयोग करके बार-बार बदलाव कर सकते हैं। स्पष्ट रूप से अपेक्षित मूल्य तर्क में कोई न कोई खामी अवश्य होगी। प्रश्न यह है कि खामी कहाँ है?

मैंने इस समस्या के बारे में पढ़ने और इस पर वर्षों से चर्चा करने में बहुत समय बिताया है। मैंने इस बारे में कई व्याख्याएँ सुनी और पढ़ी हैं कि y=.5x + .5*2x = 1.25x तर्क गलत क्यों है। कई लोगों ने इस व्याख्या में उन्नत गणित के कई पन्ने इस्तेमाल किए हैं, जो मुझे ज़रूरी नहीं लगता। यह एक साधारण प्रश्न है जिसका एक सरल उत्तर चाहिए। तो, यह मेरा इस पर प्रयास है।

आपको इस तथ्य के साथ बहुत सावधानी बरतनी चाहिए कि एक लिफ़ाफ़े में दूसरे लिफ़ाफ़े से दुगनी रकम है। मान लीजिए छोटे लिफ़ाफ़े में रखी रकम को S और बड़े लिफ़ाफ़े को L कहते हैं। तो हमारे पास है:

एल=2×एस
एस=0.5×एल

ध्यान दें कि 2 और 0.5 कारक अलग-अलग लिफाफों पर कैसे लागू होते हैं। आप दोनों कारकों को एक ही राशि पर लागू नहीं कर सकते। अगर पहले लिफाफे में $100 हैं, तो अगर वह छोटा लिफाफा था, तो दूसरे में $200 होंगे। अगर $100 बड़ा लिफाफा था, तो दूसरे में $50 होंगे। इस तरह दूसरे लिफाफे में $50 या $200 होंगे। हालाँकि, आप सीधे यह नहीं कह सकते कि दोनों में से किसी एक के जीतने की संभावना 50/50 है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसा करने पर 0.5 और 2 कारक एक ही राशि पर लागू होंगे, जो आप नहीं कर सकते। शुरुआत में पुरस्कार वितरण को जाने बिना, आप दूसरे लिफाफे के लिए संभावित राशि निर्धारित नहीं कर सकते।

यदि 0.5x/2x तर्क गलत है, तो दूसरे लिफाफे का अपेक्षित मान निर्धारित करने का सही तरीका क्या होगा? मैं यह कहूँगा कि दोनों लिफाफों के बीच का अंतर LS = 2S-S = S है। स्विच करने पर आपको S का या तो लाभ होगा या हानि, चाहे वह कुछ भी हो। यदि दोनों लिफाफों में $50 और $100 हैं, तो स्विच करने पर $50 का लाभ या हानि होगी। यदि दोनों लिफाफों में $100 और $200 हैं, तो स्विच करने पर $100 का लाभ या हानि होगी। किसी भी तरह से, स्विच करने पर अपेक्षित लाभ 0 है। मुझे लगता है कि मैं कह सकता हूँ कि यदि पहले लिफाफे में $100 हैं, तो 50% संभावना है कि दूसरे लिफाफे में अंतर $50 हो, और 50% संभावना है कि यह $100 हो। तो अपेक्षित अंतर $75 है। इस प्रकार, दूसरे लिफाफे का अपेक्षित मूल्य 0.5×($100+$75) + 0.5×($100-$75) = 0.5×($175+$25) = $100 है।

मुझे उम्मीद है कि इससे कुछ समझ में आया होगा। इस समस्या पर हमेशा ढेरों टिप्पणियाँ आती रहती हैं। अगर आपके पास कोई टिप्पणी है, तो कृपया मुझे सीधे न लिखें, बल्कि मेरे विज़ार्ड ऑफ़ वेगास फ़ोरम में पोस्ट करें। लिंक नीचे है।

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